构造法之构造几何图形
构造法就是根据
题
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设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。下面摘一些典型例题，分成几个专题，方便大家学习。
例1:已知，则x 的取值范围是()
A 1?x?5 B x?1 C1,x,5 D x?5
分析:根据绝对值的几何意义可知:
表
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示数轴上到1与5的距离之和等于4的所有点所表示的数。如图3，只要表示数 的点落在1和5之间(包括1和5)，那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1? x?5，故选A。
22例2.求的最小值. 1，x，4，(4,x)(0,x,4)
分析:本题单纯用代数方法处理，简直无从下手，注意式中的特征，构造直角三角形，转化为在直线上求一点，使它到两定点的距离之和最小.
D
D C
C B A P B A P C′ 图4 图3
解:如图3，作AB=4，AC?AB，BD?AB，且AC=1，BD=2，P为AB上一点，
22x设AP=，则，问题转化为找出P点的位置，使PC,1，x,PD,4，(4,x)
PC+PD最小.如图4，作C关于AB的对称点C′，连结C′D交AB于P，由?PAC′
x1422,??PBD，得，求得x,，所以1，x，4，(4,x)的最小值是5. 4,x23
例3: 已知x,y,z?(0，1)，求证: x(1-y)+y(1-z)+z(1-x),1 证:构造边长为1的正?ABC，D，E，F为边上三点，
z并设BD=x，CE=y， AF=z，如图1 D
F 3x 显然有S+S+S?BDE?CEF?ADF < B 4E y C
3333即 x(1-y)+ y(1-z)+ z(1-x), 4444
例4正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k，求证:aB+bC+cA
k(aB+bC+cA)
得证。
证明四:还可联想函数式，构造以c(或a或b)为变量字母的一次函数式:
f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2 (0=2?2
3、求证:ac+bd??(a^2+b^2) *?(c^2+d^2)
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