什么叫自然数_数学自然数知识
导语,下面是由品才网小编为大家介绍的对于数学中的自然数解释,欢迎阅读。
什么叫自然数_数学自然数知识
自然数介绍
自然数用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数,自然数由0开始,一个接一个,组成一个无穷的集体。
性质
1.对自然数可以定义加法和乘法。其中,加法运算“+”定义为,
a + 0 = a;
a + S(x) = S(a +x), 其中,S(x)表示x的后继者。
如果我们将S(0)定义为符号“1”,那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 )
= S(b),即,“+1”运算可求得任意自然数的后继者。
同理,乘法运算“×”定义为,
a × 0 = 0;
a × S(b) = a × b + a
自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。
2.有序性。自然数的有序性是指,自然数可以从0开始,不重复也不遗漏地排成一个数列,0,1,2,3,…这个数列叫自然数列。
一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应,我们就说这个集合是可数的,否则就说它是不可数的。
3.无限性。自然数集是一个无穷集合,自然数列可以无止境地写下去。
对于无限集合来说“,元素个数”的概念已经不适用,用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少,集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。这一方法对于有限集合显然是适用的,21世纪把它推广到无限集合,即如果两个无限集合的元素之间能建立一个一一对应,我们就认为这两个集合的元素是同样多的。对于无限集合,我们不再说它们的元素个数相同,而说这两个集合的基数相同,或者说,这两个集合等势。
4.传递性,设 n1,n2,n3 都是自然数,若 n1>n2,n2>n3,那么 n1>n3。
5.三岐性,对于任意两个自然数n1,n2,有且只有下列三种关系之一,n1>n2,n1=n2或n1<n2。< p="">
6.最小数原理,自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称为线性序集。容易看出,有理数集、实数集都是线性序集。但是这两个数集都不具备性质5,例如所有形如nm(m>n,m,n 都是自然数)的数组成的集合是有理数集的非空子集,这个集合就没有最小数;开区间(0,1)是实数集合的非空子集,它也没有最小数。
具备性质5的集合称为良序集,自然数集合就是一种良序集。容易看出,加入0之后的自然数集仍然具备上述性质3、4、5,就是说,仍然是线性序集和良序集。
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0的争议
对于“0”,它是否包括在自然数之内存在争议,有人认为自然数为正整数,即从1开始算起;而也有人认为自然数为非负整数,即从0开始算起。到21世纪关于这个问题也尚无一致意见。
在国外,有些国家的教科书是把0也算作自然数的。这本是一种人为的规定,我国为了推行国际
标准
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化组织(ISO)制定的国际标准,定义自然数集包含元素0,也是为了早日和国际接轨。
现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集叫做自然数集,记作N,而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法,明确指出0也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数,也是非负数和非正数。
0的来由
0是极为重要的数字,0的发现被称为人类伟大的发现之一。0在我国古代叫做金元数字,(意即极为珍贵的数字)。0这个数据说是由印度人在约公元5世纪时发明,在1202年时,一个商人写了一本算盘之书,在东方中由于数学是以运算为主(西方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字,加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字……”。由于一些原因,在初引入0这个符号到西方时,曾经
引起西方人的困惑, 因当时西方认为所有数都是正数,而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0),甚至认为是魔鬼数字,而被禁用。直至约公元15,16世纪0和负数才逐渐给西方人所认同,才使西方数学有快速发展。 0的另一个历史,0的发现始于印度。公元左右,印度最古老的文献《吠陀》已有“0”这个符号的应用,当时的0在印度表示无(空)的位置。约在6世纪初,印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫.玛格蒲达首先说明了0的0是0,任何数加上0或减去0得任何数。遗憾的是,他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例。也有的学者认为,0的概念之所以在印度产生并得以发展,是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年,印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间,将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人,因为这种方法简便易行,不久就取代了在此之前的阿拉伯数字。这套记数法后来又传入西欧。
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