平面向量的数量积

平面向量的数量积 www.ysw007.com 第26讲 1．平面向量的数量积 ?通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ?体会平面向量的数量积与向量投影的关系； ?掌握数量积的坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式，会进行平面向量数量积的运算； ?能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2．向量的应用 经历用向量 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 解决某些简单的平面几何问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 、力学问题与其他一些实际问题的过程， 体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。 本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念 及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。 平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系， 解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主 预测2010年高考： （1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中 档题目 （2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质； 1．向量的数量积 （1）两个非零向量的夹角 已知非零向量a与a，作OAaOBbab＝，＝，则?AＯA＝θ（０?θ?π）叫与的夹角； 说明：（1）当θ＝０时，ab与同向； （2）当θ＝π时，ab与反向； ,（3）当θ＝abab时，与垂直，记?； 2 （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0:?,?180:。 C （2）数量积的概念 已知两个非零向量bbbb与，它们的夹角为，则?=?????cos叫做与的a,aa,a数量积（或内积）。规定00,,a； - 1 - www.ysw007.com ab,向量的投影：??cos=?R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为bb,a||a 射影； （3）数量积的几何意义： ?等于的长度与在方向上的投影的乘积 bbaaa（4）向量数量积的性质 22?向量的模与平方的关系：aaaa,,,||。 ?乘法公式成立 2222abababab，,,,,,,； ，，，， 22222abaabb,,,,，2,,,，aabb2； ，， ?平面向量数量积的运算律 交换律成立：abba,,,； 对实数的结合律成立：； ,,,,abababR,,,,,,，，，，，，，， 分配律成立：。 abcacbc,,,,,,,,,cab，，，， xx，yyab,1212?向量的夹角：coscos,,,,ab==。 ,2222ab,x，y,x，y1122 00当且仅当两个非零向量bb与同方向时，θ=0，当且仅当与反方向时θ=180，同时aa 0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 （5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量xxyy，b，则?=。 axybxy,,(,),(,)a12121122 0（6）垂直：如果bbb与的夹角为90则称与垂直，记作?。 aaa ,,,,两个非零向量垂直的充要条件：xx，yy,0bb??＝O，平面向量数aa,,1212量积的性质。 （7）平面内两点间的距离公式 22222设，则或|a|,x，y。 a,(x,y)|a|,x，y 如果表示向量a(x,y)(x,y)的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么1122 22|a|,(x,x)，(y,y)(平面内两点间的距离公式) 1212 2．向量的应用 - 2 - www.ysw007.com （1）向量在几何中的应用； （2）向量在物理中的应用。 题型1：数量积的概念 例1．判断下列各命题正确与否： （1）； 00,,a （2）； 00,,a （3）若aabac,,,,0,，则； bc, （4）若，则当且仅当时成立； abac,,,bc,a,0 （5）()()abcabc,,,,,abc,,对任意向量都成立； 22（6）对任意向量，有。 aa,a 解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。 点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚0,a为零 向量，而0,a为零 例2.已知?SQAPQ中，过重心的直线交边于，交边于，设?的面积为，ABPGACABC1 pq?,APpPB,AQqQC,S的面积为，，，则（?）ABC2pq， S1（?）的取值范围是 .S2 【解析】设ABa,，ACb,，，，因为是?的重心，故 APa,,AQb,,GABC12 111AGab,，()，又PGAGAPab,,,,，(),，，因为PQAQAPba,,,,,,121333 11PQPQPG,,PGab与共线，所以，即[()]()0,,,,,,，，,,ab，又与不共线，11233 11所以,,,,，,3,,,(),,,及,,,，消去，得. ,121211233 1111pq（?）,1，,,，,,,,(1)(1)321，故； pq，,,pq12 ,1SAPAQBAC||||sin,,，11（?）,,,,(),，那么 21,313,SABACBAC||||sin,,，12 2,11,,1,,,,,，当与重合时，，当位于中点时， PBPAB11213931,,21(),,，,241 - 3 - www.ysw007.com SS11414111，故，故但因为与不能重合，故 ,,,,[,1],[,].,[,).PB11SS22929222 （2）设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ?（a?b）c－（c?a）b=0 ?|a|－|b|<|a－b| ?（b?c）a－（c?a）b不与c垂直 22?（3a+2b）（3a－2b）=9|a|－4|b|中，是真命题的有（ ） A.?? B.?? C.?? D.?? 解析：（1）答案：D；因为，而；(a,b),c,|a|,|b|cos,,ca,(b,c),|b|,|c|cos,,a 而c方向与a方向不一定同向 （2）答案：D?平面向量的数量积不满足结合律。故?假；?由向量的减法运算可知|a|、 |bab|、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故?真；?因为 ［（bcacabcbcaccabc?）－（?）］?=（?）?－（?）?=0，所以垂直.故? 22假；?（3ababaabbab+2）（3－2）=9??－4?=9||－4||成立。故?真。 点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2：向量的夹角 例3．（1）过?AEyAC,ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，ADxAB, 11，xy,0，则的值为（ ） xy （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 11解析：，取?ABC为正三角形易得＝3．选B． xy 评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比 较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力． （2）已知向量,,ababa，ba,b,,=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角,, 的大小是 。 0（3）已知两单位向量cabdba,,,,2,3bd与的夹角为120，若，试求与的夹角。 ac （4）| abcabcaab|=1，| |=2，= + ，且?，则向量与的夹角为 - 4 - www.ysw007.com （ ） A．30? B．60? C．120? D．150? ,解析：（2）； 2 0（3）由题意，，且与的夹角为， bab,,1120a 10所以，， abab,,,,cos1202 222(2)(2)abab,,,， ,,,，,447aabbccc,,, ， ？,c7 同理可得。 ？,d13 1722而， cd,,(2)(3)732abbaabba,,,,,,,,,2 设为与d的夹角， ,c 171791则。 ,cos,,,1822713 （4）C；设所求两向量的夹角为 , 2,,,,,,,,,,,,, ？,，,，,caabaaab.()..0 cabca,，,　　 ,,2,,,,||||1aa2 cos,,,,,,？,,||||||cosaab, 即： ,,,2||||||abb o所以 ,,120. a,b点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式,，要掌握向量坐标形式的运算。cos, |a|,|b| ,,,,向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于abab.||||cos,,这个公式的变形应用 应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握 例4．（1）设平面向量、、的和。如果向量、、，满aa，a，a,0babab123332211 o足i,1,2,3，且顺时针旋转30后与同向，其中，则（ ） |b|,2|a|abiiii A．－00++= B．-+= bbbbbb332211 C．00+-= D．++= bbbbbb332211 - 5 - www.ysw007.com ,（2）（2009广东卷理）已知向量与互相垂直，其中． ,,(0,)a,(sin,,,2)b,(1,cos,)2 （1）求和的值； sin,cos, 10,（2）若sin(),0,,,,,,,，求的值． cos,102 解 （1）?a,b,sin,,2cos,,0a与b互相垂直，则，即，代入sin,,2cos, ,25522,,得，又， sin,，cos,,1,,(0,)sin,,,cos,,552 255?,,. sin,,cos,55 ,,,,（2）?，，?， 0,,,0,,,,,,,,,2222 3102则cos(,,,),1,sin(,,,),， 10 2,1.山东临沂2009年模拟）如图，已知?ABC中，|AC|=1,?ABC=fABBC(),,,?BAC=θ,记。 3（1） 求f(),关于θ的表达式; （2） 求f(),的值域。 ||1||BCAB解：（1）由正弦定理，得 ,,22,,sin,sinsin(),,33 2,sin(),,sin2323,,3 ？,,,,,||sin,||sin()BCAB,,22,,333sinsin33 ,,41？,,,,fABBCABBC()||||cossinsin(),,, 3332 231311 ,,,，,,,,,,(cossin)sinsin2cos2 322666 11,, ,，,,,sin(2).(0),, 3663 ,,,,5（2）由0,,,,，,2,,，得 3666 - 6 - www.ysw007.com 1, ？,，,sin(2)1,,26 111,1?，即的值域为f(),0sin(2),，,,,(0 ,] 36666. 52.已知,,,。 CD,AB,0|AB|,8|AC|,5AD,DB11 （1）求； |AB,AC| ,4 （2）设?BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝,,,,, ，，求sinx x45 16解：（1）由已知 AB,DB,DA,DB，AD,DB1111555511 ? DB,AB,AD,DB,AB,|AD｜,|AB|,,|DB|,,1611161622222 ? ?CD?AB，在Rt?BCD中BC=BD+CD, CD,AB,02222222 又CD=AC－AD, 所以BC=BD+AC－AD=49， „„4分 所以 „„6分 |AB,AC,|BC|,7 1,（2）在?ABC中， ? „„8分 cos，BAC,,,32 ,4,3 cos（,，x）,cos(，x),sin（，x）,,3535 ,2,,,,, 而 如果， ,,x,,,,,，x,0,，x,,31243312 ,,,13,3则 ? „„10分 sin(，x),sin,sin,,sin(，x),,31262535 3，43,, sin,sin[(，),],,xx3310 点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题 题型3：向量的模 o例5．（1）已知向量a与b的夹角为，则等于（ ） 120aab,，,3,13,b A．5 B．4 C．3 D．1 0（2）（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为60，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |等于 （ ） A.33 B.2 C.4 D.12 222解析 由已知|a|＝2,|a＋2b|＝a＋4a?b＋4b＝4＋4×2×1×cos60?＋4＝12 ?23 ab，,2 解析：（1）B；（2）B - 7 - www.ysw007.com 2a,b2点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。 a,|a||a|, |b|cosQ ,,,,,,,例6．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)?，且｜x+y｜=1。 bbbaaaa ,,,,解析：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)； bbaa ,,,,,,又（x+y）?(x+y)?＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0； bbaaaa,, 即25x+24y＝０ ?； ,,,,２又｜x+y｜=1｜x+y｜＝１； bbaa, ２２（３x+4y）＋（４x+3y）＝１； ,２２２整理得25x＋48xy+25y＝１即x(25x+24y)+24xy+25y＝１ ?； ２由??有24xy+25y＝１ ?； 5将?变形代入?可得：y=?； 7 2424,,x,x,,,,,,3535再代回?得：。 和,,55,,y,,y,,,77,, 点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。 题型4：向量垂直、平行的判定 例7．已知向量x,a//b，，且，则 。 a,(2,3)b,(x,6) 解析：?xy,xya//b，?，?，?。 2,6,3xx,41221 例8．已知mab,,,,nab,，2，，，按下列条件求实数的值。b,,1,2a,4,3,，，，， （1）；（2）；。 (3)mn,mn,mn// 解析： mab,,,，,,,,4,32,nab,，,27,8，，，， 52（1），，，，,4，,，7，3,2,，8,0,,,,； mn,9 1（2），，，，,4，,，8,3,2,，7,0,,,,； mn//2 22222，，，，,4，,，3,2,,7，8,5,,4,,88,0 (3)mn, 2,211,。 ,,5 点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算 - 8 - www.ysw007.com ，,1.（9北京卷理）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 ( ) ,(k,,k// A．且c与d同向 B．且c与d反向 k,1k,1 C．且c与d同向 D．且c与d反向 k,,1k,,1 答案 D 解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查. 取a，,,，b，若，则cab，da,b， ,1,0,0,1,1,1,,1,1k,1，，，，，，，， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，，,,,,，则cab，dab， ,,1,1,,,1,1k,,1，，，， 即cd且c与d反向，排除C，故选D. // 2、江苏省阜中2008届高三第三次调研 考试试题 高中音乐教师业务考试试题学前班考试试题docoffice办公软件考试试题班组级安全教育考试试题及答案银行业从业资格考试试题 已知O为坐标原点, OMNM,,,,1,1,5,5,集合AORRNOPOQ,,2,,,且,A，，，，,,MPMQ,,,,,,R,0且，则MPMQ,, .46 ，， 3、(2009山东卷理)设P是?ABC所在平面内的一点，BCBABP，,2，则（ ） A.PAPB，,0PCPA，,0PBPC，,0PAPBPC，，,0 B. C. D. 答案 B 解析 :因为BCBABP，,2，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答. 4、（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面内，且,ABC PAPBPBPCPCPA,,,,,，且，则点O，N，OAOBOCNANBNC,,，，,,0 P依次是的 ( ) ,ABC A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 答案 C （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） - 9 - www.ysw007.com 解析 由知为的外心；由知，为的重心OAOBOCOABCNANBNCOABC,,,，，,,,0 PAPBPBPCPAPCPBCAPBCAPB,,,？,,,？,,？,，，00,,，， 同理，为APBCPC,？,,.ABC的垂心，选 5. 江苏省省阜中2008届高三第三次调研考试数学(文科)试题 若向量a=xx,2,3,2x，b=，且a，b的夹角为钝角， ，，，， 114则x的取值范围是 . ,,,,,，,,0, ，，，，，，3336. （2009浙江卷文）已知向量c，．若向量满足，，a,(1,2)b,,(2,3)()//cab，cab,，() 则,c （ ） 77777777 A． B． C． D． (,)(,),,(,)(,),,93393993 答案 D 解析 不妨设Cmn,(,)，则，对于，则cab，//acmnab，,，，，,,1,2,(3,1)，，，， 77有,，,，3(1)2(2)mn；又，则有，则有mn,,,,,cab,，30mn,,，，93 【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考 查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用． 7. 对于a,a,,a,kkk,,,nn个向量，若存在个不全为零的实数使得 12n12n kkkaaa，，，,0a,a,,a,成立，则称向量是线性相关的.按此规定，能使向量1212nn12n aaa,,,,(1,0),(1,1),(2,2)kkk,,是线性相关的实数的值依次为 .（只需123123 写出一组值即可）根据线性相关的定义得kkk(1,0)(1,1)(2,2)0，,，,，123 kkk，，,20,123k,1k,,4kkk,,k,2令则，，?的一组值为－4，2，1 ,,311232,，,kk20,23 31138. 已知向量=(1,0),=(0,1),A(,)(,)OCOAiODOBj,，,，,,B,若，则?2222 - 10 - www.ysw007.com 323，323，OCD的面积为：A。323， B。 C。 D。1+23 42 ,,,,,9. 设向量2b,a,(,1,1)与的夹角为，，， a,(3,3)b,a 则 ． cos,, ,,,,,,解：设向量a,(3,3),2b,a,(,1,1)b,(1,2)与的夹角为且?，则b,,a ,,a,b9310,=. cos,,,,1032,5a,b 10. 已知向量ABAC,,(4,0),(2,2),则AC与BC的夹角的大小为 . ACBC ．BCACBCACBC,,,,,,？,,,:(2,2),cos,0,,90 ACBC 11. 已知?ABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足PA，PB，PC,AB，则点?BCP与?ABP的面积分别为s,s,则s:s=_________ 1212 12. 设定义域为[x，x]的函数y＝f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为12 ???坐标原点，点＝（＝（＝（M是C上任意一点，向量OAx，y），OBx，y），OMx，y），满足x1122 ???＝λ＋（1－λ），现定义“函数＝λx＋（1－λ）x（0＜λ＜1），又有向量ONOAOBy＝f（x）12 ?在[|?x，x]上可在 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 k下线性近似”是指|MNk恒成立，其中k＞0，k为常数。根据上面12 ?的表述，给出下列结论：?＝（0，1）；?“函A、B、N三点共线；?直线MN的方向向量可以为a 522数y＝5x在[0，1]上可在标准下线性近似”．?“函数y＝5x在[0，1]上可在标准1下线性4 123近似”； 其中所有正确结论的序号为_______________．?、?、? 113. P为ΔABC所在平面上的点，且满足APAB=+AC，则ΔABP与ΔABC的面积之比是2 _______．1?2 214. 设FA，FB，FCF为抛物线y=4x的焦点，A、B、C是抛物线上不同三点，若=0，则 = . |FA|，|FB|，|FC| 设A、B、C的横坐标分别为x,x,x则x+x+x=3，又=1+x+1+x+1+x=6 |FA|，|FB|，|FC|123123123 ,ab,15. 若向量ababcabac与不共线且则向量,0,(),,,,,,的夹角为 ． aa,216. 如图，在?ABC中，AB=2，BC=3，?ABC=60?， AH?BC，垂足为H，M为AH的中点， 若的值等于 AM,,AB，,BC,则,，, - 11 - www.ysw007.com 。 17. 在中，，若， OAOB,,5OAOB,,2cos,2sin,5cos,5sin,,,,,ABC，，，， 5 则S, 3,ABC2 18. 若正方形AP,(PB，PD)边长为1，点在线段上运动，则的取值范围PABCDAC 1是 ．[-2，] 4 19. 已知||2c,是两个互相垂直的单位向量, 且,,,则对任意的正实数ab,ca,,1cb,,1 1,的最小值是 . ||cab，，t22tt 20. 在中，为的中点，为的中点，交于点 ，若ONAM,MABP,OABOBN nm,,APmOAnOB,，（mnR,,），则 1 1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos,的符号所决定； （2）两个向量的数量积称为内积，写成ababab?；今后要学到两个向量的外积?，而,是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“? ”在向量运算中不是乘号，既不能省略， 也不能用“?”代替； （3）在实数中，若a,0，且a,b=0，则b=0；但是在数量积中，若aab,0，且,=0，不能 推出b0=。因为其中cos,有可能为0； （4）已知实数a、b、c(b,0)，则ab=bc abbca,c, a=c。但是,= ,； 如右图：ababbbbbabbc,= |||cos, = |||OA|，,c = ||c|cos, = |||OA|,, =,，但ac ,； (5)在实数中，有(abcabcabcabc,) = (,)，但是(,), (,)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与aa共线的向量，而一般与c不共线。 2．平面向量数量积的运算律 - 12 - www.ysw007.com 特别注意： （1）结合律不成立：； abcabc,,,,,，，，， （2）消去律不成立不能得到； abac,,,bc,, （3）=0不能得到=或=。 ab,b00a 3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合， 形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：?求模长；?求夹角；?判垂直； 4．注重数学思想方法的教学 ?．数形结合的思想方法。 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中， 都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯， 以加深理解知识要点，增强应用意识。 ?．化归转化的思想方法。 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三 角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式2,,2，沟通了向量a,a 与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。 ?．分类讨论的思想方法。 如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向 ,,量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定ba 比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。 , 5．突出向量与其它数学知识的交汇 “新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入 新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。因此，新课程卷中有些 问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带 旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注 重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。我们可以预测近两年向量高考题的难度 不会也不应该上升到压轴题的水平 - 13 -