值域的求法

值域的求法值域的求法函数值域求法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 ...

值域的求法函数值域求法在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1 求函数y = 的值域解,x ?0 ，?0 显然函数的值域是,, -?，0 ,?,0 ，+?,。例2 求函数y = 3 -的值域。解, ?0 - ?0 3- ?3 故函数的值域是,[ -?，3 ] 2 、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3 、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。解,将函数配方得,y=,x-1,+4， x [-1，2]，由二次函数的性质可知, 当x = 1时，y = 4 当x = - 1，时= 8 故函数的值域是,[ 4 ，8 ] 3 、判别式法例4 求函数y = 的值域。解,原函数化为关x的一元二次方程,y-1 )+,y - 1 ,x= 0 ,1,当y?1时， xR ,?= (-1)-4(y-1)(y-1) ?0 解得,?y? ,2,当y=1，时，x = 0,而1[ , ] 故函数的值域为[，] 4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例5 求函数y=值域。解,由原函数式可得,x = 则其反函数为,y = 其定义域为,x ? 故所求函数的值域为,,- ?，, 5 、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例6 求函数y = 的值域。解,由原函数式可得,= ,0，,0 解得,- 1,y,1。故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例7 求函数y = 的值域。解,由原函数式可得,ysinx-cosx=3y 可化为,sinx,x+β,=3y 即 sinx,x+β,= ?x?R，?sinx,x+β,?[-1，1]。即-1??1 解得,-?y? 故函数的值域为[-，]。 6 、函数单调性法例8 求函数y = ,2?x?10,的值域解,令y=，= ，则 y，在[ 2， 10 ]上都是增函数。所以y= y +在[ 2 ，10 ]上是增函数。当x = 2 时，y = +=，当x = 10 时，= +=33。故所求函数的值域为,[，33]。例9 求函数y= -的值域。解,原函数可化为, y= 令y = ，= ，显然y，在[1，+?,上为无上界的增函数，所以 y= y +在[1，+?,上也为无上界的增函数。所以当x = 1时，y=y +有最小值，原函数有最大值= 。显然y,0，故原函数的值域为( 0 , ]。 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例10 求函数y = x + 的值域。解,令x-1=t，,t?0,则x=+1 ?y=+t+1=+，又t?0，由二次函数的性质可知当t=0时，y= 1，当t ?0时，y ?+?。故函数的值域为[ 1 ，+?,。例11 求函数y =x+2+的值域解,因1-?0 ，即?1 故可令x+1=cosβ，β?[ 0 ，,] 。 ,?y=cosβ+1+=sinβ+cosβ+1=sin,β+/ 4 ,+1 ,,,?0?β?，0 ?β+/4?5/4 ,? - ?sin,β+/4,?1 ,? 0 ?sin,β+/4,+1?1+。故所求函数的值域为[0，1+]。例12 求函数y=,sinx+1,,cosx+1,，x?[-/12，/2]的值域。 ,, 解,y=,sinx+1,,cosx+1,=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t，则sinxcosx=,-1, y = ,-1,+t+1= 由t=sinx+cosx=sin,x+/4,且x?[-/12，/2] ,,, 可得,?t? ?当t=时，=+，当t=时，y=+ +，+] 。故所求函数的值域为[ 例13 求函数y=x+4+的值域解,由5-x?0 ，可得?x?? 故可令x =cosβ，β?[0，] , y=cosβ+4+sinβ=sin,β+,/4,+ 4 ,,,,?0 ?β?， ?/4?β+/4?5/4 ,, 当β=/4时，=4+，当β=时，y=4-。故所求函数的值域为,[4-，4+]。 8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例14 求函数y=+的值域。解,原函数可化简得,y=?x-2?+?x+8? 上式可以看成数轴上点P,x ,到定点A,2 ,，B,- 8 ,间的距离之和。由上图可知,当点P在线段AB上时， y=?x-2?+?x+8?=?AB?=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=?x-2?+?x+8?,?AB?=10 故所求函数的值域为,[10，+?, 例15 求函数y=+ 的值域解,原函数可变形为,y=+ 上式可看成x轴上的点P,x，0,到两定点A,3，2,，B,-2 ，-1 ,的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时 y=?AB?= =，故所求函数的值域为[，+?,。 9 、不等式法利用基本不等式a+b?2，a+b+c?3,a，b，c?,，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 10、多种方法综合运用例16 求函数y=的值域解,令t= ,t?0,，则x+3=+1 ,1, 当t,0时，y==?，当且仅当t=1，即x=-1时取等号所以0,y?。 ,2, 当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为,[0，]。注,先换元，后用不等式法。例17,用导数求函数的极值及最值,、求函数在区间上的最大值与最小值。解,先求导数，得令,0即解得的正负以及，如下表导数 ,,2，,1, ,,1，0, ,0，1, ,1，2, X ,2 ,1 0 1 2 / y , 0 ， 0 , 0 ， y 13 减 4 增 5 减 4 增 13 从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

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