浅谈构造等比数列求数列的通项公式

浅谈构造等比数列求数列的通项公式 昭通市水富县第一中学 刘永贵 摘要:由数列的递推公式求数列的通项公式是数列中常见，也是较难的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，多 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 递推公式的结构特征，构造恰当的等比数列，就能够求这些数列的通项公式。 关键词:构造 等比数列 通项公式 等比数列是最简单、最基础、最重要的数列之一。而数列的递推公式是给出数列的一种重要 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，由数列的递推公式求数列的通项公式是数列中比较难的问题，但在根据数列的递推公式求数列的通项公式时，如能恰当地构造等比数列将会给解决问题带来极大的方便。下面就如何构造等比数列求数列的通项公式谈谈自己的一些办法。 (n，1)a,p,na(p,0)一、形如的类型 n，1n {a}例1、已知数列的各项都是正数且a,1，n1 22{a}，求数列的通项公式。 (n，1)a，(1,n)aa,2na,0nn，n，nn11 22解: 由 得 (n，1)a，(1,n)aa,2na,0n，n，nn11 (a，a)[(n，1)a,2na],0 n，1nn，1n a，a,0? n，1n (n，1)a,2na? n，1n {na}1，a,1?是以2为公比，为首项的等比数列 n1 n,1na,2? n n,12a?, nn p二、形如的类型 a,a(p,1)，1nn 1 2 例2、已知数列{a}中，，，求数列{a}的通项公式。 a,3a,ann1，n1n 分析:利用对数性质可将指数变成倍数，从而将该递推公式转 化成等比数列的递推公式。 2 解:由得 a,a，n1n 2 lga,lgan，n1 lga,2lga ?n，1n{lga}是以为首项，2为公比的等比数列 ?lgan1 n,1n,1n,12lga,2lga,2lg3,lg3? n1 n,12a,3? n a,pa，q 三、形如的类型 (p,1，p,0，q,0)n，1n {a}a,3a，1{a} 例3、已知数列中，，，求数列的通项公式。 a,1nn，1nn1 a,3a 分析:是等比数列的递推公式，该题中多了常数1，n，1n 故将该递推公式转化成加一个常数成等比数列的结构。 a，x,3(a，x)解:令 ? n，1n a,3a，2x 变形得 n，1n 12x,1x, 对比递推公式系数得，代入?得 2 11a，,3(a，) n，1n22 131{a，}a，,?是以为首项，3为公比的等比数列 n1222 131n,1na，,,3,,3? n222 11n,,3,a? n22 na,pa，q四、形如的类型 (p,1，p,0，q,1，q,0)，1nn na,3a，2{a}{a}a,1 例4、已知数列中，，，求数列的通项公，1nnnn1 2 式。 n是等比数列的递推公式，该题中多了一个q，故将 分析:a,3an，1n nn，1该递推公式转化成加xq或xq成等比数列的结构。 n，1na，x,2,3(a，x,2)解法1:令 ? n，1n na,3a，x,2变形得 ，1nn x,1对比递推公式系数得，代入?得 n，1na，2,3(a，2) n，1n n1{a，2}a，2,3?是以为首项，3为公比的等比数列 n1 n,1n? a，2,3,3n nna,3,2? n na,3a，2解法2:由得 ，1nn aa3n，1n ,,，1nn,1222 a3nb,b，1令，则 ,bn，1nnn,122 从而转化成类型三，以下略。 p,q注意:若，则类型四只能用解法2。 a,pa，qn，r五、形如的类型 (p,1，p,0，q,0)n，1n {a}a,3a，2n，1{a}a,1 例5、已知数列中，，，求数列的通项n，1nnn1 公式。 2n，1a,3a 分析:是等比数列的递推公式，该题中多了一个，n，1n xn，y故将该递推公式转化成加或x(n,1)，y成等比数列 的结构。 3 解:令a，xn，y,3[a，x(n,1)，y] ? n，1n 变形得a,3a，2xn,3x，2yn，1n 2x,2,对比递推公式系数得: ,,3x，2y,1, x,1,解得 代入?得 ,y,2, a，n，2,3[a，(n,1)，2] n，1n ?{a，(n,1)，2}是以为首项，3为公比的等比数列 a，(1,1)，2,3n1 n,1na，(n,1)，2,3,3,3? n na,3,n,1? n 2a,pa，qn，rn，s 六、形如的类型 (p,1，p,0，q,0，r,0)n，1n 2a,3a，2n，2n，1{a}{a}例6、已知数列中，，，求数列的a,1n，n1nn1 通项公式。 a,3a分析:是等比数列的递推公式，该题中多了一个n，1n 22xn，yn，z故将该递推公式转化成加或2n，2n，1 2x(n,1)，y(n,1)，z成等比数列的结构。 22a，xn，yn，z,3[a，x(n,1)，y(n,1)，z] 解:令 ? n，n1 2a,3a，2xn，(2y,6x)n，3x,3y，2z变形得 n，n1 2x,2, ,2y,6x,2对比递推公式系数得: , ,3x,3y，2z,1, x,1, ,y,4解得 代入?得 , ,z,5, 22a，n，4n，5,3[a，(n,1)，4(n,1)，5] n，n1 4 22{a，(n,1)，4(n,1)，5}a，(1,1)，4(1,1)，5,6?是以 n1 为首项，3为公比的等比数列。 2n,1na，(n,1)，4(n,1)，5,6,3,2,3? n n2a,2,3,n,2n,2? n 七、形如a,pa，qa类型 (p,0，q,0)n，2n，1n 例7、数列{a}中，a,1 ， a,1 ， a,a，a求数列{a}的通项公式。 12n，2n，1nnn 分析:与前面的类型不同的是前面的递推公式都是相邻两项 的关系，而该题却是相邻三项的关系，因此将相邻两项的线性运 算看成一个整体构造等比数列。 a，xa,y(a，xa)解:设, n，2n，1n，1n a,(y,x)a，xya变形得，对比递推公式的系数，令 n，2n，1n ,,,1，5,1,5x,x,,,y,x,1,,,22 ，解得 或 ,,,xy,11，51,5,,,y,y,,,22,, ,,1，5x,,,1，51，5,1，5,2a，a,(a，a) (I)当时， , ,n，2n，1n，1n2221，5,y,,2, 1，5,1，5{a，a} ?是以为公比的等比数列， n，1n22 由等比数列的通项公式得: 151515,，,，，n,1aa(aa)()，,， ? n，1n21222 ,,1,5x,,,1,51,5,1,5,2a，a,(a，a)(II)当时，， ,n，2n，1n，1n2221,5,y,,2, 5 1,5,1,5 ?是以为公比的等比数列， {a，a}n，1n22 由等比数列的通项公式得: 151515,,,,,n,1 aa(aa)() ? ，,，n，1n21222 ?,?得: 15151515,，，,,,n,1n,1 5a(aa)()(aa)() ,，,，n21212222 1,1，51，5,1,51,5n,1n,1a[(aa)()(aa)()],，,， ?， n212122225 代入上式化简得 a,1 ， a,112 11，51,5nna,[(),()]，这就是著名的斐波拉契数列的通项公式。 n225 由上面的例题可以看出，根据递推公式的结构构造等比数列是解决该类问题的关键，只要多分析递推公式的结构特征，构造恰当的等比数 P,0列，就能够求这些数列的通项公式。另外，若前面类型中的系数， P,1则问题更简单，若系数，则可用叠加法解决。 6