2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求
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的．
（1）设复数
满足
，则
（A）1 （B）
（C）
（D）2
（2）sin20°cos10°－cos160°sin10°＝
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）设命题P：
n
N，
>
，则
P为
（A）
n
N，
>
（B）
n
N，
≤
（C）
n
N，
≤
（D）
n
N，
＝
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312
（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：
上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若
＜0，则y0的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中
有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，
问”积及为 米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米
（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长
为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各
为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率
约为3，估算出堆放的米约有
（A）
斛 （B）
斛 （C）
斛 （D）
斛
（7）设D为
ABC所在平面内一点
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）函数
的部分图像如图所示，则
的单调递减区间为
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）执行右面的程序框图，如果输入的
，则输出的
（A）
（B）
（C）7
（D）8
（10）
的展开式中，
的系数为
（A）10
（B）20
（C）30
（D）60
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成
一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图
所示，若该几何体的
表
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面积为16＋20
，则r＝
（A）1
（B）2
（C）4
（D）8
（12）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a
1，若存
在唯一的整数x0，使得f（x0）
0，则a的取值范围是
（A）[
，1） （B）[
） （C）[
） （D）[
，1）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）若函数f（x）＝xln（x＋
）为偶函数，则a＝ ．
（14）一个圆经过椭圆
的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的
标准
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方程为 ．
（15）若x，y满足约束条件
，则
的最大值为 ．
（16）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
为数列{
}的前n项和.已知
>0，
．
（Ⅰ）求{
}的通项
公式
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；
（Ⅱ）设
，求数列
}的前n项和．
（18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，
E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面
ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC．
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费
和年销售量
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，
，
．
（
）根据散点图判断，
与
，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（
）根据（
）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为
，根据（
）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费
=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费
为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝
与直线y＝kx＋a（a>0）交于M，N两点．
（Ⅰ）当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．
（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）＝
．
（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线
的切线；
（Ⅱ）用
表示m，n中的最小值，设函数
，讨论h（x）零点的个数．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是
O直径，AC是
O切线，BC交
O与点E．
（
）若D为AC中点，证明：DE是
O切线；
（
）若
，求
的大小．
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与
参数
转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应
方程
在直角坐标系
中，直线
，圆
，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（
）求
的极坐标方程；
（
）若直线
的极坐标方程为
，设
的交点为
，求
的面积．
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
．
（
）当
时求不等式
的解集；
（
）若
的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案
一、 选择题
（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B
（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D
二、填空题
（13）1 （14）
(15)3 （16）
二、 解答题
（17）解：
（I）由
，可知
可得
即
由于
可得
又
，解得
所以
是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为
（II）由
,
设数列
的前n项和为
，则
（18）解：
（I）连结BD，设BD
AC=G，连结EG，FG，EF.在菱形ABCD中不妨设GB=1.由
ABC=120°，
可得AG=GC=
.由 BE
平面ABCD, AB=BC可知AE=EC.
又AE
EC，所以EG=
，且EG
AC.在Rt
EBG中，
可得BE=
故DF=
.在Rt
FDG中，可得FG=
.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=
，DF=
，
可得FE=
.从而
又
因为
所以平面
（I） 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，
为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
由（I）可得
所以
故
所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为
.
（19）解：
（I）由散点图可以判断，
适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 ……2分
（II）令
，先建立y关于w的线性回归方程。由于
。
所以y关于w的线性回归方程为
，因此y关于x的回归方程为
。 ……6分
（III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值
年利润z的预报值
。 ……9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
所以当
，即x=46.24时，
取得最大值
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 ……12分
（20）解：（I）有题设可得
又
处的导数值为
，C在点
出的切线方程为
，即
.
故所求切线方程为
（I） 存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为
故
从而
当b=-a时，有
（21）解：
（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点
因此，当
（II）当
是
的零点
综上，当
（22）解：
（I）链接AE，由已知得，
在
中，由已知得，DE=DC故
链接OE，则
OBE=
OEB又
ACB+
ABC=90°所以
DEC+
OEB=90°
故
，DE是
得切线
（II）设CE=1，AE=X，由已知得
，
由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以
即
可得
，所以
（23）解：
（I）因为
，
，所以
的极坐标方程为
，
的极坐标方程为
。 ……5分
（II）将
代入
，得
，解得
，
。故
，即
。
由于
的半径为1，所以
的面积为
。 ……10分
（24）解：（I）当
时，
化为
，
当
时，不等式化为
，无解；
当
时，不等式化为
，解得
；
当
时，不等式化为
，解得
。
所以
的解集为
。 ……5分
（II）由题设可得，
所以函数
的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为
，
，
，
的面积为
。
由题设得
，故
。
所以a的取值范围为
……10分
浙公网安备 33021202002483