实验二 MATLAB求解
数学
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问题
2.1实验目的
掌握MATLAB在大学数学问题中的基本应用,会使用MATLAB软件求解高等数学、线性代数和概率统计中的常见问题。
2.2实验要求
掌握MATLAB简单符号计算,学会使用MATLAB函数进行简单的符号运算,会使用MATLAB求极限、积分、微分方程运算,会使用MATLAB求解线性方程组,矩阵的秩、行最简型,会使用MATLAB生成随机数,计算密度函数与分布函数的值。
2.3知识概要
2.3.1 定义符号变量
MATLAB提供了两个建立符号对象的函数:sym和syms,两个函数的用法不同。
(1) sym函数
sym函数用来建立单个符号量,一般调用格式为:
符号量名=sym('符号字符串')
该函数可以建立一个符号量,符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。应用sym函数还可以定义符号常量,使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。
(2) syms函数
函数sym一次只能定义一个符号变量,使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms,一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为:
syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘),变量间用空格而不要用逗号分隔。
2.3.2高等数学中的简单应用
1. 复合函数运算
在MATLAB中,符号表达式的复合函数运算主要是通过函数compose来实现的。compose函数的调用格式如下:
compose(f,g):返回复合函数
例 将
和
复合到一个函数中。
命令:
2. 极限运算
在MATLAB中,符号极限由函数limit来实现。Limit函数的调用格式如下:
●limit(F,x,a):返回符号表达式F当
时的极限。
●limit(F,a):返回符号表达式F由findsym(F)返回的独立变量趋向于a时的极限。
●limit(F):返回符号表达式F由findsym(F)返回的独立变量在a=0处的极限值。
●limit(F,x,a, 'right')或 limit(F,x,a, 'left'):求取单侧极限,参数中'right','left'表明取极限的方向。
例 求
。
3. 导数运算
在MATLAB中,微分和求导都可以由函数diff实现。diff函数可同时处理数值和符号两种情况下的求导和微分。该函数的调用格式如下所示。
●diff(F):对findsym函数返回独立变量求微分,F为符号表达式。
●diff(F,'a'):对a变量求微分,F为符号表达式。
●diff(F,n):对findsym函数返回的独立变量求n次微分,F为符号表达式。
●diff(F,'a',n)或diff(F,n,'a'):对变量a求n次微分,F为符号表达式。
例 求
的二阶导数。
4. 不定积分和定积分运算
MATLAB中,用符号工具箱的int函数求函数的不定积分和定积分。int函数的调用格式如下所示。
●int(F):对findsym函数返回独立变量求不定积分,F为符号表达式。
●int(F,v):对v变量求不定积分,F为符号表达式。
●int(F,a,b):对findsym函数返回独立变量求从a到b的定积分,F为符号表达式。
●int(F,v,a,b):对v变量求从a到b的定积分,F为符号表达式。
例 求不定积分
。
例 求定积分
。
5. 空间解析几何与向量代数运算
空间解析几何将平面图形与方程结合起来,从而可以用代数
方法
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研究几何问题。
1) 空间向量运算
例 已知向量
,
,计算
,
,
,
。
6. 级数运算
级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种重要工具,是高等数学的重要组成部分。在MATLAB中,可以用symsum函数求级数的和。该函数的调用格式如下:
●symsum(s):求符号表达式s相对于符号变量k的和,k由findsym函数确定,取值从0到k-1。
●symsum(s,v):求符号表达式s相对于符号变量v的和,v从0到v-1。
●symsum(s,a,b) 和symsum(s,v,a,b):指定符号表达式s从v=a累加到v=b。
例 求级数
、
和
。
7. 微分方程运算
微分方程可以通过函数dsolve求解,该函数的调用格式为:
●r=dsolve('eq1,eq2,…','cond1,cond2,…','v')
●r=dsolve('eq1', 'eq2',…,'cond1', 'cond2',…,'v')
输入参数eq1,eq2,…表示微分方程,v为独立变量,cond1,cond2,…表示边界条件和/或初始条件。默认的独立变量是t,用户也可以使用别的变量来代替t,只要把别的变量放在输入变量的最后即可。字母D代表微分算子,即d/dt,字母D后面所跟的数字代表几阶微分,如D2代表
。跟在微分算子后面的字母是被微分的变量,如D3y代表
。注意,在符号变量中不能再出现字母D。初始/边界条件可用这样的形式给出:y(a)=b或Dy(a)=b。此处的y是被微分变量,a和b是常量。如果初始条件的个数少于被微分变量的个数,则解中会出现C1,C2这样的不定常数。
函数的输出结果可能存在如下3种情况:
⑴一个方程和一个输出,则返回符号矢量中非线性方程的联立解。
⑵几个方程与相同个数的输出,返回的结果按字母顺序排序,并且分配给输出参数。
⑶几个方程和一个输出,则返回解的结构。
如果函数找不到显示解,它会试图计算隐式解。返回隐式解时,会给出警告信息并返回一个空的sym。此时可以用MATLAB函数ode23或ode45求数值解。在一些有非线性方程的情况下,输出结果可能与更低阶的微分方程或积分等价。
例 求解微分方程
程序:
例 求解微分方程
2.3.3 MATLAB在线性代数中的应用
1解线性方程组 Ax= b
1) 若矩阵 A 是一个非奇异方阵,可知
。在MATLAB中可以使用
或
求得x。
例 解方程组
解:
2) 矩阵 A 是一般矩阵, 则需要使用rref将矩阵化行最简型进行求解。
例
解
2求线性组合
将一个向量 u表达为其它向量V={v1, v2, v3,…, vn}的线性组合。
例 令 v1=[1 2 0 3]' ;v2=[2 0 1 2]' ;v3=[1 1 1 0]';,试判断向量 u=[ 5 -3 4 0]' 是否为V={ v1, v2, v3 }的线性组合?
解
所以,得到
。
2.3.4MATLAB在概率统计中的应用
1 概率密度函数值
在MATLAB中,使用函数pdf计算概率密度函数值
。
命令:pdf
格式为:Y = pdf (‘name’, k, A)
Y = pdf (‘name’, k, A, B)
Y = pdf (‘name’, k, A, B, C)
说明:返回以name为分布,在随机变量X = k处,参数为A、B、C的概率密度值;对离散型随机变量X,返回X = k处的概率值,name为分布函数名。
2 分布函数值
使用函数cdf用来计算随机变量X≤k的概率之和,即分布函数值
。
命令:cdf
格式:cdf (‘name’, k, A)
cdf (‘name’, k, A, B)
cdf (‘name’, k, A, B, C)
说明:返回名称为name的分布在k处的分布函数值。
3 分位点的求法
已知概率值,求对应的分布函数的x,即计算
。在Matlab中,所使用的函数是icdf,其使用格式:
icdf (‘name’, p, a1, a2, a3)。
4 生成随机数
生成某分布函数的随机数,在使用MATLAB进行模拟仿真时经常用到,其函数及格式是
命令:random
格式:random (‘name’, k, A)
random (‘name’, k, A, B)
random (‘name’, k, A, B, C)
5 常见分布及其在MATLAB中的标识
name
分 布
bino
二项分布
poiss
Poisson分布
geo
几何分布
unif
均匀分布密度函数
exp
指数分布密度函数
norm
正态分布密度函数
chi2
卡方分布
t或T
t分布
f和F
F分布密度函数
例 求标准正态分布在0.5处的密度函数与分布函数值,并求概率为0.95处的分位点。
6 样本的均值与方差
对于样本x = [x1, x2, …, xn],常用的数字特征定义如下
样本均值:
样本方差:
样本标准差:
在MATLAB中所使用的函数是:mean、var和std。
命令:mean (X) 计算样本均值。
命令:var (X) 计算样本方差
var (X, 1) 计算样本二阶中心距
命令:std (X) %返回向量(矩阵)X的样本标准差。
例 求下列样本的样本方差和样本标准差,方差和标准差
14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32
解:在MATLAB编辑器中建立M文件fff.m:
运行结果:
练习
1、 求极限
1)
2)
2、 求积分
1)
2)
3、 求矩阵的行列式与逆矩阵
(1)
; (2)
;
4、 解线性方程组:
(1)
;
(2)
;
5、 设样本X为12.84、8.76、9.54、12.67、7.4、5.98、15.6,求该样本的样本均值、方差与标准差。