[指南]梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
5.4.1 梁的剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
梁在外力作用下，各个截面上的剪力和弯矩一般是不相等的。若以横坐标表示横截面沿梁轴线的位置，则剪力 Q 和弯矩 M 可以表示为坐标的函数，即
它们分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。
与绘制轴力图或扭矩图一样，可用图线表明梁的各截面上剪力和弯矩沿梁轴线的变化情况。作图时，取平行于梁轴线的直线为横坐标 轴，值表示各截面的位置;以纵坐标表示相应截面上的剪力、弯矩的大小及其正负，这种表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形，称为剪力图和弯矩图。
例 5-1 简支梁 AB 承受承受均布荷载作用，如图 5 - 10a 所示。试列出剪力方程和弯矩方程，并绘制剪力图和弯矩图。
图 5-10
解: (1) 计算支反力 以整梁为研究对象，利用平衡条件计算支反力。由于简支梁上的载荷对于跨度中央截面是对称的，所以 A 、 B 两端的支反力应相等，即
(1)
方向如图。
(2) 建立剪力、弯矩方程 以梁左端 A 为的坐标原点，取坐标为的任意横截面的左侧梁段为研究对象。设截面上的剪力 Q () 、弯矩 M () 皆为正，如图 5-10b 所示。由平衡方程
将 (1) 式代入上面两式，解得
( 2 )
( 3 )
(2) 、 (3) 两式分别为剪力方程和弯矩方程。
(3) 绘制剪力图、弯矩图 由式 (2) 可知，剪力图为一直线。只需算出任意两个截面的剪力值，如 A 、 B 两截面的剪力，即可作出剪力图，如图 5 - 10c 所示。
由式 (3) 可知，弯矩图为一抛物线，需要算出多个截面的弯矩值，才能作出曲线。例如计算下列五个截面的弯矩值:当时 , M =0 ;当
时，;当 时，。由此作出的弯矩图，如图 5-10d 所示。
由剪力图和弯矩图可知，在靠近 A 、 B 支座的横截面上剪力的绝对值最大，其值为
在梁的中央截面上，剪力 Q , 0 ，弯矩为最大，其值为
例 5-2 简支梁 AB 承受集中力偶 M作用，如图 5 - 11a 所示。试作梁的剪力图、弯矩图。 0
图 5-11
解: (1) 计算支反力 由平衡方程分别算得支反力为
反力 R的方向如图， R为负值，表示其方向与图 5 - 11a 中假设的方向相反。两个支反力形成的力偶矩刚好与集中力偶 M平衡。 AB0
(2) 建立剪力、弯矩方程 由于梁上作用有集中力偶，剪力、弯矩方程同样应分段列出。利用截面法分别在 AC 与 CB 段内截取截面，根据截面左侧 ( 或右
侧 ) 梁段上的外力，列出剪力方程和弯矩方程为
AC 段
(1)
(2)
CB 段
(3)
(4)
(3 )绘制剪力、弯矩图由(1) 、(3)两式可知，两段梁上的剪力相等，因此,AB 梁的剪力图为一条平行于 x 轴的直线 ( 图 5-11b) 。由 (2) 、(4)两式可知，左右两段梁上的弯矩图各为一条斜直线，如图 5 - 11c 所示。由图可见，对于 a
工程
路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理
中，常常遇到几根杆件组成的框架结构。例如，图 5-13 所示的钻床机架由 AB 、 BC 两根直杆刚性连接而成。在结点 B 处，两杆的截面不能发生相对转动。或者说，在结点处两杆间的夹角保持不变，这样的结点称为刚结点，具有刚结点的框架称为刚架。 如果刚架的支座反力和内力均能由静力平衡条件确定，这样的刚架称为静定刚架。直杆内力图的绘制方法，基本上适用于刚架。
图 5-13
例 5-4 平面刚架 ABC ，承受图 5 - 14a 所示载荷作用，已知，试作刚架的弯矩图。
图 5-14
解: (1) 计算支反力 利用刚架的平衡条件确定支座反力。设固定铰 A 的反力 X,Y，可动铰 C 的反力为Y，则 AAA
(2) 建立弯矩方程并作弯矩图 在 BC 杆上，以 C 为原点，取坐标 x 1 。由于集中力 P 的作用， BC 杆上的弯矩方程应分段列出。
CD 段
DB 段
在 AB 杆上，以 A 为原点，取坐标 x 2 。则该杆的弯矩方程为
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