《静电场中的导体和电解质》答案

《静电场中的导体和电解质》答案 第13章 静电场中的导体和电解质 参考答案 一、选择题 1(D)，2(D)，3(B)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(B)，9(C)，10(B) 二、填空题 (1). 4.55×105 C ; (2). ??(x，y，z)/?0，与导体表面垂直朝外(? > 0) 或 与导体表面垂直朝里(? < 0). ? (3). ?r ，1， ?r ; (4). 1/?r ，1/?r ; (5). ??，????????0??r ); (6). q4??0R ; (7). P ，,P ，0; (8) (1- ?r)? / ?r ; (9). 减小， 减小; (10). 增大，增大. 三、计算题 1. 一接地的"无限大"导体板前垂直放置一"半无限长"均匀带电直线，使该带电直线的一端距板面的距离为d(如图所示，若带电直线上电荷线密度为?，试求垂足O点处的感生电荷面密度( 解:如图取座标，对导体板内O点左边的邻近一点，半无限长带电直线产生的场强为: ???? 2 E0????dxi/?4π?0x????i/?4π?0d? d 导体板上的感应电荷产生的场强为: ??? E0???0i/?2?0? 由场强叠加原理和静电平衡条件，该点合场强为零，即 ???/?4π?0d????0/?2?0??0 ? ?0???/?2πd? 2(半径为R1的导体球，带电荷q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内、外半径分别为R2 = 2 R1，R3 = 3 R1，今在距球心d = 4 R1处放一电荷为Q的点电荷，并将球壳接地(如图所示)，试求球壳上感生的总电荷( 解:应用高斯定理可得导体球与球壳间的场强为 ??3 E?qr/?4??0r? (R1,r,R2) 设大地电势为零，则导体球心O点电势为: R2 ?11??? ? U0??Edr?2??R1R4??0?R1R2?4??01r? 根据导体静电平衡条件和应用高斯定理可知，球壳内表面上感生电荷应为,q( 设球壳外表面上感生电荷为Q'( 以无穷远处为电势零点，根据电势叠加原理，导体球心O处电势应为: q R2 dr ? q U0? ?QQ?qq???? ???4??0?dR3R2R1??1 1 假设大地与无穷远处等电势，则上述二种方式所得的O点电势应相等，由此可得 Q?=,3Q / 4 ， 故导体壳上感生的总电荷应是,[( 3Q / 4) +q]. 3. 一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E0= 200 KV/cm(试求该电容器可能承受的最高电压( (自然对数的底e = 2.7183) 解:设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为?，则电容器两极板之间的场强分布 为 E??/(2??r) 设电容器内外两极板半径分别为r0，R，则极板间电压为 RR ??R?? ln U??E?dr?? dr?2??r2??r0rr电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E0时电容器击穿，这时应 有 ??2??r0E0，U?r0E0ln适当选择r0的值，可使U有极大值， 即令dU/dr0?E0ln(R/r0)?E0?0，得 r0?R/e，显然有 dUdr0 22 Rr0 < 0， 故当 r0?R/e 时电容器可承受最高的电压 Umax?RE0/e = 147 kV. 4. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1，外筒半径为R2 (R2,2 R1)，其间充有相对介电常量分别为?r1和?r2,?r1 / 2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R(若两种介质的击穿电场强度相同，问: (1) 当电压升高时，哪层介质先击穿, (2) 该电容器能承受多高的电压, 解:(1) 设内、外筒单位长度带电荷为，?和,?(两筒间电位移的大小为 D,? / (2?r) 在两层介质中的场强大小分别为 E1 = ? / (2??0 ?r1r)， E2 = ? / (2??0 ?r2r) 在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即 E1M = ? / (2??0 ?r1R1)， E2M = ? / (2??0 ?r2R) 可得 E1M / E2M = ?r2R / (?r1R1) = R / (2R1) 已知 R1,2 R1， 可见 E1M,E2M，因此外层介质先击穿( (2) 当内筒上电量达到?M，使E2M,EM时，即被击穿， ?M = 2??0 ?r2REM 此 时(两筒间电压(即最高电压)为: U12? ? R ?M2??0?r1r R1 dr? ? R2 R ?1R2?R1 ? ln?lndr??r2REM????2??0?r2rR?R1r2?r1? ?M 5. 两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d，导线半径都是R (R << d)(导线上电荷 2 线密度分别为+?和-?(试求该导体组单位长度的电容( 解:以左边的导线轴线上一点作原点，x轴通过两导线并垂直于导线(两导线间x处的场强 ?? 为 E? ? 2??0(d?x)2??0x两导线间的电势差为 U? ?2??0 d?R ? R ( 1x ? 1d?x ?ln )dx ? ? 2??0 (ln d?RR Rd?R )? ? ??0 ln d?RR 设导线长为L的一段上所带电量为Q，则有??Q/L，故单位长度的电容 C?Q/(LU)??/U? ln??0d?RR 6(圆柱形电容器是由半径为a的圆柱形导体和与它同轴的内半径为b (b,a)的导体圆筒构成，其间充满了相对介电常量为?r的各向同性的均匀电介质(设圆柱导体单位长度带电荷为?，圆筒上为,?，忽略边缘效应(求电介质中的电极化强度P的大小及介质内、外表面上的束缚电荷面密度?ˊ( ? 解:由D的高斯定理求出介质内的电位移大小为 D = ? / (2?r) (a,r,b) 介质内的场强大小为 E = D / (?0?r) = ? / (2??0?rr) (a?r?b) ???1?? 电极化强度 P = ?0?eE?r (a?r?b) 2??rr内外表面上束缚电荷面密度 ??Pacos180?,? ?a ??r ?1?? 2??ra?1?? ??Pbcos 0?, ?b ??r 2??rb 7. 一个圆柱形电容器，内圆柱半径为R1，外圆柱半径为R2，长为L (L>>R2,R1)，两圆筒间充有两层相对介电常量分别为?r1和?r2的各向同性均匀电介质，其界面半径为R，如图所示(设内、外圆筒单位长度上带电荷(即电 1r2 荷线密度)分别为?和,?，求: (1) 电容器的电 容( (2) 电容器储存的能量( 解:(1) 根据有介质时的高斯定理可得两筒之间的电位移的大小为D = ? / (2?r) 介质中的场强大小分别为 E1 = D / (?0?r1) = ? / (2??0?r1r) E2 = D / (?0?r2) = ? / (2??0?r2r) 3 两筒间电势差 U? ? RR1 ? ??E1?dr? ? R2R ??E2?dr2 ?2π?0?r1QU? ln RR1 ? ?2π?0?r2 ln R2R ? ???r2ln?R/R1???r1ln?R2/R?? 2??0?r1?r2 电容 C? 2??0?r1?r2L ?r2ln?R/R1???r1ln?R2/R? 2 R? ?L??r2ln??r1ln2??2 R1R?Q?? (2) 电场能量 W? ? 2C4??0?r1?r2 8. 如图所示，一平板电容器，极板面积为S，两极板之间距离为d， +Q 其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为?1和?2(当电容器带电荷?Q时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为?1的介质板抽出，试求外力所作的功( -Q 解:可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为 2?1S2?2S C1? ，C2? dd 2?1?2S 串联后的等效电容为 C? d??1??2?带电荷?Q时，电容器的电场能量为 W? Q 2 ?R 2C ? 2 Qd??1??2? 2 4?1?2S 将?1的介质板抽去后，电容器的能量为 W?? Qd??0??2?4?0?2S 2 Qd?11? ?? ?外力作功等于电势能增加，即 A??W?W??W??4S??0?1?? 四 研讨题 1. 无限大均匀带电平面(面电荷密度为σ)两侧场强为E??/(2?0)，而在静电平衡状态下，导体表面(该处表面面电荷密度为σ)附近场强为E??/?0，为什么前者比后者小一 半, 参考解答: 关键是题目中两个式中的σ不是一回事。下面为了讨论方便，我们把导体表面的面电荷密度改为σ′，其附近的场强则写为E???/?0. 对于无限大均匀带电平面(面电荷密度为σ)，两侧场强为E??/(2?0).这里的 σ 是指带电平面单位面积上所带的电荷。 对于静电平衡状态下的导体，其表面附近的场强为E???/?0. 这里的 σ′是指带电导体表面某处单位面积上所带的电荷。 如果无限大均匀带电平面是一个静电平衡状态下的无限大均匀带电导体板，则σ是此导体板的单位面积上(包括导体板的两个表面)所带的电荷，而σ′仅是导体板的一个表面单位面积上所带的电荷。 4 在空间仅有此导体板(即导体板旁没有其他电荷和其他电场)的情形下，导体板的表面上电荷分布均匀，且有两表面上的面电荷密度相等。在此情况下两个面电荷密度间的关系为σ =2σ′。这样，题目中两个E式就统一了。 2. 由极性分子组成的液态电介质，其相对介电常量在温度升高时是增大还是减小, 参考解答: 由极性分子组成的电介质(极性电介质)放在外电场中时，极性分子的固有电矩将沿外电场的方向取向而使电介质极化。由于极性分子还有无规则热运动存在，这种取向不可能完全整齐。 当电介质的温度升高时，极性分子的无规则热运动更加剧烈，取向更加不整齐，极化的?效果更差。此情形下，电极化强度P?将会比温度升高前减小。 ???在电介质中的电场E不太强时，各向同性电介质的P和E间的关系为 ??P??0(?r?1)E. ?V??pi 很明显，在同样的电场下，当温度升高后，相对介电常量εr要减小。 3. 有一上下极板成θ角的非平行板电容器(长为a ,宽为b)，其电容如何 计算, 参考解答: 设一平行板电容器是由长为a ,宽为b 的两导体板构成,板间距为d ,则电容为C0??ab d,若该电容器沿两极板的长度同一方向有d x的长度增 量,则电容为C???a(b?dx) d?C0??adx d, 在此基础上推广到 如图所示的电容器，可以认为是在C0的基础上,上极板沿与长度 方向成θ角度连续增加到b,下极板沿长度方向连续增加到bcosθ 构成，把该电容器看成是由两个电容器并联时，该电容器的电容为 bcos? C??C0?? 0?adld?ltan??C0??a tan?lnd?bsin? d 即非平行板电容器的电容， C??a tan?lnd?bsin? d 4. 为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度(待测材料可 视作相对电容率为?r的电介质)，通常在生产流水线上设 置如图所示的传感装置，其中A、B为平板电容器的导体 极板，S为极板面积，d0为两极板间的距离。试说明检测 原理，并推出直接测量电容C与间接测量厚度d 之间的 函数关系。如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将 5 如何, 参考解答: 设极板带电q??0S， 两板电势差:?U?E无电介质(d0?d)?E有电介质d ?U??0 ?0 q(d0?d)???0?0?rd 则 C??0?rs d??r(d0?d) (?r?1)C??U ?rd0?介质的厚度为:d??rd0C??0?rS?0?rS (?r?1)C?r?1 实时地测量A、B间的电容量C，根据上述关系式就可以间接地测出材料的厚度、通常智能化的仪表可以实时地显示出待测材料的厚度。 如果待测材料是金属导体，其A、B间等效电容与导体材料的厚度分别为: C??0S d0?d， d?d0??0S C. 6