高等电磁场作业

高等电磁场作业 1,1、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 : ?? 令???A?M，???B?N。 ????? 所以B???(???A)?B???M???M?B?M???B???M?B?(???A)???B， ?????? A???(???B)?A???N???N?A?N???A???N?A?(???B)???A， ?? 又因为(???A)???B,(???B)???A 所以原式, ?? ?[??M?B???N?A]dv? v ?? [M?B?N?A]?ds? s ???? [???A?B????B?A]?ds S ? S ???? ?[A?(??B)?B?(??A)]?ds 证毕 1,2、证明: ???d?(f?g)?x(fxgx?fyg ?x y ?d ?fzgz)?y(fxgx?fyg ?y y y ?d ?fzgz)?z(fxgx?fyg ?z y ?fzgz) ????f?g??x ?y ?dfx??x??dfxz????y?df?x??zdf y df ?xdfy?ydf y ?zdf z ????x?x? ? dfz????? y??x????y???z?dfz?? ??z?df z ?y ?gx??z?gy ???gz? ???? ? ??x?y ?dfx??x??dfxz????y?df?x??z x ?xdfy?ydf y ?z y ???x?g ?x dfz?? gy???y ??gdfz?z ??z?df z z ????? ?(g df x ?x ?g df y ?x ?g ?x ? )x?(g df x x ?y ?g df y y ?y ?g df z z ?y ? )y?(g df x x ?z ?g df y y ?z ?g df z z ?z ?)z 同理可得 dgydgydgydgxdgxdgx??dgz?dgz?dgz? ?g?f?(fx?fy?fz)x?(fx?fy?fz)y?(fx?fy?fz)z ?x?x?x?y?y?y?y?y?y 由 d(fxgx) dx ?fx dgdx x ?gx df x dx ?????? 并依次类推相加可得?(f?g),?f?g，?g?f 证毕 2.1 讨论Maxwell方程中四个边界条件的独立性。 ??????? Maxwell边界方程中,前两个方程n?(H1?H2)?JS,n?(E1?E2)?0是独立的，可以推导 出其余两个方程，过程如下 ? ??n?0 ?? ?????????B1?B2?????? ??n?(E1?E2)??n???(E1?E2)?(E1?E2)?(??n)?n?(??)???n?(B1?B2)?0 ?t?t?t?????? 所以有n?(B1?B2)?const，由于在静态场中n?(B1?B2)?0，所以对时变场也有??? n?(B1?B2),0。 当n?(H1?H2)?JS时， ?? ??????????D1?D2???? ??JS???n?(H1?H2)??n???(H1?H2)?(H1?H2)?(??n)??n?(J1??J2?) ?t?t ?? ???D2???D1 ??n?(J1?J2)?n?(?) ?t?t ? ??? ??? 由电流连续性方程n?(J1?J2)??? s ???S ， ?JS??t ? ?s?JS?lim l ??'JS?ndlS ?lim S?0 S ???JSdsS S?0 ????JS ???? ??????S??S?D2?D2????D1??D1 ?n?(?)??n?(?)?n?(D1?D2) 所以??JS???JS??t?t?t?t?t?t?t ??? 得n?(D1?D2)??S?const??? n?(D1?D2)??S ，由于在静态场中此const,0，所以对时变场也有 所以得证。 2.2验证E解: ??x????B ??E???? ?t??x ??0 ? y??y0 ??? ??0 ?z?E0exp{?jkz}?? ? z ? ?E0exp{?jkz}?z 是否为可能存在的电磁场。 所以 ?B?t ,0，即B不随时间而变换。 当在无源区域时，B恒定即没有电场产生，所以不存在电磁场。 在有源区域时，电场可以由电源产生，因此有可能存在电磁场。 ???E12.3证明边界条件:n ? ?E2?0 ? ???D1和n ? ? ?D2?? ? s 。 沿用本讲证明一中的假设条件 有(n?E1?n?E2)S?Mh??????B?tSh ? M表示n?E关于小盒侧面的线积分 ??当h 趋于0时，有n?(E1?E2),0 ???同理，有(n?D1?n?D2)S?Nh??Sh ?? N表示n?D关于小盒侧面的线积分 ??当h 趋于0时, ?h??S为面密度，有n?(D1?D2)??s 3.1对于良导体，无源区域的Maxwell方程为 ?? ?????? ??????H??E???E??j??H??H?0? ?E?0 试导出波动方程，并给出波传播的速度v和波阻抗?的表达式。 ?????H解:????H????E??jw??H???? ?t ?????E????E??jw???H??jw??E???? ?t ??????H?H2?H??(??H)?????H?0?????? ?t?t ??????E?E2?E??(??E)?????H?0?????? ?t?t 2 222??在以上波动方程中可以得到 k2??j??? ? k??j????(?j) 所以kr? ? kr22??? v??2 2??2???，???????k???2?(1?j) 4-1 试推导频域Poynting定理。 ???1?1?*1?** ??(E?H)?H?(??E)?E?(??H) 222 ???1?*1?** ?H?(?jwB)?E?(J?jwD) 221??*1?*?1??* ??E?J?j2w(H?B?E?D) 244 4-2 相同频率?的两个电源，置于相同的各向同性的线性媒质中，电源 1在空间产生的电磁场为E1,H1 ;而电源2产生的E2,H2，试证 明 ???E1?H ????? ??(E1?H2)?H2?(??E1)?E1?(?? ???? ?H2??jwB1?E1?(J2? ???? ??jw?H2?H1??E1?E2 ? ? ? ? ? ?????? 2?? ?E2?H1?0 ? ?H2)?jwD2) ???jw?E1?E2 ? ? 同理??(E2?H1)??jw?H2?H1??E1?E2?jw?E1?E2 ?? 所以??E1?H ? ? 2 ?? ?E2?H1?0 ? 4-3 无限均匀导电媒质中放一电量为Q的点电荷，试求这电荷随时间 的变化规律，并写出空间中任一点的磁场强度和能密度。 因为媒质中无外电场作用，因此J??E. ? v v ?dv? ???Ddv? v????Edv?Q? v???Edv? vv Q ? 1?Q ???Jdv? 由上两式可得 1?Q ? ?Q ???t? dv???Q?t ? ?Q?t ? v ????Edv? v???Edv?? ?? t) ??t ??t , ?Q? ? ?Q?Q0exp(? ?? 因为源Q为点电荷，因此其所产生的电场E为散度场，所以??E=0 ? ?Q0e?Q0e ?(亦可由E?2 4?4?RR ? R ?? ? ?RR 3 ? ?Q0e ???E? 4? ? ?(?? ?RR 3 )?0) ?? ??B?t ?? ???E?0,即B不随时间而变化。 ?? 所以B?Bt?0?0(电荷刚放入媒质时没有电荷变化，因此此时B,0) ???? (wP?we?wm)??E?E 根据时域Poynting定理，??S???t ?????? 因为S?E?H??E?B?0，且wP?wm?0，所以??S,0 ? ??t t we???E 2 t 2 e t Q0exp(? 4?R 2 2 2? ? ?w d??wet?we0????Ed????? ? ?) d?2? ?Q0 8?R 22 ?? ?Q0 8?R 22 t ? 2? ? exp(? 2? ? ?)d?? ?Q0 8?R 22 exp(? ? t)? 错～前提为连续分布的电荷系统～ 而we0? ?Q0 8?R 22 ， ? 能量密度即为wet ? ?Q0 8?R 22 exp( 2? ? t) 5-1 证明:在自由空间(?0,?0)的电磁场中，垂直于任意表面的电磁场力密度 (单位面积上电磁场力的法向分量)为 Fn? 12 ???? 2222????)] [?0(E?n)??0(H?n)??0(E?n)??0(H?n ? 假设单位面积的法向分量为n， ??????? 因此在垂直表面的E中，可以分解成平行n的E1，其大小为E?n;垂 直n的E2，??其大小为E?n. 因为E1与n平行，根据式(5—19)可得F1e? ???1 可得F2e???0(E?n)2， 2 ? ? ? 12 ???2 ?0(E?n)。而E2与n垂直，亦 ???? E与H相互垂直，因此H1将与n垂直，其大小为H?n;H2与n平行， 其大小 为H?n。 ?????11?2 同理F1h???0(H?n)，F2h??0(H?n)2. 22 ? ? 整个表面所受的电磁场力密度将为这四个力密度之和，所以 Fn? 12 ???? 2222?)??0(H?n?)??0(E?n?)??0(H?n?)] [?0(E?n 5-2 试导出频域情况下电磁场动量守恒定理。 6-1 试证明在Coulomb 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 下 (?,?? 2 ? ?t 22 ??)A???Jt ? 式中， Jt????? ? v ??J(r?,t)dv? 4?r?r? ? 证: Coulomb规范下??A?0，波动方程变为 ?2 ?(?????? ??2????? ???? )A???J????2 ?t?t ? 2 ?? ???? 2 ?? ? 满足泊松方程，容易证明?(r,t)? ? v dv? 4??r?r? ?(r?,t) ? 因为? 2 1r?r? ???? ??4??(r?r?)以及?函数的选择性，任意矢量f(r,t)可表示为 ?? f(r,t)? ? v ??? f(r?,t)?(r?r?)dv???? v ??f(r?,t)4? 2 dv????r?r? 1 2 ? v ??f(r?,t)v? 4?r?r? ??? 2 再利用????A??(??A)??A，得 ?? f(r,t)????? ? ? v ??f(r?,t)4?R dv?????? v ??f(r?,t)4?R dv? 即任意矢量f可分解为无旋部分和无散部分之和 ?????? 设电流源J?Jl?Jt，其中Jl,Jt分别表示J的无旋部分和无散部分，即 ? Jl?????? v ??J(r?,t) dv? 4?r?r???J(r?,t dv? 4?r?r? ? Jt????? ? v ?? ????J(r?,t)11 ???J(r?,t)?????J(r?,t) ??r?rr?rr?r? 因为??J(r?,t)?0，以及 ?? ?????11J(r?,t)1?J(r?,t)???J(r?,t)???????????J(r?,t) ???r?rr?rr?rr?r? 所以，由 ?? ?J(r?,t)????Jl??????[]dv???4??4?r?rvv ???? ??J(r,t)J(r?,t)?n? ?dv??ds??4?r?r? r?r??ts ?4? v ?(r?,t) ? dv? r?r? 由电流连续性方程可知，因为场源J和?分布在有限空间内，而体积v 为均匀无界空间，所以上式右边第一项面积为零。再将Coulomb规范下标 位的表达式 ? ?(r,t)? ? ? v ??? dv?代入上式右边第二项，便得到 J???l 4??r?r??t ?(r?,t) ? 将J?Jl?Jt和(6-22)代入(6-17)的第一式，得到 2 ??? (???? ? ?t 22 ?? )A???Jt ? 即在Coulomb规范下，矢位A只由电流源的无散部分决定。 ? 6,2 试导出导电率为?的媒质中矢位A和标为?的波动方程。 解:在导电率为?的媒质中 ? ???D ??E ??H?J??t ? ??B ??E???t ? ????A 知B???A，E,???? ?t ? ????D ??E和??D??两式可得到 将其代入??H?J??t ??2 ??????A?A ????A,?J，??(???)???(????)?2??t?t?t ?? ?A?? ??(???)????t?? 2 应用????A??(??A)??A，上式整理后得 ?2(??????? ??2????? ????? )A???J??(??A???????)2 ?t?t?t ??? ???A??t ? 2 ??? ? 在第二个式子左右两边各加??? 2222 ? ?t 22 ???? ?? ?t ，可以整理得到 ? ?(????(??? 2 ??? ? ?t ????? ???)A???J??(??A???????) ?t?t ? 2 ??? ? ?t ?????????)????(??A???????) ?t??t?t ? 此时便得到格式较为规范的矢位A和标为?的波动方程。 ?? 7-1 试证明:在Coulomb规范下，无源区域中的电磁场量E、B可用两个函数表示。 证明:Coulomb规范中??A?0，所以有 2 ?????2 (????)A?????2 ?t ?t? ??2??0? ? 在频域，作规范变换?????j??，有????0??(??jw?)?0????0 所以，?和?满足相同的方程。如果我们选取j???? 则???0。 ? ????A )?,j?A?E,??(?????t ???? 所以?B???A ?? ??A?0??? 222 7-2 试导出在柱坐标系中无源区域的电磁场量E,H用纵向分量Ez和 Hz表示的表示式。 对于柱形系统，设广义正交曲线坐标系为(v1、v2、 v3)，v3?z,h3?1，矢量A的旋度可以表示为 ? ? ???f? 1? h1h2?v1?( 1 (h2A2? ??v2 1 h1A1)uz?( 1? h1h2?v2 h1Azu1? 1? h1h2?v1 h2Azu2) ? h3?z A1u2? ? h3?z A2u1) 上式中第二、三项皆是横向分量，可以写成 ?t?Az? 1 ? h1h2?v2 1 h1Azu1? 1? h1h2?v11 h2Azu2 ?z?At? ? h3?z A1u2? ? h3?z A2u1 根据上两式可由均匀各项同性线性媒质中的麦克斯维方程组的两个 旋度方程得 ?jw?H t ??t?Ez??z?Et (1) jw?Et??t?H z ??z?Ht (2) ?? ?? ?Ht 2 (2)式代入(1)可得kHt?jw??t?Ez??z??t?H zzz 而对于柱形系统中沿，z方向传播的波，可以假定场量随时间t和坐 标z 的变化规律为 e jwt??z ，可推得 ?z??t?H z ??t(?z?Hz)?(?t??z)H z ????tH 2 z (后项为0) ?z??z?H t ??z(?t?Ht)?(?z??z)H ??Et 2 t ???Ht (前项为0) 2 所以(1)式变为kHt?jw??t?Ez???tH z Ht 2 同理可求得kEt??jw??t?H z ???tE z ?? 2 2 因此令kc?k 2 ?? 2 可以最终得到 1kc 2 Et?(?jw??t?H z ???tEz) H t ? 1kc 2 (jw??t?E z ???tHz) 8-1 试证明图所示的有耗多媒质区域的频域电磁场唯一性定理:如果 (1) 区域内的源已知; (2) 区域外边界上切向电场或切向磁场已知; (3) 区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续， 则区域内电磁场唯一确定。 ???? 证明:设此有源区域产生两组场E1,H1和E2,H 2 ，其差场满足 ?? ?????E??j???H ?? ? ?????H?j???E 其中，?????j???，?????j???。应用频域Poynting定理 ??* ?ds?j?(?E??H)?n ? (?H 2 * s ? v ?? ??E 2 )dv?0 s ??* ?ds?(?E??H)?n s1 ??* ?ids?(?E1??H1)?n s2* ?? (?E2??H *2 ?ds )?n 因为区域外边界上切向电场或切向磁场已知，所以外边界的线积分为 0 s ??* ?ds?(?E??H)?n ? l ??* ?idl?(?E1??H1)?n ? l ?? (?E2??H 2 ?dl )?n ?i??n?，所以得到 l为交界线，且在交界线上，n s ??* ?ds?(?E??H)?n ? l ??* ?ids?(?E1??H1)?n ? l ?? (?E2??H *2 ?ids )?n ???????? ?i?E1?n?i?E2，n?i?E1?n?i?E2，n?i?H1?n?i?H2，n?i?H1?n?i?H2 由条件 (3)可知n ???????? ?????ni?(?E1??H1)??H1?(ni??E1)??H1?(ni??E2)???E2?(ni??H1) ???? ?i??H2)?n?i?(?E2??H2)???E2?(n 综合边界条件可得 于是 s ?? (?E??H?(???H? (????H 2 * ?ds?0 )?n 2 ? v ?????E? ????E )dv?0 2 ? v 2 )dv?0 ?? 对于有耗媒质，????0，????0, 于是，?E?0，?H?0。 所以区域内电磁场唯一确定 8-2 试讨论Poisson方程?????解的唯一性问题。 2 证明:设有两解分别为?1和?2，考虑差值函数????1??2，满足??应用 Green第一恒等式 2 ?k 2 ??u ?0 ?(?? v 2 ???????)dv? ??? s ?ds ?n 上式中令????，????，则有 ? ?????? v 2 dv? ?u s ??u?n ds 可见，只要满足边界s上的?给定; 或边界s上的 ???n ???n 给定; 给定; 或边界s上一部分的?给定，另一部分的 中三个条件中的任何一条，都有???0，即?1??2，?被唯一确定。 9-1: 证明:如果源J1和J2均在体积v内，则互易定理为 ? ? ? s ???? ?ds?0 (E1?H2)?(E2?H1)?n ? 证:由Lorenty互易原理的积分形式可得 ?????(E?H?E?H)?ds?1221 s ???? ?(E2?J1?E1?J2)dv v ?? 当源源J1和J2均在体积v内时，设v外的空间v1为无源空间。 所以 ????? (E1?H2?E2?H1)?n?ds?0，s为包围v的球面，s0为半径r??的球面。 s?s0 由于两组源都分布在有限空间内，所以在无限远处的辐射场为沿r方向的TEM波，其中 ?1??H?n?E ? ????????? ???因而有 E1?H2?n?E2?H1?n?(n?E1)?H 2 ????? ??(n?E2)?H1??H1?H 2 ?? ??H2?H1?0 于是 s0 ????? (E1?H2?E2?H1)?n?ds?0? s ????? (E1?H2?E2?H1)?n?ds?0 ?????? ?ds?0 ?将n??n代入上一式可得(E1?H2)?(E2?H1)?n ?? s 9-2: 证明无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。 证:设有一理想磁体，在无限靠近该导体的表面上有面磁流Jms，在空间有一任意磁流源 ? Jm2，Jms在空间各处产生的电磁场为E1, H1，Jm2在空间各处产生的 电磁场为E2, H2， 根据互易原理，有 ? v ?? (Jms?H2)dv? ? v ?? (Jm2?H1)dv ??? 由于在理想磁体表面磁场只有法向分量，而Jms为切向磁流，故Jms?H 2 ?0。于是 ? v ?? Jm2?H1dv?0 ?? 又由于Jm2任意，所以E1?0。 所以无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。 11-1 一点电荷q放置在夹角为600的导体拐角中，电荷距拐角尖点的距离为r0,与拐角的最小夹角为?。试利用镜像原理求解点电荷在拐角中产生的电位。如果拐角的夹角改为500,问能否应用镜像原理,为什么, 解:因为?? 23 ? 3 ，所以将产生5个镜像电荷，另拐角的一边为x轴正方向，则其镜像电荷 43 角度分别为???,???,?。 具体电荷坐标分别为 (rcos?,?rsin?),(rcos( 23 ???),rsin( 23 ???)),(rcos( 43 ???),rsin( 43 ???)) 点电荷在拐角产生的电位可以等效为六个电荷在自由空间产生的和 电位，因此由电位公式 ?? 4?[(x?x0) 2 q 1 ?(y?y0)]2 2 可以得到的电位为 5 ?? ? i?0 q 1 4?[(x?xi) 2 ?(y?yi)]2 2 xi和yi分别是具体电荷坐标。 当夹角为??50时，不满足?? 180n (n为正数)，所以镜像电荷将产生无穷个，无法应 用镜像原理。 11-2 如图所示，接地无限大导体平板上突起一半径为a的半球形，在x?d处有一点电荷q。试利用镜像原理求解该电荷产生的电位。 解:在接地无限大导体作用下，点q产生一个镜像电荷q’，根据平面板的镜像原理可知q’,,q，x’,,d。 将半球形看成一个完整球形，则此两个电荷又分别产生一个镜像电荷，根据球形腔的镜像原理可以得到它们的电荷大小和位置分别为q’’,所以 ?? q 1 ad q, x’’, ad 2 , q’’’,, ad q, x’’’, , ad 2 ? 4?d[(x? aqad 2 1 ? q 1 ? 4?d[(x? aqad 2 1 4?[(x?d) 2 ?y] 2 2 ) 2 ?y] 2 2 4?[(x?d) 2 ?y] 2 2 ) 2 ?y]2 2 11-3 如图11-10所示，一密度为?的无限长均匀分布的线电荷，平行 放置在半径为R的接地导体圆柱外x?a。试尝试用镜像原理求解该问题。 解:设点c为系统的零电势点，设N点为镜像电荷所在点，密度 为?'。 ? ???2?? ln r1a?R ? ?' 2?? p ln r2R?d ，r1?a?R?2aRcos?,r2?a?d 2222 ?2adcos? 其中， ?为op与oM的夹角，r1为pM长度，r2为pN长度，d为oN长度。 r1a?R r2R?d Ra 2 因为圆柱接地，所以? p ?0??ln???'ln?????',d? 所以电位为 ?? ? 2?? ln ar2Rr1 12-1 试利用镜像原理求解如图12-6所示的线电荷?在三层介质中 产生的电位。 解:利用介质镜像原理先确定0<x<h(区域2)的镜像问题. 区域2有两个边界，对它们分别应用镜像原理可以得到如下镜像电荷 分布 (a) ?由这些规律可以推出区域2电位表达式为 ??, ? ?ln ?????0(1??r1?)1(?r1??r2?r1?1?r1??r2?r1?1?22)k?????k?0 ?r1??r2?r1??r 2ln1?x?(2k?1)h??y?x?(2k?1)h??y22 在区域3中，其只有一条与区域2的边界。因为区域2无电荷，故不对区域3产生影响。区域1对它的影响可以看成上图(a)中区域1中的电荷对区域3的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上乘以因子 2?r3r31??，如图所示 (b) 由这些规律可以推出区域2电位表达式为 ??, ???02?r1?r3r3(1??)1???k?0(?r1??r2?r1?1?r1??r2?r1?1)k?ln1?x?(2k?1)h? ?y22 在区域1中，其只有一条与区域2的边界x?h。为了保证x?h介质边界条件，在区域2中x?h处加电荷,1,?r 1，?r?。区域3对它的影响可以看成上图(a)中区域3中的电荷对区 域1的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上乘以因子 21??r3，如图所示 (c) 由规律可以推出区域3电位表达式为 ??? ?? 2?(1??0? r1 r3?)r1({ln1(x?h))k?12??y?12 1???k?0?r1??r2?r1??r2(?r1?r1?1)lnk1 22?x?(2k?1)h??y 13-1 求13-2所示的同轴线TM模的场分布。 z b 图13-2 同轴线 ?， 解: 令电Hertz矢量?e??ez则边界条件为??er?a r?b自然边界条件是在圆周方?0。 向场单值。于是， ??[AJ(n?)?BN?cosm???j?z?e (n?)]????sinm??emm 由边界条件得 ?AJ ? ?AJmm(na)?BN(nb)?BNmm(na)?0(nb)?0 于是: Jm(na)Nm(nb)?Jm(nb)Nm(na) 上式便是确定n的本征方程。确定了n后，由n 电Hertz矢量为 ??A[Jm(n?)?Jm(na)Nm?cosm???j?z?e Nm(n?)]???(na)?sinm??2?k2??2便可确定传播常数?，进而得e ??e?? Et??t??z?22??e??e?????E?22代入?z便可得到同轴线TM模的场分布。 ?z?t?????e??e?)???t??Ht???t?(z?z?t?t? ?H?0?z 13-2 证明?,(ln?)e?jkz是齐次标量波动方程的一个解。若取?? e?，计算由此?所形??z 成的TM波。在z?常数的平面上画出瞬时电力线和磁力线分布。什么样的实际系统可以支持这样的波, 证:???2?? ?z 222????y22????x22????z22??k(ln?)e2?jkz??k? 2????k??0满足其次标量波动方程。 ????(ln?)e??z?jkz2 e? z ??e?? Et??t??z?22??e??e?????E?22代入?z便可得到TM模的场分布。 ?z?t?????e??e?)???t??Ht???t?(z?z?t?t? ?H?0?z 14-1 图14-3所示为一同轴线-矩形波导探针激励装置。假设探针电流为无限细线电流形式 I?I0sink0(d?y) 0?y?d, x? a2, z=0 z 试求由此电流所激励的TE10模的振幅。 ?? ?ds 解:已知 Pn?2?en?hn?z s0 图14-3 同轴线一波导探针激励装置 Cn?? ? 1Pn ? v ???1En?Jdv?? Pn ??j?(z?z) ??n2(e?e)?Jdv ?nzne v Cn?? ? 1Pn ? v ???1 En?Jdv?? Pn ? v ??? (en?ezn)?Je j?n(z?z1) dv 在TE 10 激励波中，其产生的场为 ?x a ?j?z Ey?eye ?j?z ?sine ?j?z ，H a b y ?hxe 2 ??Ywsin ?x a e ?j?z ?P10?2? ? Ywsin ?x a dxdy?abY w 式中，Yw是TE 10 模的波导纳，?是传播常数。 短路波导中的探针，等效于原来的探针加上至于无限长波导中z??2l 处(设原位置为z,0)的它的镜像。若假定辐射到z>0区域的场为Ey?csin 则可以得到 C ? ?? ?x a e ?j?z ?? 1abY w 11 [?I0sink0(d?y)dy? 0? I0sink0(d?y)e ?2j?l dy] ? I0Ywabk ?2j?l (e ?1)(1?cosk0d) 所以，由探针向z>0处所辐射的TE I0Ywabk ?2j?l 10 模的总横向场为 ?x a ?j?z E y ?(e ?1)(1?cosk0d)sin e H x ??YwEy ??????j??r14-2 已知 H?Hme，H m ? 为常矢量，试证明: ????H??? 2 ???? H??(??H)。 证:? ???H??(??H)??H ?? 2 ?2??????H22?j??r2 ?H??(j?)Hme???H 2 ?r ?????????????j??r?j??r ?(??H)??[??(Hme)]??(??eHm)??(?j??Hm)???(??Hm) ? 代入可得????H?? 2 ???? H??(??H) ? ?平行，张量介电常14-3 一平面波在无界等离子体中传播。传播方向与外加磁场B0?B0z ??1 j?2 0? ?? 数为 ???-j?2 ?1 0?, 试求本征波的传播常数和场表示式。 ?0 0 ?? 3?? 解:考虑非互易媒质?0r,?0?r。在无源情况下，满足 ?? ???H?j??E?0r ?? ?????E??j??0?r?H 2 于是 ????E?k0r?r?E 考虑无限大空间的均匀平面波，设 E?Eme ???j??r 式中，Em为常矢。 应用矢量公式，可以证明 ????E??E??(??E) 2 ?? ?? 2 代入得 ?E??(??E)?k0?r?r?E 2 把E分解成平行于传播方向?的E?分量和垂直于?的Et分量，即 E?E??Et ?? 则可得 ?(E??Et)??E??k0?r[? 2 2 2 tt ?? t? ???t??u]?(E??Et) 即 (k0?r? 2 tt ?? 2 I)?Et?k0?r? 2 2 t? ?E??0 k0?r(??t?Et?????E?)?0 ?? 写成矩阵形式为 ? ??? tt ??I ? ? t? ?t u ??E? t ? ??=0 ??El?? 式中，?? ? 2 2 k0?r 。上式便是求传播常数?的本征方程。 使E有非零解的充要条件是 ??det? ??? ???I ? ? u ttt? ?t ? ?=0 ?? 求得了?后，可得传播常数 ??k0?r? ??1?? j?2 0? ?? 在此题中，det-j?2 ?1?? 0?0 ????0 0 ?3?? 即 (?1??)?k设 ?1?k， 则 ? 22 ?0 ??1??1?k??2??1?k ? h ?? h ? ???? ?1和?2对应的本征矢分别为 E1??jh E2? jh ??????? 0??? 0?? 式中，h为任意常数。 因此，在纵向磁化时，对应有两个本征波，一个是xoy平面的右旋(相对于E0)圆极化波E1，对应的传播常数为?1??0 ? ?0?r?0(??k) 另一个本征波是xoy平面的左旋(相对于E0)圆极化波E2，对应的传播常数为 ?2??0 ? ?0?r?0(??k) 15-1 试证一维、二维标量波动方程的标量Green函数分别为 G0(x,x?)?? j2k e ?jkx?x? G0(?,??)? ? ? ??j4 H (2)0 ??(????) 式中，x?,??为源点坐标，x,?为场点坐标。 证:在一维中，有 ??c1e ?G(x,x?)?? ??c3e ddR jkx 22 G?kG???(R) 2 ?c2e?c4e ?jkx ???x?x?x??x??? jkx?jkx 因为场不可能无限大，可以推得c2?c3?0 又从源点条件可以得到 c1e jkx? ?c4e ?jkx? jkc1e jkx? ?jkc4e ?jkx? ?1 ?c1?? j2k e ?jkx? c4?? j2k e jkx? j?jk(x?x?)? ?e??2k ?G(x,x?)?? ??jejk(x?x?)??2k ???x?x? ?? x??x??? j2k e jkx?x? 在二维中，问题对新坐标原点对称，所以G0(?,0)仅是R得函数。在圆 柱面坐标系中 1 d(R? ddR G)?kG???(?)?(?) (1) 2 RdR 相应齐次方程为 1dRdR (R? ddR G)?kG?0 (1)0 2 上式是零阶柱贝塞尔方程。其解为零阶贝塞尔函数H仅有H (2)0 (k?)和H (2)0 (k?)的线性组合，其中 (k?)满足辐射条件，故G0(?,0)?AH (2)0 (k?) 对(1)取体积分，所取体积分以o?为圆心半径为??的单位长度小圆 柱区域。于是 dGdR ?2?R R??? ?k 2 ? ?? G?2?RdR??1 代入并考虑到???0在线源有奇点，故取 H (2)0 (k?)??j j4H 2 ? (2)0 ln k?2 ，可得A? 14 j，于是有 j4H (2)0 G0(?,0)?(k?)或G0(?,0)? (k????) 15-2 设算子L ?? ddx 22 ，它的Green函数G(x,x?)满足边界条件 G ?G ?0 x?[0,1] x?0x?1 试证明， G(x,x?)?? ?x(1?x?) x<x??x?(1?x) x>x? 证:(1)找出对应齐次方程特解为Ga?c，Gb?x ?A?Bx??G(x,x)?? ?C?Dx 0?x?x?x??x?1 (2)代入G0?G1?0?A?0 C??D 0?x?x??Bx ?G(x,x?)?? ?D(x?1)x?x?1? ?Bx??D(x??1)?B?D?1 (3)源条件中? ?B?1?x?D??x? ?(1?x?)x ?G(x,x?)?? ?x?(1?x) 0?x?x?x??x?1 ? 16-1 试推导磁场H的积分表达式 ????? H(r)???J(r?)???G0(r,r?)dv?? v ? s ??????E(r?)G0(r,r?)j??n ???????? ??H(r?)]???G0(r,r?)?n??H(r?)??G0(r,r?)?ds? ?[n 证: ???2 ????H?kH???J ???? ?d (Q???P?P???Q)?n 根据矢量Green公式 ? v ???? (P?????Q?Q?????P)dv? s ?为s面的外法向单位矢量。 式中，n ??? ?P?H(r)? 令 ????? ??Q?G(r,r?)a 代入矢量格林公式, ?? 并考虑到G(r,r?) 的对称性，得 ?? v ?????????? H(r?)???????[G(r,r?)a]?G(r,r?)a???????H(r?)dv? ? ? ? s ?????????? ?ds?G(r,r?)a????H(r)?H(r?)????[G(r,r?)a?n ? 利用矢量恒等式 ?? ????A??(??A)?? 2 ?A ????(fA)??f?A?f??A ??? ??(fA)??f?A?f??A 可得 ?????????2 ??????[G(r,r?)a]??????[G(r,r?)a]???[G(r,r?)a] ?????????2 ???[??G(r,r?)?a]?kG(r,r?)a??(r?r?)a ?????? ???[G(r,r?)a]???G(r,r)?a 得 ? v ???????????2 H(r?)???[??G(r,r?)?a]?kG(r,r?)a??(r?r?)adv?? ?? ? v ????????2 G(r,r?)a?[kH(r?)???J(r?)]dv? ???????????? ?ds???G(r,r?)a?[j??E(r?)?J(r?)]?H(r?)?[??G(r,r?)?a]??n s 进一步利用矢量恒等式? ??? ?(fA)??f?A?f??A ,可得 ?????H(r?)???[??G(r,r?)?a] ?? ???????? ????(??G(r,r?)?a)H(r?)?[??G(r,r?)?a]???H(r?) ?? ????a?H(r)?a? ? s ????????????H(r?)??G(r,r?)ds??a???H(r?)??G(r,r?)dv??a?n? ? ? V ???? ??J(r?)?G(r,r?)dv? v ??????????? ??????a?{?n?[j??E(r)?J(r)]G(r,r)?[n?H(r?)]???G(r,r?)}ds? s 考虑到a为任意矢量，且 ? s ???? ??J(r?)?G(r,r?)ds??n ? V ???? ??J(r?)?G(r,r?)dv? ???????? ????)?G(r,r?)]dv???{?n?J(r)G(r,r)ds????[J(r? s V ? v ??? J(r?)???G(r,r?)dv?? ???? ?)?G(r,r?)dv???J(r? V 所以可以得到 ????? H(r)???J(r?)???G(r,r?)dv?? v ???? ?)G(r,r?)??j??n?E(rs ???????? ????? ?[n?H(r)]??G(r,r)?n?H(r?)??G(r,r?)?ds? ????????? a?(b?c)?b(a?c)?c(a?b)，可以进一步简化为 利用矢量公式 ?????? H(r)???J(r?)???G(r,r?)dv?? ???? ????G(r,r?)?ds??H(r?)n v s ???? ??E(r?)G(r,r?)?j??n 16-2 设有两个电荷?q和?q，开始时都位于坐标原点，t?0时刻突然将两个电 荷沿z轴方 向拉开，两电荷间距为l。求此电偶极子产生的电磁场。 解:此电场中的电偶极子是由彼此间距为l的两个点电荷，Q和,Q 构成的，其电偶极矩为 ? ? P?Qlz 代入矢位方程A(r) ?? ? j??4?r ? Pe jkr 可以得到A(r)? ?? j??4?r Qle jkr ? z ?E??j?[A?2?(??A)]k? ??rsin?Az?? 在球坐标系中，A?cos?Azr?? x r?? rsin?? ?? H?1 ???A?1 ? ? ?? r2sin??r?? ?? Azcos? ?Azrsin? 0 =??1 ?[rsin?? r2sin??(?rArzsin?)?rsin?(Azcos?)] ?k2j?qlsin?j?1?jkr 4?[kr(kr)2]e 而?? ??H??j??E E2j?qlk3cos?j r?[1]e?jkr4???(kr)2?(kr)3 Ej?qlk3sin?j ???[?1?j ??4kr(kr)2(kr)3]e?jkr E??0