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matlab上机实验报告matlab上机实验报告 院 系: 能源与机械工程学院 专业年级: 动力机械及工程2012级 学生姓名: 张亚杰 学 号: ys1210124014 指导教师: 黄建雄 2012年12月26日 1 数值计算方法上机实习题 n1x1( 设, I,dxn,05,x 1(1) 由递推公式II,从的几个近似值出发,计算; ,,,5IInn,1020n 11解:I==0.1823 d0x,0,x5 计算I20编辑matlab命令如下: I=0.1823 for n=1:1:20, I=-5*I+1/...

matlab上机实验报告
matlab上机实验报告 院 系: 能源与机械工程学院 专业年级: 动力机械及工程2012级 学生姓名: 张亚杰 学 号: ys1210124014 指导教师: 黄建雄 2012年12月26日 1 数值计算 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 上机实习题 n1x1( 设, I,dxn,05,x 1(1) 由递推公式II,从的几个近似值出发,计算; ,,,5IInn,1020n 11解:I==0.1823 d0x,0,x5 计算I20编辑matlab命令如下: I=0.1823 for n=1:1:20, I=-5*I+1/n; fprintf('%.1d %.4f\n',n ,I); end 结果: 11II,,,II(2) 粗糙估计,用,计算; n,1n20055n 201xd解:I= 20x,05,x 使用复合中点公式进行积分,相应的matlab程序如下: 2 I=0; for h=0:0.001:1, m=h+0.0005; I=I+0.001*m^20/(5+m); fprintf('%.1d %.4f\n',m ,I); end disp(I); for k=1:20, n=21-k; I=0.2*(1/n-I); fprintf('%.1d %.4f\n',n ,I); end disp(I) 结果 : 程序结束时输出两个I值,第一个表示I,第二个表示I; 200 分别为I=0.008220 I=0.1823 0 (3) 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 从上述计算中分析得到如果先得到I,再从I由递推公式得到I,I结果跟精002020 确值相比误差很大;如果先估算I,在从I有递推公式得到I,I的结果跟精确值202000 相比近似相等。 3 原因分析: 如果从I推I的近似值,需要用到递推公式I=-5I+1/n,I0本身结果是有误020nn-1 差的;经过递推公式计算20次,就等于误差被认为的放大5的20次方倍,所以得 到的I与其精确值相差甚远。 20 如果从I推I的近似值,需要用到I=0.2(1 /n-I),尽管I本身有误差,但200n-1n20 是经过20次运算,其误差缩小到原来的0.2的20次方倍,所以得到的I与其精确0 值比较相近。 ,4x2( 求方程的近似根,要求,并比较计算量。 e,10x,2,0x,x,5,10kk,1(1) 在[0,1]上用二分法; Matlab程序如下: a=0; b=1; c=b-a; n=0 while c>0.0005, x=(a+b)/2; f=exp(x)+10*x-2; if f>0, b=x; c=b-a; elseif f<0, a=x; c=b-a; else x=x; c=0; end n=n+1; fprintf('%.1d %.4f %.4f\n',n ,x,c); end 结果如下: 解得到;x=0.0903 4 x2,e(2) 取初值,并用迭代; x,x,0k,1010 采用matlab进行迭代的程序如下: x=0; c=1; n=0; while c>0.0005, m=x; m=(2-exp(m))/10; c=abs(m-x); x=m; n=n+1; fprintf('%.1d %.4f %.4f\n',n ,x,c); end 结果: 解得x=0.0905 (3) 加速迭代的结果; 采用matlab进行迭代的程序如下: x=0; n=0; a=0; b=1; while abs(a-b)>0.0005, n=n+1; a=x; y=(2-exp(x))/10; z=(2-exp(y))/10; x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x); b=x; fprintf('%.1d %.4f %.4f\n',n ,x,abs(a-b)); end 结果如下: x,0(4) 取初值,并用牛顿迭代法; 0 Matlab程序如下: 5 x=0; a=1; n=0; while abs(a)>0.0005, n=n+1; a=(exp(x)+10*x-2)/(exp(x)+10); x=x-a; fprintf('%.1d %.4f %.4f\n',n ,x,abs(a)); end 运行结果: (5) 分析绝对误差。 二分法 代数式迭代 加速迭代 牛顿迭代 迭代次数 X(k) X(k) X(k) X(k) Erroe Erroe Erroe Erroe 1 0.5000 0.5000 0.1000 0.1000 0.0905 0.0905 0.0909 0.0909 0(0000 2 0.2500 0.2500 0.0895 0.0105 0.0905 0.0905 0.0004 3 0.1250 0.1250 0.0906 0.0012 4 0.0625 0.0625 0.0905 0.0001 5 0.0938 0.0313 6 0.0781 0.0156 7 0.0859 0.0078 8 0.0898 0.0039 9 0.0918 0.0020 10 0.0908 0.0010 11 0.0903 0.0005 我们可以看到,在运算要求到同一精度的情况下,采用(1)的二分法运算了11次,采用(2)的方法运算了4次,采用(3)的加速迭代法运算了2次,采用(4)的牛顿迭代法也需运算2次。也就是说牛顿的迭代的收敛速度与加速迭代速度都是超线性收敛的,而简单迭代法是线性收敛的。而二分法收敛速度较慢,所以在工程上不经常使用。 3(钢水包使用次数多以后,钢包的容积增大,数据如下: x 2 3 4 5 6 7 8 9 y 6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10 11 12 13 14 15 16 10.49 10.59 10.60 10.8 10.6 10.9 10.76 试从中找出使用次数和容积之间的关系,计算均方差。(注:增速减少,用何种模型) 解:将使用次数x与体积y的关系用matlab采用如下程序绘制在二维坐标系: x=[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; y=[6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.8 10.6 10.9 10.76]; plot(x,y,'b*-'); 6 结果如下: 由数据点分布图可知,拟合曲线y=f(x)随着x的增加而上升,但上升速度由快到慢,当x趋于无穷大时,y趋于某个常数,故曲线有一水平渐进线。根据上述特征很容易想到用 b/xLogistic模型来拟合该曲线。设y=f(x)的形式为y=ae(a>0,b<0),两边取对数,得lny=lna+b/x。记A=lna,B=b,并引入新变量m=lny,n=1/x。引入新变量后的数据表如下: x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 n=1/x 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714 0.0667 0.0625 m=lny 1.8594 2.1041 2.2597 2.2513 2.2721 2.3026 2.2956 2.3016 2.3504 2.3599 2.3609 2.3795 2.3609 2.3888 2.3758 Matlab拟合程序如下: n=[0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429 0.1250 0.1111 0.1000 0.0909 0.0833 0.0769 0.0714 0.0667 0.0625]; m=[1.8594 2.1041 2.2597 2.2513 2.2721 2.3026 2.2956 2.3016 2.3504 2.3599 2.3609 2.3795 2.3609 2.3888 2.3758]; polyfit(n,m,1) 运行的结果: 由此可得 A=2.4578 B=-1.1107 Aa=e=11. 6791 b=B=-1.1107 ,1.1107x由此得到使用次数与容积的函数为 ye,11.6791 将统计表和函数用matlab绘制在同一坐标系内程序如下: x1=[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16]; y1=[6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.8 10.6 10.9 10.76]; x=2:1:16; y=11.679*exp(-1.1107*x.^(-1)); hold on; plot(x,y,'ro-'); plot(x1,y1,'b*-'); 结果如图: 7 计算均方差s,matlab程序如下: y=[6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.8 10.6 10.9 10.76]; s=0; for n=2:1:16, a=abs(11.679*exp(-1.1107*n.^(-1))-y(n-1)); s=s+a.^2; end s=(s/15).^(1/2); disp(s); 运算结果均方差S=0.2438 小结:根据已给的条件计算函数是十分困难的,但通过对离散点的分析及变化规律找出其中的规律,并通过计算来得到实际的函数是十分有用的方法。本题就是这样做的一个典型,在n=1/x和m=lny的基础上找到了它们之间的关系并通过这种关系来拟合原函数,并最终验证计算结果。 4,10,1000,,,,,,,,,14,10,105,,,, ,,,,0,14,10,1,2,,,,Ax,bA,b,4(设,, ,10,14,105,,,, ,,,,0,10,14,1,2,,,,,,,,00,10,146,,,, ,4x,x,10分析下列迭代法的收敛性,并求的近似解及相应的迭代次数。 kk,12 (1) JACOBI迭代; 解 matlab计算程序如下: A=[ 4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4]; b=[ 0;5;-2;5;-2;6]; error=1; D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); X=zeros(size(b)); while error>0.0001, 8 X=D\(b+L*X+U*X); error=norm(b-A*X)/norm(b); end disp(x); disp(error); 解得X =[0.9999;1.9999;0.9998;1.9999;0.9998;1.9999] error= 7.0206e-05 (2) GAUSS-SEIDEL迭代; A=[ 4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4]; b=[ 0;5;-2;5;-2;6]; error=1; D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); X=zeros(size(b)); while error>0.0001, X=(D-L)\(b +U*X); error=norm(b-A*X)/norm(b); end disp(x); disp(error); 解得X =[ 0.9998;1.9998;0.9998;1.9999;0.9999;1.9999] error= 5.5892e-05 (3) SOR迭代()。 ,,1.334,1.95,0.95 , N=1.334使用matlab求解程序如下: A=[ 4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4]; b=[ 0;5;-2;5;-2;6]; error=1; D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); X=zeros(size(b)); while error>0.0001, n=1.334; X=(D-n*L)\[(1-n)*D+n*U]*X+n*[(D-n*L)\b]; error=norm(b-A*X)/norm(b); disp(X); end disp(error); 此循环得到的X=[0.9999;2.0000; 1.0000;1.9999; 1.0000;2.0000] error= 6.3632e-05 9 , N=1.95使用matlab求解程序如下: A=[ 4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4]; b=[ 0;5;-2;5;-2;6]; error=1; D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); X=zeros(size(b)); while error>0.0001, n=1.95; X=(D-n*L)\[(1-n)*D+n*U]*X+n*[(D-n*L)\b]; error=norm(b-A*X)/norm(b); disp(X); end disp(error); 此循环得到的X=[0.9999;2.0001; 0.9999;1.9999; 1.0001;1.9999] error= 9.0363e-05 , N=0.95使用matlab求解程序如下: A=[ 4 -1 0 -1 0 0;-1 4 -1 0 -1 0;0 -1 4 -1 0 -1;-1 0 -1 4 -1 0;0 -1 0 -1 4 -1;0 0 -1 0 -1 4]; b=[ 0;5;-2;5;-2;6]; error=1; D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); X=zeros(size(b)); while error>0.0001, n=0.95; X=(D-n*L)\[(1-n)*D+n*U]*X+n*[(D-n*L)\b]; error=norm(b-A*X)/norm(b); disp(X); end disp(error); 此循环得到的X=[0.9997;1.9997; 0.9997;1.9998; 0.9998;1.9999] error= 8.6235e-05 631,,,,,3A,321105(用逆幂迭代法求最接近于11的特征值和特征向量,准确到。 ,, ,,111,, 解:matlab程序如下: a=[6 3 1;3 2 1;1 1 1]; I=[1 0 0;0 1 0; 0 0 1]; b0=a-11*I; v0=[1;1;1]; 10 m=max(abs(v0)); flab=1; while flab>0.001, u=v0/m; v0=b0\u; [tv,ti]=max(abs(v0)); n=v0(ti); flab=abs(n-m); m=n; end m=1/m+11; disp(m); 运行结果如下: 即离11最近的特征值为7.8745;相应的特征向量u=[1.0000;0.5503;0.2271]。 6(用经典R-K方法求解初值问题 ,y,,2y,y,2sinxy(0),2,,1121(1),, ; x,[0,10],,,yy,y,2y,2cosx,2sinx(0),32122,,解:采用经典R-K公式计算的MATLAB程序如下: y1=2; y2=3; for h=0:0.01:10, k1=0.01*(-2*y1+y2+2*sin(h)); l1=0.01*(y1-2*y2+2*cos(h)-2*sin(h)); k2=0.01*(-2*(y1+0.5*k1)+(y2+0.5*l1)+2*sin(h+0.005)); l2=0.01*((y1+0.5*k1)-2*(y2+0.5*l1)+2*cos(h+0.005)-2*sin(h+0.005)); k3=0.01*(-2*(y1+0.5*k2)+(y2+0.5*l2)+2*sin(h+0.005)); l3=0.01*((y1+0.5*k2)-2*(y2+0.5*l2)+2*cos(h+0.005)-2*sin(h+0.005)); k4=0.01*(-2*(y1+k3)+(y2+l3)+2*sin(h+0.01)); l4=0.01*((y1+k3)-2*(y2+l3)+2*cos(h+0.01)-2*sin(h+0.01)); y1=y1+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); y2=y2+1/6*(l1+2*l2+2*l3+l4); if h==fix(h); fprintf('%.1d %.4f %.4f\n',h,y1,y2); else end end 11 结果如下所示: ,y,,2y,y,2sinxy(0),2,,1121(2),, 。 x,[0,10],,,yy,998y,999y,999cosx,999sinx(0),32122,, ,x,y(x),2e,sinx1和精确解比较,分析结论。 ,,xy(x)2ecosx,,2, Matlab程序如下: y1=2; y2=3; for h=0:0.00001:10, k1=0.00001*(-2*y1+y2+2*sin(h)); l1=0.00001*(998*y1-999*y2+999*cos(h)-999*sin(h)); k2=0.00001*(-2*(y1+0.5*k1)+(y2+0.5*l1)+2*sin(h+0.000005)); l2=0.00001*(998*(y1+0.5*k1)-999*(y2+0.5*l1)+999*cos(h+0.000005)-999*s in(h+0.000005)); k3=0.00001*(-2*(y1+0.5*k2)+(y2+0.5*l2)+2*sin(h+0.005)); l3=0.00001*(998*(y1+0.5*k2)-999*(y2+0.5*l2)+999*cos(h+0.000005)-999*s in(h+0.000005)); k4=0.00001*(-2*(y1+k3)+(y2+l3)+2*sin(h+0.00001)); l4=0.00001*(998*(y1+k3)-999*(y2+l3)+999*cos(h+0.00001)-999*sin(h+0.00 001)); y1=y1+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); y2=y2+1/6*(l1+2*l2+2*l3+l4); if h==fix(h), fprintf('%.1d %.4f %.4f\n',h,y1,y2); else end end 结果如下: 12 精确解: for x=0:1:10, y1=2*exp(-x)+sin(x); y2=2*exp(-x)+cos(x); fprintf('%.1d %.4f %.4f\n',x,y1,y2); end 结果; 结果分析: 四阶RungeKutta方法得到的结果已很接近精确解,证明这种迭代方法精确度很好,是一种有效的算法。但是要注意龙格-库塔公式的推导基于泰勒展开方法,因而它要求所求的的解具有较好的光滑性质。反之,如果解得光滑性差,那么,使用四阶龙格-库塔求得的数值解精度就不是太高,此种情况可以采用缩小步长来解决,比如上述计算。 7(用有限差分法求解边值问题(h=0.1): 2,,,,(1,),0yxy. ,y(,1),y(1),1, 2,,,,,,,yxy(1)0微分方程式可以变为用有限差分法matlab程序如下: ,yy(1)(1)1,,,, h=0.1; n=2/0.1-1; g(1)=1/(h.^2); g(n)=1/(h^2); for i=2:1:18, 13 g(i)=0; end g=[g(1);g(2);g(3);g(4);g(5);g(6);g(7);g(8);g(9);g(10);g(11);g(12);g(1 3);g(14);g(15);g(16);g(17);g(18);g(19)]; disp(g); for i=1:1:19, for j=1:1:19, if i==1, H(1,1)=2/(h.^2)+(1+(-1+0.1*i).^2); H(1,2)=-1/(h.^2); elseif i==19, H(19,18)=-1/(h.^2); H(19,19)=2/(h.^2)+(1+(-1+0.1*i).^2); else if j==i, H(i,j)=2/(h.^2)+(1+(-1+0.1*i).^2); elseif j==i-1, H(i,i-1)=-1/(h.^2); elseif j==i+1; H(i,i+1)=-1/(h.^2); else H(i,j)=0; end end end end disp(H); y=H\g; for i=1:1:19, fprintf('%.4f %.4f\n',-1+0.1*i,y(i,1)) end 运算结果为: g,10000000000000000000100 ,, H矩阵为: 14 Y在各点的近似值为: X Y 8.用函数y=asin(bx)拟合数据. x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y 0.6 1.1 1.6 1.8 2.0 1.9 1.7 1.3 Matlab上机程序为: function [err,a,b]=nlfitb(x,y) if nargin<2, x=[1:8]'/10; y=[0.6 1.1 1.6 1.8 2.0 1.9 1.7 1.3]'; end 15 beta0=[1 1]'; beta=nlinfit(x,y,@mymodel,beta0); fprintf('The nonlinear least square fitting y=a*sin(b*x) for data\n\n'); fprintf('%6.1f',x); fprintf('%6.1f',y); fprintf('\n\n is \n\nt y=%7.4f*sin(%7.4f*x)\n\n',beta); z=linspace(x(1),x(end),100); plot(x,y,'ro',z,beta(1)*sin(beta(2)*z),'b-.'); function yb=mymodel(beta,xb) yb=beta(1)*sin(beta(2)*xb); 计算结果: (拟合形如f(x)?(a+bx)/(1+cx)的函数的一种快速方法是将最小二乘法用于下列问题:9 f(x)(1+cx)?(a+bx),试用这一方法拟合表4-4给出的中国人口数据。 表4-4 次序 年份 人口(亿) a) 1953 5.82 b) 1964 6.95 c) 1982 10.08 d) 1990 11.34 e) 2000 12.66 解:把f(x)(1+cx)?(a+bx)变成f(x)?a+bx-cx f(x)则近似看成基函数是1,x,-x*f(x)而数据是(x,f(x))的最小二乘拟合问题,程序如下: ii function [a,b,c]=ex41 x=[1953 1964 1982 1990 2000]'; y=[5.82 6.95 10.08 11.34 12.66]'; A=[ones(5,1) x -x.*y]; Z=A\y; a=Z(1) b=Z(2) c=Z(3) z=linspace(1953,2000,100); plot(x,y,'ro',z,(a+b*z)./(1+c*z),'b-.'); 结果: 16 2.94560.0014,x所以。 fx,,,10.0004956,x 10.已知20世纪美国人口的统计数字如表5-12(单位:百万): 表5-12 美国人口统计数据 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 试分别用两点公式和三点公式计算美国人口20世纪的年增长率。 1解;?采用两点公式,设t(i)表示年份,y(i)表示该年份的美国人口;两点公式为: yiyi(1)(),, li(),titi(1)(),, 两点公式matlab编程; t=[1900:10:1990]; y=[76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4]; for i=1:10, if i<10, l(i)=(y(i+1)-y(i))/(t(i+1)-t(i)); v(i)=l(i)/y(i); else l(i)=l(i-1); v(i)=l(i)/y(i); end end disp(l); disp(v); 运行结果为: 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 年份 1.6000 1.4500 1.6700 0.8500 1.9000 2.8600 2.4700 2.2500 2.4900 2.4900 年增长 0.0211 0.0158 0.0157 0.0069 0.0144 0.0190 0.0138 0.0110 0.0110 0.0099 年增长率 17 2?采用三点公式,设t(i)表示年份,y(i)表示该年份的美国人口;三点公式为: ,,,,,3()4(1)(2)yiyiyi li(),titi(2)(),, 三点公式matlab程序如下: t=[1900:10:1990]; y=[76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4]; for i=1:10, if i<9, l(i)=(-3*y(i)+4*y(i+1)-y(i+2))/(t(i+2)-t(i)); v(i)=l(i)/y(i); elseif i==9 l(i)=(l(i+1)-l(i-1))/(t(i+1)-t(i-1)); v(i)=l(i)/y(i); else l(i)=(l(i-2)-4*l(i-1)+3*l(i))/(t(i)-t(i-2)); v(i)=l(i)/y(i); end end disp(l); disp(v); 运行结果: 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 年份 1.6750 1.3400 2.0800 0.3250 1.4200 3.0550 2.5800 0.0180 0.4764 年增长 2(1300 0.0220 0.0146 0.0195 0.0026 0.0108 0.0203 0.0144 0.0104 0.0001 年增长率 0(0019 上机实验总结: 在编程的过程中,我遇到了不少问题。这些问题包括对课本 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 的不清楚,也有对MATLAB程序的不熟悉,但在老师和同学们的帮助下都得到了克服。通过这次上机实习,使我对数值分析这门课有了崭新的认识,初步掌握了用MATLAB来编程并解决问题的能力,并使我对各个知识点有了更深刻的认识。 该课程计算量大、算法多、实践性强。学习过程中,既要吸收课堂讲授算法的数学理论,又要思考算法的实际应用。而任何算法的具体实现、精度检验、收敛分析常常涉及到大量的数值计算和各种结果的绘图。这种繁琐的计算和绘图。需要很多的时间和精力。在学习和实验过程中,我们利用数学软件MATLAB的数值计算功能和友好的图形界面,对数值分析中涉及到的基本问题进行辅助 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 。不仅高效、准确,而且可以直观地看出结果,便于对算法进行整体的描述与分析。 最后,向细心教导我们的黄建雄老师致谢~ 18
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