值域求法--数形结合法等

函数值域求法 小结 学校三防设施建设情况幼儿园教研工作小结高血压知识讲座小结防范电信网络诈骗宣传幼儿园师德小结 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得： 2、求函数 的值域。 分析：首先由 0，得 +1 1，然后在求其倒数即得答案。 解： 0 +1 1， ０＜ １， 函数的值域为（０，１]． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数 的值域。 设： 配方得： 利用二次函数的相关知识得 ，从而得出： 。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 。 2、求函数 的值域。 解答：此题可以看作是 和 两个函数复合而成的函数，对 配方可得： ，得到函数 的最大值 ，再根据 得到 为增函数且 故函数 的值域为： 。 3、若 ，试求 的最大值。 本题可看成一象限动点 在直线 上滑动时函数 的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得： ，y=1时， 取最大值 。 三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数 的值域。 由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x，从而便于求出反函数。 反解得 即 故函数的值域为： 。（反函数的定义域即是原函数的值域） 2、求函数 的值域。 解答：先证明 有反函数，为此，设 且 ， 。 所以 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为： 。此函数的定义域为 ，故原函数的值域为 。 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数 的值域。 由于本题的分子、分母均为关于x的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为： 整理得： 当 时，上式可以看成关于 的二次方程，该方程的 范围应该满足 即 此时方程有实根即△ ，△ 注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是 ）代回方程检验。 将 分别代入检验得 不符合方程，所以 。 2、求函数 的值域。 解答：先将此函数化成隐函数的形式得： ，(1) 这是一个关于 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式 ， 解得： 。 故原函数的值域为： 。 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等） 1、求函数 的值域。 由于题中含有 不便于计算，但如果令： 注意 从而得： 变形得 即： 注意：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。 2、已知 是圆 上的点，试求 的值域。 在三角函数章节中我们学过： 注意到 可变形为： 令 2)则 )即 故 3、试求函数 的值域。 题中出现 ，而 由此联想到将 视为一整体，令 由上面的关系式易得 故原函数可变形为： 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数 的值域。 分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ，将原函数视为定点(2，3)到动点 的斜率，又知动点 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得： 2、求函数 的值域。 分析：此题首先是如何去掉绝对值，将其做成一个分段函数。 在对应的区间内，画出此函数的图像，如图1所示，易得出函数的值域为 。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值。（如： ），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取 成立的条件。） 1、当 时，求函数 的最值，并指出 取最值时 的值。 因为 可利用不等式 即： 所以 当且仅当 即 时取“=”当 时 取得最小值12。 2、双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的最小值是（）。 A     B4      C2      D 根据双曲线的离心率公式易得： ，我们知道 所以 （当且仅当 时取“=”）而 故 （当且仅当 时取“=”） 。 说明：利用均值不等式解题时一定要注意“一正，二定，三等”三个条件缺一不可。 3、求函数 的值域。 解答： ，当且仅当 时 成立。故函数的值域为 。 此法可以灵活运用，对于分母为一次多项式的二次分式，当然可以运用判别式法求得其值域，但是若能变通地运用此法，可以省去判别式法中介二次不等式的过程。 4、求函数 的值域。 解答：此题可以利用判别式法求解，这里考虑运用基本不等式法求解此题，此时关键是在分子中分解出 项来，可以一般的运用待定系数法完成这一工作， 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 是设： ， 将上面等式的左边展开，有： ， 故而 ， 。 解得 ， 。 从而原函数 ； ⅰ)当 时， ， ，此时 ，等号成立，当且仅当 。 ⅱ)当 时， ， ，此时有 ， 等号成立，当且仅当 。 综上，原函数的值域为： 。 八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 ( 常数)的形式） 1、求函数 的值域。 观察分子、分母中均含有 项，可利用部分分式法；则有 不妨令： 从而 注意：在本题中应排除 ，因为 作为分母。所以 故 2、如对于函数 ，利用恒等变形，得到： ， 容易观察得出此函数的值域为 。 注意到分时的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。 九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域） 1、求函数 的值域。 由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令： 配方得： 由复合函数的单调性（同增异减）知： 。 当函数 在 上单调，譬如 在 上递增时，自然有函数 在 上的值域为 (其中 ，当 时， 也称其存在，记为 );若 在 上递减，函数 在 上的值域为 。在闭区间 上也有相应的结论。 2、求函数 的值域。 此题可以看作 和 ， 的复合函数，显然函数 为单调递增函数，易验证 亦是单调递增函数，故函数 也是单调递增函数。而此函数的定义域为 。 当 时， 取得最小值 。当 时， 取得最大值 。 故而原函数的值域为 。 十、利用导数求函数的值域（若函数f在（a、b）内可导，可以利用导数求得 在（a、b）内的极值，然后再计算 在a，b点的极限值。从而求得f的值域） 求函数 在 内的值域。 分析：显然 在 可导，且 。由 得 的极值点为 。 。 。 所以，函数 的值域为 。