S连通空间及其性质

S连通空间及其性质 第8卷第2期 2007年4月 北华大学(自然科学版) JOURNALOFBEIHUAUNIVERSITY(NaturalScience) VOI.8NO.2 Apr.2007 文章编号:1009—4822(2007)02—0097.04 S连通空间及其性质 周景新,欧阳军 (北华大学理学院,吉林吉林132033) 摘要:给出了拓扑空间是S连通空间的几个等价刻画,同时讨论了S连通子集及其性质,连通序列空间与S连通 空间的性质,证明了拓扑空间X是S连通空间则X是连通序列空间的连续映象,连通序列空间的序列连续映象, 连通序列空间的连续序列覆盖映象. 关键词:S连通空间;序列开集;序列空间 中图分类号:O189.11文献标识码:A 1基本知识 本文约定所讨论的拓扑空间是满足T2分离性的,所述映射均为满映射. 为论述方便,现将所需主要知识汇集如下. (1)设x为拓扑空间,Pcx,称P为x中的序列开集,当且仅当x中每一极限点属于P的收敛序 列{}都终于P;如果x,P是序列开集,则称P是序列闭集;如果x中的每一序列开集P都是x中的 开集,则称X为序列空间,等价于如果x中的每一序列闭集是x中的闭集,则拓扑空间是序列空间.显然, 开集是序列开集,闭集是序列闭集,序列开集的任意并是序列开集,序列闭集的任意交是序列闭集[.2]. (2)拓扑空间x称为K空间,如果AcX,使得对于x的每一紧子集K,都有KnA是K的闭子集, 则A是x的闭子集J. (3)拓扑空间x称为Fr6chet空间,如果z?AcX,则存在A中的点组成的序列{z},使得在x中 {z}收敛于;X称为强Fr6chet空间,如果{A}是x的递减的套集列,且?nA,则存在?A(,z ?),使得序列{}在x中收敛于.显然,度量空间满足A】公理空间强Fr6chet空间=~Fr6chet空 间序列空间K空间【1,31.. (4)拓扑空间X称为S连通的,如果X不能表示为两个非空无交的序列开集的并.否则,称拓扑空间 x是非S连通的.显然连通的序列空间是S连通的,连通的度量空间也是S连通的,S连通空间是连通空 间,反之一般不成立,2J. (5)拓扑空间x到y上的映射. 厂称为序列连续映射,如果对于每一?X及x中的每一收敛于的 序列{},都有y中序列{厂()}收敛于f(x).显然,连续映射是序列连续映射,反之一般是不成立的. 但如果x是序列空间,那么x到拓扑空间y上的序列映射是连续映射.度量空间到任一拓扑空间上的序 列连续映射也必是连续映射【3,4J. (6)序列连续映射保持S连通性J. (7)设厂是拓扑空间x到拓扑空间y的序列覆盖映射,若y是S连通空间且每一. 厂(Y)是x的S连 通子集,则x也是S连通空间[. (8)拓扑空间x中收敛于点?x的序列称为非平凡的,如果所有互不相同且不同于[. 收稿日期:2006.11.21 基金项目:国家自然科学基金项目(10471021) 作者简介:周景新(1947一),男,教授,主要从事代数拓扑研究 北华大学(自然科学版)第8卷 2主要结果 定理2.1设x是拓扑空间,则下列条件等价: (1)x非S连通; (2)x中存在两个非空无交的序列闭集A和B,使得AUB=X; (3)x中存在既是序列开集又是序列闭集且非空的真子集. 证明(1)(2).令A和B是X中两个非空无交的序列开集,且AUB=X,则B=X,A,A= x,B,所以B和A是x中的序列闭集,且A和B非空无交,从而(2)成立. (2)(3).令A和B是x中两个非空无交的序列闭集,且AUB:X,则A=X,B.由于B是x 中非空的序列闭集,因此,A是x中非空的既是序列开集又是序列闭集的x的真子集,从而(3)成立. (3)(1).令A是x中的既是序列开集又是序列闭集的非空真子集,则B=X,A?,这样A和 B都是x中非空的序列开集,且AnB=,AUB=X,因此(1)成立. 由S连通的定义,显然拓扑空间x是S连通的可以叙述为:拓扑空间x是S连通的铮x中不存在非 空无交的序列闭集A和B,使得AUB=XC=*X中不存在既是序列开集又是序列闭集的非空真子集. 由于S连通空间是连通的,而连通空间不一定是S连通的,但连通的序列空间是S连通的,因此有下 面结果. 定理2.2设拓扑空间x是序列空间,那么x是连通的当且仅当X是S连通的. 推论2.1如果x是A(或Fr~chet或强Fr~chet)空间,那么x是连通的当且仅当x是S连通的. 推论2.2如果x是度量空间,那么x是连通的当且仅当x是S连通的. 道路连通的序列空间是S连通的,道路连通的度量空间也必然是S连通的. 正如连通空间的每一子空间未必是连通的一样,S连通空间的每一子空间也未必是S连通的,因此我 们给出下列定义. 定义2.1设y是拓扑空间x的子集,如果y作为x的子空间是S连通的,则称y是x的一个S连 通子集,否则称y为x的非S连通子集. 定理2.3设y是拓扑空间x的子空间,又AcX是x中的序列开集,则Any是X中的序列开集. 证明对任意Y?ANY,由于y是x的子空间,所以对于y中任意收敛于Y?ANY的收敛序 列{Y},它都是x中收敛于Y?AcX的收敛序列. 由于A是x中序列开集,所以A是点Y的序列邻域,因此y中任意收敛于Y?ANY的序列都终 于A,从而也必终于Any.又由于Y的任意性,因此Any是y中的序列开集. 显然下面说法也是正确的:设y是拓扑空间x的子空间,又Acx是x中的序列闭集,则An】,是 y中的序列闭集. 推论2.3设y是拓扑空间x的子空间,如果存在x中的两个非空无交的序列开集(闭集)A和B,使 得AUB=Y,则y为X的非S连通子集. 证明由于A?,B?,AnB=,且AUB=Y,及A,B是x中序列开集,所以AnY= A,BnY=B都是】,中序列开集,且非空无交,因此】,为非S连通子空间,即y是x的非S连通子集. 推论2.4设y是拓扑空间x的S连通子集,如果x中有两个无交的序列开(闭)集A和B,使得A UB=Y,则A和B必有一个是空集. 推论2.5设y是拓扑空间x的S连通子集,如果x中有两个无交的序列开(闭)集A 和B,使得y cAUB,那么或者ycA,或者ycB. 证明由已知An】,和Bny是子空间】,的序列开集,且由于AnB=,所以(ANy)N(B nY)=(ANB)nY=.又由于(ANY)U(BNY)=(AUB)nY=Y,Y又是X的S连通 子集,所以Any和Bny必有一空集,从而可知ycA或ycB. 定义2.2设y是拓扑空间x的子空间,且y中每一序列开集(闭集),,r,都有X中序列开集(闭 集)U,使得V=UNY,则称y为x的序列子空间. 设x的序列开集(闭集)全体为,y中的序列开集(闭集)全体为则x的子空间y是x的序列子 第2期周景新,等:S连通空间及其性质99 空间当且仅当5e={PnylP?. 定义2.3如果y是序列空间x的序列子空间,那么y也是序列空间,这时称y为x的子序列空间. 定理2.4如果Y是序列空间X的子序列空间,那么y是X的非S连通子集当且仅当存在X中的非 空无交的序列开(闭)集A和B,使得ycAUB. 证明必要性.若y不是S连通子集,那么存在y中非空无交序列开集A1和B1,使得A1UB1=y, 即存在X中非空序列开集A和B,使得A1:A17y,B1:B17y,且A1nB1=A17B17y=, 则AnB=,故y=A1UB1=(Any)U(Bny)=(AUB)nycAUB. 充分性.如果X中有非空无交序列开集A和B,使得ycAUB,那么Al=AnY,Bl=BnY 为y中的序列开集,且A?,B?,从而有 A1nB1=(A17y)n(Bny)=(AnB)ny=, A1UB1:(A17y)U(Bny)=(AUB)ny=y. 因此y是X的非S连通子集. 显然,在一般拓扑空间的序列子空间的前提下,这个定理也是正确的. 定理2.5设X是拓扑空间,则下列条件等价:. (1)X是某个连通序列空间的连续映象; (2)X是某个连通序列空间的序列连续映象; (3)X是S连通空间; (4)X是某个连通序列空间的连续序列覆盖映象. 证明(1)(2).由于连续映射是序列连续映射,因此,若X是某个连通序列空间的连续映象,则X 必是某个连通序列空间的序列连续映象. (2)(3).由于连通的序列空间是S连通空间,而序列连续映射保持s连通性,由已知X是S连通空 间在序列连续映射下的象,因此X是S连通的. (4)(1).显然. (3)(4).设X是S连通的拓扑空间,记是X的所有含极限点的收敛序列的集族,即= {Ix.]Iz一z?x,Vz?x},那么是x的一个覆盖,并且的每一个[z]是紧度量空间.记拓扑和 .为M,并且赋予M由拓扑和导出的度量拓扑【'引,设d是M上与此拓扑相容的一个度量,g:(M,d) 一M是恒同映射,那么g是连续的序列覆盖映射. 定义[,】:(M×J)×(M×J)一R上映射 fd(Yl,Y2)+t1+t2,Y1?Y2; ID:(,(ID((,(1Itll,Yl: 可以验证p是M×I上的一个度量,而且M同胚于(M×1,ID)的子空间(M×{0},ID). 在集M×I上定义二元关系","如下: (yl,t1),(Y2,t2)g(1)=g(y2)且tl=t2=1或Yl=Y2且tl=t2, 那么"~."是等价关系,商集记为Z:M×I/,.7r:M×I—z是自然投射. 对于每一Y?M,,z?,令 B=7r({(,1)}u{(Y,,)Ig(y)=g(y),1一寺<,<1}). 在集合z上赋予拓扑对于每一(,,)?M×I,若t?, 1,7r(,,)在Z中的邻域形如(,,)在M ×I中的邻域;若t:1,7r(,t)在Z中的局部基为{B},z?},则(z,是正则的拓扑空间,并且 任一 U?7r一(U)是空间(M×I,p)的开集,因此7r是连续的. 下面证明(Z,刃是度量空间. . 因为(M×I,ID)是度量空间,设纺是(MXI,ID)的盯局部有限基,Q=(专,1)17QcI17记 : {7r(B)IB?纺,BcM×[0,寺)}; t00北华大学(自然科学版)第8卷 = {7r({j,}X(q1,q2))JY?M,ql,q2?Q}; = {BIY?M,n?}; = UU. 那么每一(=1,2,3)都是空间(Z,刃的局部有限集族,是拓扑的基,因此(Z,刃是具有局部有 限基的正则空间,由N.S度量化定理J,(z,为度量空间. 定义P:(M×,10)一x,使得(,t)P(Y,t)=g(Y); f:(Z,一X满足f.7r:P. 首先证明,是连续.如果E是(M,d)的开集,则7/"(Ex[0,1])是(z,的开集;如果.27?X,则 不(g.1(.27)×(0,1])是(z,的开集,若A是拓扑空间x的开集,则gI1(A)是拓扑空间(M,d)的开集, 于是厂(A)=7r(g.1(A)×[0,1)U(U7r(g(.27)X(0,1])))是(z,的开集,故-厂连续. 其次证明-厂是序列覆盖映射.令{.27}是拓扑空间x中收敛于.27的非平凡的序列.因g是序列覆盖映 射,故存在(M,d)中收敛于点Y的序列{Y},使得g(Y)=.27且g(Y)=.27,从而在(Mx,l0) 中,每一 l0((Y,0),(Y,0))=d(Y,Y),所以序列{(Y,0)}收敛于(Y,0).又因7r是连续的,因此在(z,中的序列 {不(Y,0)}收敛于不(Y,0),而f(不(j,,0)):.27,所以,是序列覆盖映射.再由每一厂(.27)是空间(z, 的S连通子集,从而(Z,是S连通的,故(z,是连通的,因而x是连通度量空间连续的序列覆盖映象. 而度量空间是序列空间,因此,x是某一连通序列空间连续的序列覆盖映象. 由于第一可数空间强Fr6chet~Fr6chet空问序列空间[】,因此,这些空间在这里我们统称为第 一 可数空间. 推论2.6设x为拓扑空间,则下列条件等价: (1)X是连通弱第一可数空间的连续映象; (2)X是某连通弱第一可数空间的序列连续映象; (3)X是S连通空间; (4)X是连通弱第一可数空间的连续序列覆盖映象. 参考文献: [1]ElisabettaM.Mangino.SpaceofN—homogeneousPoynomialsbetweenSpaces[J].MathematicalAnalysisandApplications, 2004,297:587.598. [2]林寿.连通度量空间的映象[J].数学年刊,2005,26A(3):345.350. [3]林寿.点可数覆盖与序列覆盖映射[M].北京:科学出版社,2002. [4]林寿.广义度量空间与映射[M].北京:科学出版社,1995. [5]Feddi,A,Le.DonneA.OnGoodConnectedPreimages[J].TopologyAppl,2002,125:489 ?496. [6]EngelkingR.GeneralTopology(RevisedandCompletedEdition)[M].Berlin:Helderma nnverlag,1989. [7]李进金,江守礼.关于局部可数网与ss映射[J].数学,1999,42(5):827.832. S--connectedSpaceandItsQuality ZHOUJing?xin,OUYangJun (ScienceCollegeofBeihuaUniversity,Jilin132033,China) Abstract:WediscusstopologyspaceisseveraltantamountscoresofS— connectedness,atthesametimewealso argueS— connectedsubsetanditsquality.Andwepointoutthequalityofthesequentialspaceandconnected space.Wegaintheresultsasfollows:XisS— connectedspace,thenXisanimageofaconnectedsequential spaceunderacontinuousmapping,andXisanimageofaconnectedsequentialspaceunderasequential continuousmapping,andXisaimageofaconnectedsequentialspaceunderacontinuoussequentialcovering mappin.g. Keywords:S—connectedspace;Sequentiallyopenset;Sequentialspace【责任编辑:吕洪 斌】