矩阵的合同_等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别
200509113 李娟娟 一、基本概念与性质
(一)等价:
1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为。 A,B
2、矩阵等价的充要条件:
AB.同型，且人r(A)=r(B)A,B ,{存在可逆矩阵和，使得PQPAQ=B成立
3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互
表
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出，有此可知:两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 (二)合同:
TAB,1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得PAPB,
AB,成立，则称A,B合同，记作该过程成为合同变换。
AB,2、矩阵合同的充要条件:矩阵A,B均为实对称矩阵，则二次,
TTxAxxBx型与有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。 (三)相似
,1BPAP,1、概念:n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得成立，
AB~则称矩阵A,B相似，记为。
2、矩阵相似的性质:
TTkk,,11前提，均可逆ABABABAB~,~,~(,)
,,,,即有相同的特征值(反之不成立)|E-A|||,EBAB
,AB~r(A)=r(B)
,即的逆相等trAtrBAB()(),
|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件:
?充分条件:矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。 ?充要条件: ABEAEB~()(),,,,,,
二、矩阵相等、合同、相似的关系
(一)、矩阵相等与向量组等价的关系: 设矩阵 ， A,(,,,),,,？B,(,,,),,,？12n12m
1、若向量组()是向量组()的极大线性无关,,,,,,？,,,,,,？12n12m
mn,，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱组,则有
者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，
AB,虽然但不能得出。 rArB()(),
2、若m=n，两向量组(,,,,,,？)(,,,,,,？)则有矩阵A,B,12n12m同型且。 rArBABABAB()()~,,,,, r()()ArBAB,,,3、若两向量组秩相同，两向量组等价，即有ABArB,,,,r()(),AB,,,,(,,,)(,,,),,,,,,？？ 1212nn
综上所述:矩阵等价与向量等价不可互推。 (二)、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系:矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为
三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
?相似等价:A,B同型且 AB~rArBAB()(),,,,,
?合同等价:同型且 ABAB ,,rArBAB()(),,,,
?相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以
?、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B一定可以合同于对角矩阵当
TTAB~时，二次型与有相同的||||,,EAEB,,,,fxXAX(),gxXBX(),
,,,ABAB 标准型，即二者有相同的正负惯性指数
ABABAB~,,, 即有
TT?、存在一个正交矩阵P，即使得即AB 则有PPE,PAPB,
T,1ABAB ,~BPAPPAPAB,,,~ 即有
?、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P，则
ABABAB~,,, AB~时有
?、、、 ABrArB~()(),,ABrArB ,,()()ABrArB,,,()()下面讨论时成立的条件。 rArB()(),ABABAB~,, ,
由?、?、?的论述可知
T,1PP,存在正交矩阵P时，有，则
TTBPAP,记则 rArB()(),rPAPrA()(),
ABABAB ,,,~此时
即P为正交矩阵时，由 rArBABABAB()()~,,,,,
(三)
1、矩阵等价:?同型矩阵而言
?一般与初等变换有关
?秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的
本质是秩相等
2、矩阵相似:?针对方阵而言
?秩相等是必要条件
?本质是二者有相等的不变因子
3、矩阵合同:?针对方阵而言，一般是对称矩阵
?秩相等是必需条件
?本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同
由以上知，秩是矩阵等价的不变量;不变因子是矩阵相似的不变量;特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵
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