小学数学概念及
公式
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一、基本概念
1(描述统计。
通过调查、试验获得大量数据,用归组、制表、绘图等统计方法对其进行归纳、整理,以直观形象的形式反映其分布特征的方法,如:小学数学中的制表、条形统计图、折线统计图、扇形统计图等都是描述统计。另外计算集中量所反映的一组数据的集中趋势,如算术平均数、中位数、总数、加权算术平均数等,也属于描述统计的范围。其目的是将大量零散的、杂乱无序的数字资料进行整理、归纳、简缩、概括,使事物的全貌及其分布特征清晰、明确地显现出来。
2(概率的统计定义。
人们在抛掷一枚硬币时,究竟会出现什么样的结果事先是不能确定的,但是当我们在相同的条件下,大量重复地抛掷同一枚均匀硬币时,就会发现“出现正面”或“出现反面”的次数大约各占总抛掷次数的: 左右。这里的“大量重复”是指多少次呢?历史上不少统计学家,例如皮尔逊等人作过成千上万次抛掷硬币的试验,其试验
记录
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如下:
可以看出,随着试验次数的增加,出现正面的频率波动越来越小,频率在0(5这个定值附近摆动的性质是出现正面这一现象的内在必然性规律的表现,0(5恰恰就是刻画出现正面可能性大小的数值,0(5就是抛掷硬币时出现正面的概率。这就是概率统计定义的思想,这一思想也给出了在实际问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
中估算概率的近似值的方法,当试验次数足够大时,可将频率作为概率的近似值。
某类产品平均每1000件产品中大约有10件废品,则我们说该产品的废品率为1,。在小学数学中用概率的统计定义,一般求得的是概率的近似值,特别是次数不够大时,这个概率的近似值存在着一定的误差。例如:某地区30年来的10月6日的天气记录里有25次是秋高气爽、晴空万里,问下一年的10月6日是晴天的概率是多少?
因为前30年出现晴天的频率为0(83,所以概率大约是0(83。
3(概率的古典定义。
对某一类特殊的试验,还可以从另一个角度求它的概率。抛掷一枚硬币时,试验的结果有2种:出现正面、出现反面;由于硬币是均匀的,通过直观分析可以看出出现正面和反面的可能性相同,都是。进一步研究:
某试验具有以下性质
(1)试验的结果是有限个(n个)
(2)每个结果出现的可能性是相同的 (硬币、骰子是均匀的,抛掷时出现每一面的可能性都相同)
如果事件A是由上述n个结果中的m个组成,则称事件A发生的概率为m,n。 例:掷一颗均匀的骰子,求出现2点的概率。
由于这个试验满足概率的古典定义的两个条件,且n=6,m=1,?出现2点的概率是。 又:求出现偶数点的概率?出现偶数点这一事件包含3个结果,2点、 4点、6点。m=3 出现偶数点的概率是,即。
概率的古典定义不用大量地去试验,只要试验的结果为等可能的有限个的情况,通过分析找出m、n,其概率就可以求出了,其优点是便于计算,但概率的古典定义不如概率的统计定义适用面广,如抛掷一个酒瓶盖子时,就不满足出现每一面的可能性都相同的条件,因此出现正面的概率就不能用概率的古典定义去求,而要用统计定义去近似地求它的概率。
在小学数学的教学中,根据小学生的认知水平,应避免学习过多或艰深的术语,从小学低年级开始应该非形式地介绍概率思想,而非严格的定义、单纯的计算,因此,在小学经常用“可能性”来代替“概率”这个概念。但作为教师应该懂得它的意义,否则就会出笑话。有的教师让学生在课上做 20次抛掷硬币的试验,希望学生能得到出现正面的可能性是,因为抛掷的次数少,所以要得出10次正面,是很难做到的,概率的统计定义一般得出的是概率的近似值。
二、在学习统计与概率的过程中发展学生的能力
统计的内容是用数字描述和解释我们周围的世界,应结合学生生活的实际,如:可以
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
成一个活动,使学生主动地投入其中;提出关键的问题;搜集和整理数据;应用图表来表示数据;分析数据;作出推测,并用一种别人信服的方式交流信息。同时体会对数据的收集、处理会获得某些新的信息。
例如:组织一次班会活动,目的是增进同学之间的互相了解和交流。首先让学生们自己选题,希望了解哪些信息:“同学们每天怎么来上学?”;“每个月都有多少同学过生日?”;“同学们喜欢读哪类图书?”;“同学们的爱好是什么?”;“我们最喜爱的运动”;“我们最喜爱的动物”…然后学生们分组去调查收集数据,用表格归纳整理,并且制成各种统计图:如: 从统计图可以知道,喜欢动物故事的同学最多,根据这个统计结果,班里可以组织一个动物研究会,办一个动物图片展览,到野生动物园去参观等。全班同学还可以把各种图表制成墙报、手抄报把自己的班级介绍给全校其他同学等。
三、统计、概率与小学其它内容的联系
对小学生来讲,扇形统计图的难点在于不同的圆心角所代表的部分的百分数表示及百分数表示的圆心角的度数,而对于—上面图中有特殊圆心角时,可避开圆心角,用分数、百分数的意义得出喜欢英语课的,科学课的,数学课的;参加球类兴趣小组的有50,;参加乐队的18,。
从上面的例子可以看出,统计与概率可以为发展和运用比、分数、百分数和小数这些概念提供背景。因此我们可以用建构的方式,建立这部分内容与小学其它知识的联系和建构有意义的认知结构,从而更深入、更灵活地学习。
总之,在小学,统计与概率的教学既要具有科学性又要符合小学生的认知特点,同时,它还是解决问题的有力工具,它也是架起与其它内容之间的桥梁。
和差问题
已知两个数的和与差,求这两个数的应用题,叫做和差问题。一般关系式有: (和,差)?2,较小数
(和,差)?2,较大数
差倍问题
已知两个数的差及两个数的倍数关系,求这两个数的应用题,叫做差倍问题。基本关系式是: 两数差?倍数差,较小数
还原问题
已知一个数经过某些变化后的结果,要求原来的未知数的问题,一般叫做还原问题。 还原问题是逆解应用题。一般根据加、减法,乘、除法的互逆运算的关系。由题目所叙述的的顺序,倒过来逆顺序的思考,从最后一个已知条件出发,逆推而上,求得结果。 置换问题
题中有二个未知数,常常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数,然后根据已知条件进行
假设性的运算。其结果往往与条件不符合,再加以适当的调整,从而求出结果。 盈亏问题(盈不足问题)
题目中往往有两种分配
方案
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,每种分配方案的结果会出现多(盈)或少(亏)的情况,通常把这类问题,叫做盈亏问题(也叫做盈不足问题)。
解答这类问题时,应该先将两种分配方案进行比较,求出由于每份数的变化所引起的余数的变化,从中求出参加分配的总份数,然后根据题意,求出被分配物品的数量。其计算方法是: 当一次有余数,另一次不足时:
每份数,(余数,不足数)?两次每份数的差
当两次都有余数时:
总份数,(较大余数,较小数)?两次每份数的差
当两次都不足时:
总份数,(较大不足数,较小不足数)?两次每份数的差
年龄问题
年龄问题的主要特点是两人的年龄差不变,而倍数差却发生变化。 常用的计算公式是:
成倍时小的年龄,大小年龄之差?(倍数,1)
几年前的年龄,小的现年,成倍数时小的年龄
几年后的年龄,成倍时小的年龄,小的现在年龄
鸡兔问题
已知鸡兔的总只数和总足数,求鸡兔各有多少只的一类应用题,叫做鸡兔问题,也叫“龟鹤问题”、“置换问题”。
一般先假设都是鸡(或兔),然后以兔(或鸡)置换鸡(或兔)。常用的基本公式有: (总足数,鸡足数×总只数)?每只鸡兔足数的差,兔数
(兔足数×总只数,总足数)?每只鸡兔足数的差,鸡数
牛吃草问题(船漏水问题)
若干头牛在一片有限范围内的草地上吃草。牛一边吃草,草地上一边长草。当增加(或减少)牛的数量时,这片草地上的草经过多少时间就刚好吃完呢,
公约数、公倍数问题
运用最大公约数或最小公倍数解答应用题,叫做公约数、公倍数问题。 分数应用题
指用分数计算来解答的应用题,叫做分数应用题,也叫分数问题。 分数应用题一般分为三类:
1(求一个数是另一个数的几分之几。
2(求一个数的几分之几是多少。
3(已知一个数的几分之几是多少,求这个数。
其中每一类别又分为二种,其一:一般分数应用题;其二:较复杂的分数应用题。 工程问题
它是分数应用题的一个特例。是已知工作量、工作时间和工作效率,三个量中的两个求第三个量的问题。
解答工程问题时,一般要把全部工程看作“1”,然后根据下面的数量关系进行解答: 工作量?工作效率,工作时间
百分数应用题
这类应用题与分数应用题的解答方式大致相同,仅求“率”时,表达方式不同,意义不同。
1、长方形的周长=(长+宽)×2 C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4 C=4a
3、长方形的面积=长×宽 S=ab
4、正方形的面积=边长×边长 S=a.a= a 5、三角形的面积=底×高?2 S=ah?2
6、平行四边形的面积=底×高 S=ah
7、梯形的面积=(上底+下底)×高?2 S=(a,b)h?2 8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径?2 r= d?2
9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 10、圆的面积=圆周率×半径×半径 ?=πr
11、长方体的表面积=(长×宽+长×高,宽×高)×2 12、长方体的体积 =长×宽×高 V =abh
13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a 14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a.a.a= a 15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 S=ch 16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积
S=2πr +2πrh=2π(d?2) +2π(d?2)h=2π(C?2?π) +Ch 17、圆柱的体积=底面积×高 V=Sh
V=πr h=π(d?2) h=π(C?2?π) h
18、圆锥的体积=底面积×高?3
V=Sh?3=πr h?3=π(d?2) h?3=π(C?2?π) h?3
19、长方体(正方体、圆柱体)的体
1、 每份数×份数,总数 总数?每份数,份数 总数?份数,每份数 2、 1倍数×倍数,几倍数 几倍数?1倍数,倍数 几倍数?倍数,1倍数 3、 速度×时间,路程 路程?速度,时间 路程?时间,速度 4、 单价×数量,总价 总价?单价,数量 总价?数量,单价 5、 工作效率×工作时间,工作总量 工作总量?工作效率,工作时间 工作总量?工作时间,
工作效率
6、 加数,加数,和 和,一个加数,另一个加数 7、 被减数,减数,差 被减数,差,减数 差,减数,被减数 8、 因数×因数,积 积?一个因数,另一个因数
9、 被除数?除数,商 被除数?商,除数 商×除数,被除数 小学数学图形计算公式
1 、正方形 C周长 S面积 a边长 周长,边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a
2 、正方体 V:体积 a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a
3 、长方形
C周长 S面积 a边长
周长=(长+宽)×2
C=2(a+b)
面积=长×宽
S=ab
4 、长方体
V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高
V=abh
5 三角形
s面积 a底 h高
面积=底×高?2
s=ah?2
三角形高=面积 ×2?底 三角形底=面积 ×2?高 6 平行四边形
s面积 a底 h高
面积=底×高
s=ah
7 梯形
s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高?2 s=(a+b)× h?2
8 圆形
S面积 C周长 ? d=直径 r=半径 (1)周长=直径×?=2×?×半径 C=?d=2?r
(2)面积=半径×半径×? 9 圆柱体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长
(1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高
(4)体积,侧面积?2×半径 10 圆锥体
v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积×高?3
总数?总份数,平均数
和差问题
(和,差)?2,大数
(和,差)?2,小数
和倍问题
和?(倍数,1),小数
小数×倍数,大数
(或者 和,小数,大数)
差倍问题
差?(倍数,1),小数
小数×倍数,大数
(或 小数,差,大数)
植树问题
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
?如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数,段数,1,全长?株距,1
全长,株距×(株数,1)
株距,全长?(株数,1)
?如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:
株数,段数,全长?株距
全长,株距×株数
株距,全长?株数
?如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数,段数,1,全长?株距,1
全长,株距×(株数,1)
株距,全长?(株数,1)
2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数,段数,全长?株距
全长,株距×株数
株距,全长?株数
盈亏问题
(盈,亏)?两次分配量之差,参加分配的份数 (大盈,小盈)?两次分配量之差,参加分配的份数 (大亏,小亏)?两次分配量之差,参加分配的份数 相遇问题
相遇路程,速度和×相遇时间
相遇时间,相遇路程?速度和
速度和,相遇路程?相遇时间
追及问题
追及距离,速度差×追及时间
追及时间,追及距离?速度差
速度差,追及距离?追及时间
流水问题
顺流速度,静水速度,水流速度
逆流速度,静水速度,水流速度
静水速度,(顺流速度,逆流速度)?2 水流速度,(顺流速度,逆流速度)?2 浓度问题
溶质的重量,溶剂的重量,溶液的重量
溶质的重量?溶液的重量×100%,浓度 溶液的重量×浓度,溶质的重量
溶质的重量?浓度,溶液的重量
利润与折扣问题
利润,售出价,成本
利润率,利润?成本×100%,(售出价?成本,1)×100%
涨跌金额,本金×涨跌百分比
折扣,实际售价?原售价×100%(折扣,1) 利息,本金×利率×时间
税后利息,本金×利率×时间×(1,20%) 时间单位换算
1世纪=100年 1年=12月
大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月
小月(30天)的有:4\6\9\11月
平年2月28天, 闰年2月29天
平年全年365天, 闰年全年366天
1日=24小时 1时=60分
1分=60秒 1时=3600秒积=底面积×高 V=Sh