数列通项公式的十种求法1

数列通项公式的十种求法1 数列通项公式的十种求法 一、公式法 n例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。 aa,，，232{}aa,2{}a，1nnn1n aaaaa33nn，1nnn，1nn，1解:两边除以，得，则，故数列是aa,，，2322{},，,,，1nnnnn，1nn，12222222 aa3231n以,,1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，,，,1(1)n1n22222 31n所以数列的通项公式为。 {}aan,,()2nn22 aa3nnn，1评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列aa,，，232,,，1nnnn，1222aa3nn是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{},，,1(1)nnn222 的通项公式。 {}an 二、累加法 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}aaana,，，,211，nnnn，11 解:由得则 aan,，，21aan,,，21nn，1nn，1 aaaaaaaaaa,,，,，，,，,，()()()()nnnnn,,,11232211 ,,，，,，，，，，，，，，[2(1)1][2(2)1](221)(211)1nn ,,，,，，，，,，2[(1)(2)21](1)1nnn (1)nn,,，,，2(1)1n2 ,,，，(1)(1)1nn 2,n 2an,所以数列的通项公式为。 {}ann 评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求aan,，，21aan,,，21nn，1nn，1出，即得数列{}a的通项公式。 ()()()()aaaaaaaaa,，,，，,，,，nnnnn,,,11232211 n例3 已知数列满足，求数列的通项公式。 aaa,，，，,2313，{}a{}a，11nnnn nn解:由得则aa,，，，231aa,,，，231，1，1nnnnaaaaaaaaaa,,，,，，,，,，()()()()nnnnn,,,11232211 nn,,1221,，，，，，，，，，，，，，(231)(231)(231)(231)3 nn,,1221,，，，，，,，2(3333)(1)3n n,1 3(13),,，,，2(1)3n13, n,,，,，3313n n,，,31n n所以 an,，,31.n nn评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，aa,，，，231aa,,，，231，1，1nnnn 进而求出，即得数列的通{}aaaaaaaaaaa,,，,，，,，,，()()()()nnnnnn,,,11232211 项公式。 n例4 已知数列满足aaa,，，，,32313，，求数列的通项公式。 {}a{}a，11nnnn aa21nn，1nn，1解:aa,，，，3231两边除以，得， 3,，，，1nnnnn，，113333aa21nn，1则，故 ,,，nnn，，113333 aaaaaaaaaannnnnnn,,,,,11223211,,，,，,，，,，()()()()nnnnn,,,2232133333333aann,,11 212121213 ,，，，，，，，，，()()()()nnn,,122333333333 2(1)11111,n,，，，，，，，()1nnnn,,122333333 1n,1,(13)nann,2(1)2113n因此， ,，，,，,1nn,，33133223 211nnan,，，，，,33.则 n322 aa21nnn，1评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，aa,，，，3231,,，，1nnnnn，，113333 aaaaaaaaaa,,nnnnnn,,,,,11223211n()()()(),，,，,，，,，进而求出，即得数列,,nnnnnn,,,,,1122321n3333333333,, 的通项公式，最后再求数列的通项公式。 {}an 三、累乘法 n例5 已知数列满足，求数列的通项公式。 anaa,，，,2(1)53，{}a{}a，11nnnn annn，1解:因为，所以，则，故anaa,，，,2(1)53，a,0,，2(1)5n，11nnnan aaaann,132aa,,,,,,n1aaaann,,1221 nn,,1221[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3,,，,，,,，，，，，nn nnn,,，,，，，1(1)(2)212[(1)32]53,,,,，，，nn nn(1),n,12325!,，，，n nn(1),n,12所以数列的通项公式为an,，，，325!. {}ann annn，1评注:本题解题的关键是把递推关系ana,，，2(1)5转化为，进而求,，2(1)5n，1nnan aaaann,132出，即得数列的通项公式。 {}a,,,,,an1aaaann,,1221 例6 (2004年全国I第15题，原题是填空题)已知数列满足{}an ，求的通项公式。 {}aaaaaanan,,，，，，,,123(1)(2)，n11231nn, 解:因为 ? aaaanan,，，，，,,23(1)(2)nn1231, 所以 ? aaaanana,，，，，,，23(1)nnn，,11231 用?式,?式得 aana,,.nnn，1 则 anan,，,(1)(2)nn，1 an，1故 ,，,1(2)nnan aaan!nn,13所以 ? ,,,,,,,,,，,[(1)43].aannaan222aaa2nn,,122 由，，则，又知aa,aaaanan,，，，，,,23(1)(2)取得naaa,,，2221nn1231,212 n!an,,,,,,,1345，则，代入?得。 a,1a,1n122 n!所以，的通项公式为 {}aa,.nn2 an，1评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，anan,，,(1)(2),，,1(2)nnnn，1an aaann,13进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的{}ana,2时，,,,,ann2aaann,,122 通项公式。 四、待定系数法 na 已知数列例7满足aaa,，，,2356，，求数列的通项公式。 {}a,,n，11nnn nn，1解:设axax，，,，，52(5) ? nn，1 nnnn，1将aa,，，2352355225axax，，，，,，，代入?式，得，等式两边消去，1nnnn nnnn，1352,1,，,,,xxx则，得，两边除以，得代入?式得2a535525,，,,,xxn nn，1aa,,,52(5) ? nn，1 n，1a,51nnn，1,2a,,50{5}a,a,,,,,56510由及?式得，则，则数列是以nn1na,5n 1nn,1nn,1a,,51a,,52a,，25为首项，以2为公比的等比数列，则，故。 1nn nnn，1aa,，，235aa,,,52(5)评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为，，1nnnn，1 nn{5}a,{5}a,从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列nn 的通项公式。 {}an n例8 已知数列满足，求数列的通项公式。 aaa,，，，,35241，{}a{}a，11nnnn nn，1解:设 ? axyaxy，，，,，，，23(2)nn，1 n将代入?式，得 aa,，，，3524，1nn nnn，1 352423(2)axyaxy，，，，，，,，，，nn nn整理得。 (52)24323，，，，,，，xyxy 523，,xxx,5,,令，则，代入?式得 ,,43，,yyy,2,, nn，1 ? aa，，，,，，，5223(522)nn，1 1由a，，，,，,,522112130及?式， 1 n，1a，，，522nn，1得,3a，，，,5220，则， nna，，，522n n1故数列{522}a，，，a，，，,，,52211213是以为首项，以3为公比的等比数列，n1nn,1nn,1a，，，,，522133a,，,，,133522因此，则。 nn n评注:本题解题的关键是把递推关系式aa,，，，3524转化为，1nn nn，1naa，，，,，，，5223(522){522}a，，，，从而可知数列是等比数列，进而求nnn，1 n{522}a，，，出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 {}ann 2aanna,，，，,23451，满足，求数列的通项公式。 例9 已知数列{}a{}ann，nn11 22axnynzaxnynz，，，，，,，，，(1)(1)2()解:设 ? nn，1 2aann,，，，2345将代入?式，得 nn，1 222，则 2345(1)(1)2()annxnynzaxnynz，，，，，，，，,，，，nn 22 2(3)(24)(5)2222axnxynxyzaxnynz，，，，，，，，，,，，，nn 22等式两边消去，得， 2a(3)(24)(5)222，，，，，，，，,，，xnxynxyzxnynzn 32，,xxx,3,, ,,解方程组，则，代入?式，得 242xyy，，,y,10,, ,,xyzz，，，,52z,18,, 22 ? annann，，，，，,，，，3(1)10(1)182(31018)nn，1 22由及?式，得 a，，，，，,，,,3110118131320ann，，，,310180n1 2ann，，，，，3(1)10(1)182n，1则，故数列{31018}ann，，，为以,2n2ann，，，31018n 2a，，，，，,，,311011813132为首项，以2为公比的等比数列，因此1 21n,n，42ann，，，,，31018322，则ann,,,,231018。 nn 2评注:本题解题的关键是把递推关系式aann,，，，2345转化为nn，1 22annann，，，，，,，，，3(1)10(1)182(31018)，从而可知数列nn，1 22{31018}ann，，，是等比数列，进而求出数列{31018}ann，，，的通项公式，最后再nn 求出数列的通项公式。 {}an 五、对数变换法 n5例10 已知数列满足aa,，，23，，求数列的通项公式。 {}aa,7{}a，nnn11n n5n5aaa,，，,237，aa,，，23解:因为，所以。在式两边取aa,,00，，，nn，1nn1nn11 常用对数得 ? lg5lglg3lg2aan,，，nn，1 设 11 lg(1)5(lg)axnyaxny，，，,，，?nn，1 将?式代入11式，得，两边消去5lglg3lg2(1)5(lg)anxnyaxny，，，，，,，，?nn 并整理，得，则 (lg3)lg255，，，，,，xnxyxny5lgan lg3,x,,lg35，,xx,,4，故 ,,xyy，，,lg25lg3lg2,,y,，,164, lg3lg3lg2lg3lg3lg2anan，，，，,，，，lg(1)5(lg)代入11式，得 12 ??nn，141644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg710a，，，，,，，，，,由及12式， ?141644164 lg3lg3lg2an，，，,lg0得， n4164 lg3lg3lg2lg(1)an，，，，n，14164， 则,5lg3lg3lg2an，，，lgn4164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2an，，，{lg}所以数列是以为首项，以5为公比的等lg7，，，n41644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2n,1an，，，,，，，lg(lg7)5比数列，则，因此n41644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2n,1lg(lg7)5an,，，，,,,n4164464 11111nn,16164444,，，，,,,(lg7lg3lg3lg2)5lg3lg3lg2 11111nn,116164444,,,,,,,[lg(7332)]5lg(332) 11111nn,116164444,,,,,,,lg(7332)5lg(332) n,1n,1n,15,5,n151,51n,4164,,,lg(733,2) n,1541,,nn51,51,n164,,,lg(732) n,1541nn,,51,n,15164则。 a,，，732n n5aa,，，23评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，nn1 lg3lg3lg2lg3lg3lg2anan，，，，,，，，lg(1)5(lg)，从而可知数列nn，141644164 lg3lg3lg2lg3lg3lg2an，，，an，，，{lg}{lg}是等比数列，进而求出数列的通项nn41644164 公式，最后再求出数列的通项公式。 {}an 六、迭代法 n3(1)2n，例11 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}aaaa,,，5nnnn，11 nnn,,,121n323(1)232nnn,,,,3(1)2n，解:因为，所以 aaa,,[]aa,nnn,,12nn，1 2(2)(1)nn,，,3(1)2nn,,,,an,2nnn,,，,32(2)(1)3(2)23(1)2nnn,,,,,,a[]n,33(3)(2)(1)nnn,，,，,3(2)(1)2nnn,,,,an,3 , nnnn,，，，,，,，,112(3)(2)(1)323(2)(1)2,,,,,,,nnn,a1nn(1),n,123!2,,n,a1 nn(1),n,123!2,,n又，所以数列的通项公式为a,5。 a,5{}an1n n3(1)2n，评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式aa,nn，1 lgannn，1两边取常用对数得lg3(1)2lgana,，，，，即，再由累乘法可推知,，3(1)2n，1nnlgan nn(1),nn(1),n,13!2,,nn,1lglglgaaalga23!2,,nnn,1322,,,,,,,a,5lglglg5aa，从而。 n1nlglglglgaaaann,,1221 七、数学归纳法 8(1)8n，aaa,，,，例12 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}ann，11nn22(21)(23)9nn，， 8(1)n，8aa,，解:由及，得 a,nn，1122(21)(23)nn，，9 8(11)88224，，aa,，,，,2122(211)(213)992525，，，，， 8(21)248348，， aa,，,，,3222(221)(223)25254949，，，，， 8(31)488480，，aa,，,，,4322(231)(233)49498181，，，，， 2(21)1n，,由此可猜测，往下用数学归纳法 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 这个结论。 a,n2(21)n， 2(211)18，，,(1)当时，，所以等式成立。 a,,n,112(211)9，， 2(21)1k，,(2)假设当时等式成立，即a,，则当时， nk,nk,，1k2(21)k， 8(1)k，aa,， kk，122(21)(23)kk，， 2(21)18(1)kk，,，,，222(21)(21)(23)kkk，，， 22[(21)1](23)8(1)kkk，,，，，,22(21)(23)kk，， 222(21)(23)(23)8(1)kkkk，，,，，，,22(21)(23)kk，， 222(21)(23)(21)kkk，，,，,22(21)(23)kk，， 2(23)1k，,,2(23)k， 2[2(1)1]1k，，,,2[2(1)1]k，， 由此可知，当nk,，1时等式也成立。 *根据(1)，(2)可知，等式对任何都成立。 nN,评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项 公式，最后再用数学归纳法加以证明。 八、换元法 1aaaa,，，，,，(14124)1例13 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}annn，11nn16 12解:令，则 ba,，124ab,,(1)nnnn24 112aaa,，，，(14124)故，代入得 ab,,(1)nnn，1nn，，111624 11122bbb,,，,，(1)[14(1)] nnn，1241624 22即 4(3)bb,，nn，1 因为，故 ba,，,1240ba,，,1240nnnn，，11 13则，即， 23bb,，bb,，nn，1nn，122 1可化为， bb,,,3(3)nn，12 1所以是以为首项，以为公比的等比数ba,,，,,，，,,31243124132{3}b,11n2 1111nn,,12n,2n,2b,,,32()()列，因此，则，即，得 b,，，,，a()3124()3nnn2222 2111nn。 a,，，()()n3423 评注:本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化124，abnn 13形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，{3}b,{3}b,bb,，nnnn，122 最后再求出数列的通项公式。 {}an 九、不动点法 2124a,n例14 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}aaa,,，4nn，11n41a，n 2124x,2124x,2解:令，得，则是函数的420240xx,，,xx,,23，x,fx(),1241x，41x， 两个不动点。因为 2124a,n,2aaaaaa,，,,，,,24121242(41)1326213nnnnnn，1,,,,。所以数列2124a,aaaaa,,,，,,321243(41)92793nnnnnn，1,341a，n ,,a,2a,2a,242,1313n,1nn1是以为首项，以为公比的等比数列，故，,2(),,2,,9a,3a,39a,,343n,,1n 1则。 a,，3n13n,12()1,9 2124x,2124x,评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两fx(),x,41x，41x， ,,a,2aa,,2213nnn，1个根，进而可推出，从而可知数列为等比数xx,,23，,,,,12a,3aa,,393n,,nn，1 ,,a,2n列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。 {}a,,na,3n,, 72a,n例15 已知数列满足，求数列的通项公式。 {}a{}aaa,,，2nn，11n23a，n 72x,31x,2解:令，得，则x,1是函数的不动点。 2420xx,，,x,fx(),23x，47x， 7255aa,,nn因为，所以 a,,,,11，1n2323aa，，nn 2111nn。 a,，，()()n3423 评注:本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化124，abnn 13形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，{3}b,{3}b,bb,，nnnn，122 最后再求出数列的通项公式。 {}an aSa九、已知，a，的关系，求型(方法:构造与转化的方法.) nn，1nn 已知{a}的前n项和为S，且a+2S(,,a)=0(n?2)，Sannnnn，1n，1n 1a=，求a.[解] 依题意，得S,+2S?=0 SS1nnn,1nn,12 11?,=2 SSnn,1 1?=,+2(n,,)=2n Sn 11?= ，= SSnn,12(n,1)2n ?=- aSSnnn,1 11=,2×× 2(n,1)2n 1=() n,22n(1,n) 1,,(n1),2,?= an,1,(n,N,n,2)，,,2n(1n), 前n项和 Sn 例:试化简下列和式: 21n,Sxxnxx,，，，，,123(0) n nn(1)，解:?若x=1，则S=1+2+3+…+n = n2 21n,?若x?1,则Sxxnx,，，，，123 n 23nxSxxxnx,，，，，23 n 两式相减得: 2n,1n(1)1,,，，xSxx+…+ x,nxn n1,xn,,nx 1,x nn1,xnxS,,? n2(1)1,,xx