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首页 初等几何变换度量与计算【精品推荐-doc】

初等几何变换度量与计算【精品推荐-doc】.doc

初等几何变换度量与计算【精品推荐-doc】

Miranda新玲
2017-10-29 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《初等几何变换度量与计算【精品推荐-doc】doc》,可适用于生产运营领域

初等几何变换度量与计算【精品推荐doc】初等几何变换度量与计算数学是研究空间形式和数量关系的学科在初等几何课程里着两方面的内容特别明显。关于数学证明直观和推理实物是最好的教具其次是模型在其次是图形但实物很难要有就有因此图形在教学上起重要作用。几何图形的直观能化抽象为具体往往是启发抽象思维的有力工具但图形无论画的如何准确也无法替代逻辑思维。所以尽管直观和实验对我们获得感性认识起重要作用证明命题还主要靠逻辑推理。关于命题证明定义公理定理都是命题。命题由两部分组成第一部分称前提或假设第二部分称结论。前提不能互相矛盾否则命题毫无意义。命题不一定是真的即不一定成立。真命题称为定理。所谓数学证明实际上是由假设经过推理以得出结论。为了解决证明源头正确与否的困境古希腊的哲学家把原始的依据称为公设或公理约定承认其正确称之为自明之理欧几里得的第五公设就不是自明的。证命题时一定要确切理解题意给了我们什么条件要我们得出什么结论并在初学时就要求学会简洁明白的写出。命题的四种变化()原命题:若P则Q,()逆命题:若Q则P,PQ()否命题:若则QPPQ()逆否命题:若则其中为P,Q的反面。例()原命题:平行四边形的两条对角线互相平分。()逆命题:若四边形的两条对角线互相平分那么它是平行四边形。()否命题:若四边形不是平行四边形那么它的两条对角线不互相平分。()逆否命题:若四边形的两条对角线不互相平分那么它不是平行四边形。四种命题的关系图示如下原命题互逆逆命题互否互否否命题互逆逆否命题四种命题的真假关系:互为逆否的两命题真则同真假则同假。充分条件必要条件充要条件一般而言在定理P,Q中条件P称为性质Q的充分条件有了P便保证有QQ称为P的必要条件没有Q,P就不成立。如果原命题和逆命题同时成立:P,Q,Q,PP是Q的充分和必要条件简称充要条件。关于必要和充分的意义可以概括如下:必要:无它必不行有它未必行。充分:有它必行无它未必不行。充要:有它必行无它必不行。例“对角线互相垂直”是菱形的必要而不充分的条件“对角线互相垂直平分”是菱形的充要条件。逆命题证法证明逆命题常用下列方法之一。(一)直接证明逆命题即将原命题的证明过程反其道而行之举例说明。定理:线段的中垂线上人任一点距线段两端等远。逆定理凡距两点A,B等远的点必在线段AB的中垂线上。,证明:设M为满足MA=MB的任一点作MOAB,则由于斜线MA与MB等长斜线足应距垂足O等远即OA=OB所以M在AB的中垂线上。(二)证明与逆命题等效的否命题否定理不在中垂线上的任一点距线段两段不等远。M'证:设不在线段AB中垂线上的点(上图)比方说它和BM'O'在中垂线的同侧。于是从向直线AB所引的垂线足也和B在中垂线的同侧(否则两垂线将相交而过此交点将有两直线垂O'A,O'B直与AB了)。所以,于是按斜线比较长短定理M'A,M'B。(三)利用原命题本身证明逆命题大家可以自己举个例试一下。直接证法与间接证法直接证法:由命题的假设出发根据定义公里定理进行一系列正面的逻辑推理最后得出命题的结论。间接证法:有的问题往往不易甚至不能直接证明这时不妨证明它的等效命题成立因而也能间接的达到目的。间接证法也可以分成以下几类:直接证法证题方法间接同一法证法反证法归谬法穷举法间接证法举例例一(归谬法)圆内不是直径的两弦不能互相平分。假设:AB,CD是圆内非直径的两弦。求证:AB,CD不能互相平分。证:假设结论的反面成立即设弦AB与CD的中点P既是AB的又是CD的中点。我们知道弦的中点跟圆心O的连线是垂直于弦的。那么通过P点就有两条直线AB和CD与OP垂直的这是不可能的所以定理得到反证。在ABC中B与C的平分线分别为BD与CE且BD=CE(求证:AB=AC(证明假设ABAC不妨设AB>AC(则C>B因此>由此又可得BE>CD平移BE到DF则EF=BD=CE所以ECF=EFC但是DF=BE>CD所以>,于是<=从而得C=<=B这与C>B矛盾(该定理称作斯坦纳莱莫斯定理有余种证法(同一法用证明逆命题成立来证明原命题为真的方法,前提是该命题的条件和结论中的对象都满足惟一性,则原命题与某逆命题等价,将仸意三角形各角三等分,则每两个角的相邻三等分线的交点构成正三角形,同一法证明设ABC的A=α,B=β,C=γ,三等分线交点构成PQR,ooo作正EFG,作=β,=γ,=α,ooαβγ=,EA’G=,,=α,同理EB’F=β,FC’G=γ,过E作直线HI,使A’EH=β,oo则HEG=,IEF=,从而B’EI=α,综合法与分析法由于思维过程的顺逆证明法可以分为“综合法“与”分析法“。综合法:综合法是命题的假设入手由因导果通过一系列的正确推理逐步靠近目标最终证出结论。分析法:分析法是由命题的结论人手承认它是正确的话执果索因寻求在什么情况下结论才是正确的。这样一部一部逆而推之直到与假设会合于是就发现由假设通往结论的思维过程。A’演绎法与归纳法演绎法:由一般规律推导特殊事项的称为演绎法。归纳法:由特殊事项加以抽象提高以得出一般规律的则称为归纳法。命题总是由观察归纳得来的观察的对象有遗漏归纳的结果就可能错误或带有片面性。凡是用普通归纳法证的命题一定要多加小心。A,A,?,A例设为同一直线上n点则就有向线段言恒n有AAAA?AA,AA。n,nnAAAA,AA证:当n=时上式即这是两有向线段之和的定义。现在假设上式对于n成立证其对于n也成立:AAAA?AAAAn,nnn,AAAA?AAAAn,nnn,AAAA,AAnnnn由数学归纳法可以得到定理成立。例正ABC所在平面上仸一点P到三边距离的代数和等于该三角形的高,证明点P可能在ABC内、边上或其外,分三种情况来证明完全归纳:当P在ABC内或边上,由三角形面积公式易证,当P在ABC之外时,由三角形面积关系易得:SS=SSPABPACABC,由此得:PBChh,h=h,h、h、h不完全归纳法所得结论不一定成立,但它对于研究数学、发现定理、提出猜想是十分有效的下面我们介绍一些所谓证题技巧或证题术无非是将证题的通用方法处理分门别类的问题二、几何证明的通用方法,一,化归法由未知向已知、由不熟悉向熟悉转化,即把一个证明题归结为已解决的问题的方法,例延长B、C的平分线BD、CE,分别交ABC外接圆于B,C,若BD=CE,则AB=AC,证明假设BDCE,不妨设BD<CE,由斯坦纳莱莫斯定理可知:此题可化归为证明BD=CE的问题,则由相交弦定理知:ADDC<AEEB,对等腰BAC,由斯特瓦特定理下页补证得:BC,BD=ADDC,同理CB,CE=AEEB,则BC,BD<CB,CE,即BC<CB,A由CBOBCO,得BO:OC=CB:BC>,B则>,从而ACB>ABC,C三角形中,小角的平分线比大角的平分线长(引理P),BD>CE,这与EDBD<CE的假设矛盾,由此得证OBC斯特瓦特定理ABC中,D是BC上仸一点,则ABDCACBD–ADBC=BCBDDC,证明作AHBC,不妨设H在D、C之间,由余弦定理:AC=ADDC–DCDH,AB=ADBDBDDH,两式分别乘以BD、DC并相加,得:ACBDABDC=AD(BDDC)DCBDBDDC=ADBCBCBDDC,事实上BC,BD,DC表成有向线段,D在直线BC上仸意处都成立二类比法运用类比推理将证明题与类似问题进行对比,由此获得启发使问题获得解决的方法,例试证周长为L的封闭曲线一定可以用一个半径是()L的圆覆盖,找一点O,证明曲线上仸一点到O的距离()L,先考虑特殊情形平行四边形:注P是ABCD边上仸意一点,则OP()(APPC)()(APPDDC)()L对一般曲线,可与平行四边形类比:A、C两点恰好平分曲线,O是AC中点,则OP()(APPC)L注:上述不等式由命题―三角形一边上的中线小于另两边之和的一半‖来保证,其证法见右图即可获知,(三)构造法为使证题过程简化,把条件中的关系构造出来,或使关系在某个模型中实现,或把条件适当组合而构成一个新的形式,从而解决问题的方法称为构造法,例已知直线截ABC三边或其延长线依次于点X、Y、Z,则有:BXCYAZ,,,(梅内劳斯定理p)XCYAZB证明考虑AYZ与BZX的面积(正弦定理):S=()AZZysinαS=()ZBXzsinβ(AYZBZXSAZXZ,AYZ即(,,ZBSZY,BZXSBXXY,BZX,,同理有:XCSXZA(,CXYZSCYZYα,CXY,,βYASXY,AYZB(四数形结合法即用数与式的知识研究几何问题,如代数法、解析法、三角法、面积法、向量法、复数法等,其特点都是将几何证明转化为代数计算,后面有一节专门讨论几何的计算证明法,(五变换法在解决数学问题时利用数学变换往往能达到迂回的目的,常用的几何变换有合同变换、位似变换、仿射变换、射影变换、反演变换等,后面有一节专门讨论几何变换法,故不在此举例,三几何变换证明法把一种几何图形按照某种法则或规律变成另一种图形的过程,称作几何变换,在几何变换中,图形的某些数量关系和几何性质未发生变化,则称其为几何不变量和不变性,一、合同变换定义把图形F的点一一对应到图形F’,称为从F到F’的变换,若该变换还具有保距性,则称为从F到F’的合同变换合同变换的不变量:两点间距离、两射线所夹角度、平面图形面积等,合同变换的不变性:结合性、同素性、两直线的平行性等,合同变换包括平移、旋转、轴对称变换以及它们的乘积旋转变换例费马点问题在ABC所在平面上求一点P,使P到三角形的三个顶点距离之和最小,o解如图所示,将PAC绕点C转至P’A’C,则PA=P’A’,PC=P’C,oPCP’=,由此得PC=PP’,即当B,P,P’,A’共线时,有PAPBPC最小,o此时BPC=CPA==APB,设ABC的最大角是A,则当ooA<时,P点位置由上式确定,当A时,ABC内部没有满足上式的点,适当研究后容易得知,相似变换定义把图形F的点一一对应到图形F’,使F中仸意两点A、B与其对应点A’、B’满足AB=kA’B’,则称该变换为从F到F’的相似变换,其中常数k称作相似系数或相似比,,相似变换的不变量:对应线段之比、两直线所夹角度、平面图形面积之比等,,相似变换的不变性:结合性、同素性、两直线的平行性等例设ABC中A的平分线是PA则PA=ABAC,BPPC((斯库顿定理)证明(用分析法证明)ABPA作PD使ABPAPD,则,,PAAD即PA=ABAD则欲证原式为:ABAD=ABAC,BPPC即只需证:ABAC,ABAD=BPPC或ABCD=BPPC(由角平分线定理知:则只需证:ABAC,PCDAPC=PCACBPPC,,CDPC=B=B=(后面三式分别是已知、已证的和外角定理(四、反演变换定义在平面上给定半径为r的O,对于点P,在OP上取一点P’使OPOP’=r,则称P’是P的反演点,O称为反演中心,r称为反演幂图形F中每个点的反演点组成的图形F’称为F的反演图形,从F到F’的一一对应称作反演变换,,反演变换的不变量:对应线段之交比、两条直线、两个圆或一条直线与一个圆所夹角度等,,反演变换的不变性:结合性、同素性把点、直线和圆统一看作广义圆等,,关于反演变换,有以下几条结论:()反演圆上的点是反演变换下的不动点,()过反演中心的直线,其反演图形是该直线本身()不过反演中心的直线,其反形是过反演中心的圆,反之亦然,证明设直线m不过反演中心O,作OAm,垂足是A,其反演点是A’,m上仸一点P的反演点是P’,显然P’在以OA’为直径的圆上,反之,除O外,该圆上仸一点的反演点在直线m上()不过反演中心的圆,其反演图形也是不过反演中心的圆,其中包括自对应圆,其圆心在反演圆上且两者正交,由割线定理、切割线定理易证()两个相切的圆,其反演图形也相切,且切点对应切点,(若切点是反演中心,则反形是两条平行直线,)例(托勒密定理)圆内接四边形的对角线乘积等于它的两组对边乘积之和,证明以A为反演中心,仸取r(r外接圆直径)为反演幂,作反演变换,则外接圆变成直线l,ABC,AC’B’ABAB’=ACAC’=ADAD’=rAC',BC即B'C',,ABAC',BCB'C',AB且rD’AC',同理可得ACDr,BC故r,CDr,BDB'C',(CD,BD,'','',AB,ACAC,ADAB,ADB’C’C’D’=B’D’CABCCDBDC’,,AB,ACAC,ADAB,ADBB’即AD,BCAB,CD,AC,BD(l几何证明题主要有两大类:一是有关度量性质的,如线段、角、面积等大小关系问题,二是有关位置性质的,如平行、垂直、点共线、线共点、点共圆、圆共点等,在某些条件下两者也可以互相转化,因此有关度量的问题也是基本的几何问题,一、线段或角的相等这一类问题的常见证法,教材上已经列出,故不在此重复(以下同,自行阅读教材上的常用定理或常见证明思路),以下主要举例说明o例已知P为正方形ABCD内一点,若PAB=PBA=,则PCD是等边三角形,A证明(同一法)在正方形内取一点P’与CD构成正三角形,连接AP’、BP’,则ACP’与BDP’为等腰三角形,oo==,==,即ABP’=BAP’,即P’点就是P点,得证,二、线段或角的和、差、倍、分例已知正方形ABCD,BFAC,AF=AC,求证:CAF,CAB(证法(加倍法)将ABF沿AB对折得对称ABG(oBFACABG=(即D、B、G三点共线(o又AG=AF=ACAO:AG=AO:AC=:即AGO=从而得oooFAB=BAG=,==()CAF(得证(三、线段的积与比例设ABC中A的平分线是PA,则PA=ABAC,BPPC,(斯库顿定理)本题在相似变换一节中介绍过()证法延长AP与外接圆交于E点(PA=PAAE,PAPE且PAPE=BPPC只证PAAE=ABAC或证ABE,APC即可(这由==即可得证(A一、平行与垂直例(一题多解)在ABC的中线AD上仸取一点M,BM、CM与AC、AB分别交于E、F,则EFBC,(,CMO)证法(相似法)过M作HGBC则HM=MGMGEMHMFMEMFM,且,,,BCEBBCFCEBFCEMFM由分比定理得:,BMCM,MBC则MEF,塞瓦定理设X、Y、Z分别是ABC三边BC、CA、AB或延长线上的点,则AX、BY、CZ共点包括平行BXCYAZ的充要条件是:,,,XCYAZB现在给出第种证法:AAD、BE、CF共点由塞瓦定理ZY得:BDCEAFE,,,DCEAFB二、共线点与共点线解决此类问题,除过一般方法外,这里主要介绍梅内劳斯定理和塞瓦定理(p),其它如笛沙格定理、巴普士定理、巴斯卡定理、布利安香定理等不再介绍(教材第三章射影几何有部分介绍),梅内劳斯定理(p)设X、Y、Z分别是ABC三边BC、CA、AB或BXCYAZ延长线上的点,则X、Y、Z三点共线的充要条件,XCYAZB塞瓦定理(上节例用过)设X、Y、Z分别是ABC三边BC、CA、AB或BXCYAZ延长线上的点,则AX、BY、CZ三线共点的充要条件是:,XCYAZB三、共圆点与共点圆,于是A、B、C、P四点共圆,例仸一点在三角形三边(或所在直线)上的射影共线,则该点在三角形外接圆周上,这是西摩松定理的逆定理(原定理未讲,但易证),已知P点和ABC,P在三边的垂足分别是Q、R、S,且Q、R、S共线,求证:A、B、C、P共圆,证明B,Q,P,S共圆,BPQ=BSQ,同理得QPC=ARQ,则BACBPC=BACBPQQPC=BACBSQARQ=,于是A、B、C、P四点共圆,例在ABC的三边BC、CA、AB上仸取三点D、E、F,则AEF、BFD、CDE共点,该命题为麦克定理,证明BQ证明设BFD、CDE另一交点为O,AO只证AEOF四点共圆即可(AEO=ODC=OFBRAEOF四点共圆(Q得证(BCS下例将用到麦克逆定理现叙述并略证如下:oo证明==,=,=PAEF、BFO、COE共点O则BFO与COE的另一交点D与B、C共线(

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