初中圆的定理和公式汇总
1不在同一直线上的三点确定一个圆。
? 圆:由定点到定长点的集合叫做圆。符号?0 A B ? 弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦:?
经过圆心的弦叫直径
? 半径不同,圆心相同的两个圆叫做同心圆
同圆、等圆或半径相同的叫做等圆
两个完全重合的弧叫等弧
? 经过平面上一点可画无数个圆;
经平面上二点可画无数个圆;
? 在三角形外画一个圆的圆心叫做此三角形的外心,此圆为三角形的外接圆。
? 外心:三角形三条中垂线的交点。
? 三角形三个顶点在圆上,这个三角形叫圆的内接三角形。 2垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ?平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
? 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ? 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
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4圆是定点的距离等于定长的点的集合
5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7同圆或等圆的半径相等
8到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半 径的圆
9定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距相等
10推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 11定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角
12 ? 直线L和?O相交 d,r
? 直线L和?O相切 d=r
? 直线L和?O相离 d,r
13切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
14切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
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18圆的外切四边形的两组对边的和相等
19弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
20推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 30相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 相等
31推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项
32切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项
33推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
34如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
35 ? 两圆外离 d,R+r ? 两圆外切 d=R+r
? 两圆相交 R-r,d,R+r(R,r)
? 两圆内切 d=R-r(R,r) ? 两圆内含d,R-r(R,r) 36定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
37 定理 把圆分成n(n?3):
? 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形 ? 经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
38定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
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39 正n边形的每个内角都等于(n-2)×180?,n
40定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
41正n边形的面积Sn=pnrn,2 p表示正n边形的周长 42正三角形面积?3a,4 a表示边长
43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为 360?,因此k×(n-2)180?,n=360?化为(n-2)(k-2)=4 44弧长
计算公式
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:L=n兀R,180
45扇形面积公式:S扇形=n兀R^2,360=LR,2 46内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 47定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
49推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90?的圆周角所 对的弦是直径
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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。
2.切线长定理
如图1对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角(如图2):顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
图1 图2
直线AB切?O于P,PC、PD为弦,图中几个弦切角呢,(四个),APC,,APD,,BPD,,BPC 4.弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中,APC=,CDP等 :证明:如图2,连接CD、OC、OP,因为,CPO=,PCO,所以,COP=180-2,CPO而:,CPO=90-,APC,故,COP=2,APC,即,CDP=,APC。
5.弄清和圆有关的角:圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角。
6.遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理。 7.与圆有关的比例线段
定理 图形 已知 结论 证法
?O中,连结AC、BD,,C=,B,,A=,D,
AB、CD所以?APC??DPB 相交为弦,交
弦定PA?PB,PC?PD 于P.
理
?O中,用相交弦定理.
AB为直相交
径,弦定2PC,PA?PB CD?AB理的
于P. 推论
?O中,连结TA、TB,则?PTA=?B(弦
PT切?O切角等于同弧圆周角)所以切割于T,割?PTA??PBT,所以 2线定PT,PA?PB 2线PB交PT,PA?PB 理 ?O于A
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PB、PD过P作PT切?O于T,用两次切
为?O的割线定理
切割两条割
线定线,交PA?PB,PC?PD 理推?O于
论 A、C
?O中,延长P'O交?O于M,延长OP'
割线PB交?O于N,用相交弦定理证;
交?O于过P作切线用切割线定理勾股定22P'C?P'D,r,OP' 圆幂A,CD为理证 22PA?PB,OP,r 定理 弦 r为?O的半径
8.圆幂定理:过一定点P向?O作任一直线,交?O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||(R为圆半径),因为叫做点对于?O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理。
例1.如图1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径。在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE:AE的值。
图1
例2.?O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE,6cm,BE,2cm,CD,7cm,求CE。
图2
22AB:AC,PB:例3.已知PA是圆的切线,PCB是圆的割线,则________。
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例4.如图3,P是?O外一点,PC切?O于点C,PAB是?O的割线,交?O于A、B两点,如果PA:PB,1:4,PC,12cm,?O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是___________cm。
图3
例5.如图4,AB为?O的直径,过B点作?O的切线BC,OC交?O于点E,AE的延长线
2交BC于点D,求证:(1);(2)若AB,BC,2厘米,求CE、CD的长。 CE,CD,CB
图4
例6.如图5,AB为?O的直径,弦CD?AB,AE切?O于A,交CD的延长线于E。求证:
2BC,AB,DE
图5
例7.如图6,PA、PC切?O于A、C,PDB为割线。求证:AD?BC,CD?AB
图6
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例8.如图7,在直角三角形ABC中,?A,90?,以AB边为直径作?O,交斜边BC于点D,过D点作?O的切线交AC于E。求证:BC,2OE。
图7
,
AC例9.如图8,在正方形ABCD中,AB,1,是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段
,
AC弧。点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点。
当?DEF,45?时,求证:点G为线段EF的中点;
图8
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【模拟
试题
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】(答题时间:40分钟)
一、选择题
1.已知:PA、PB切?O于点A、B,连结AB,若AB,8,弦AB的弦心距3,则PA,( )
A.20/3 B.25/3 C. 5 D. 8
2.下列图形一定有内切圆的是( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
3.已知:如图1直线MN与?O相切于C,AB为直径,?CAB,40?,则?MCA的度数( )
图1
A. 50? B. 40? C. 60? D. 55?
4.圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1:4,则另一弦长为( )
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D.
16cm
5.在?ABC中,D是BC边上的点,AD=cm,BD,3cm,DC,4cm,如果E是AD22
的延长线与?ABC的外接圆的交点,那么DE长等于( )
23 A. cm B. cm C. cm D. 3222
33cm
6. PT切?O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线PD交?O于B和A,B在线段PD上,若CD,2,AD,3,BD,4,则PB等于( )
A. 20 B. 10 C. 5 D.
二、填空题
7. AB、CD是?O切线,AB?CD,EF是?O的切线,它和AB、CD分别交于E、F,则?EOF,_____________度。
8.已知:?O和不在?O上的一点P,过P的直线交?O于A、B两点,若PA?PB,24,OP,5,则?O的半径长为_____________。
103 9.若PA为?O的切线,A为切点,PBC割线交?O于B、C,若BC,20,PA=,则PC的长为_____________。
10.正?ABC内接于?O,M、N分别为AB、AC中点,延长MN交?O于点D,连结BD
PC交AC于P,则=_____________。 PA
三、解答题
11.如图2,?ABC中,AC,2cm,周长为8cm,F、K、N是?ABC与内切圆的切点,DE切?O于点M,且DE?AC,求DE的长。
图2
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12.如图3,已知P为?O的直径AB延长线上一点,PC切?O于C,CD?AB于D,求证:CB平分?DCP。
图3
13.如图4,已知AD为?O的直径,AB是?O的切线,过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BM,MN,NC,若AB=cm,求?O的半径。 22
图4
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