整式、正整数幂的运算法则、因式分解.doc

整式、正整数幂的运算法则、因式分解.doc 初中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 讲义 整式、正整数幂的运算法则;因式分解 龚天勇 一、知识目标: 1、代数及字母 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示数的意义: 2、单项式、单项式的系数与次数: 3、多项式、多项式的的项与次数:: 4、代数式与代数式的值: 5、整式与分式、有理式。 整式:单项式与多项式统称整式; 分式:如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 A/B 叫做分式。 分式和整式统称有理式。 6、同类项、合并同类项:所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项.所有常数项都是同类项。 合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 7、正整数幂的运算性质: mnmnmnm，nmnm,n，; (a),a， a,a,aa,a,a - 1 -- 1 - naanmmn; (),(ab),a,anbb 0? 零指数幂:a=1(a?0) 1,na,? 负整数指数幂:(a?Z) na ? 分数指数幂:(m,n?N、m、n互质) + m,nmn,,,正分数指数幂aa(a0),, ,m,1n,负分数指数幂,a,(a,0)nm,a, 8、去括号、添括号法则， 去括号或添括号，关键要看连接号。 括号前面是正号，去添括号不变号。 括号前面是负号，去添括号都变号。 乘除法去括号法则的依据实际是乘法分配律 9、单项式、多项式相乘与除法 - 2 -- 2 - 10、乘法公式: 222 ()2abaabb，,，， 33223 ()33abaababb，,，，， 33223()33abaababb,,,，, a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) • a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2) 11、十条规则 五条基本运算律:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律; 二条等式基本性质:等式两边同时加上一个数，等式不变;等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变; 三条指数律:同底数幂相乘，底数不变指数相加;指数的乘方,底数不变，指数相乘;积的乘方等于乘方的积。 (1)a-b=0,a=b (2)a+b=0,a=-b,b=-a (3)a*b=0,a=0 或 b=0 - 3 -- 3 - (4)(a-b) (a-b)=0,a=b 12、因式分解:把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。 因式分解方法主要有:提公因式法、公式法。此外又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法;求根公式法，换元法等。 二、教学过程 1、代数:用字母表示数来研究数字和文字的代数运算理论和方法学科就是代数学;在代数里，用字母表示数的意义即能使数量之间的关系更加简明,更具有普遍意义. 2、单项式、单项式的系数与次数:数字或数字与字母、字母与字母的乘积叫单项式(单独的一个数字或字母也是单项式)。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。 4、多项式:若干个单项式的和组成的式子叫做多项式。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 5、代数式与代数式的值:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。例如:ax，2b，,2,3，b^2/26，?a+?2等。 - 4 -- 4 - 注意:代数式里可以有绝对值。例如:|x|，|-2.25| 等。但是不包括“=、?”、不等号(?、?、?、,、,、?、?)、约等号“?”。 代数式的值:当字母取定一个数值时，用这个数值代替代数式中的这个字母，就能计算出一个与这个数值相对应的代数式的值，这个值叫代数式的值。 6、整式、分式和有理式: 整式:单项式与多项式统称整式;整式中除数不能含有字母.，所含字母的次数均为自然数。 分式:如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 A/B 叫做分式。有理式: 分式和整式统称有理式。 指出:在代数式的中，如果代数式开方运算没有针对字母，仍属有理式，不算无理式。如:?2a等。 7、同类项及其合并:所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项. 像4y与5y，100ab与14ab这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，所有常数项都是同类项。【同类项与字母前的系数大小无关】 例如:多项式3a,24ab,5a,7—a，152ab，29+a中 3a与,5a是同类项 - 5 -- 5 - ,24ab与152ab是同类项 ,7和29也是同类项【所有常数项都是同类项。】 ,a和a也是同类项【-a的系数是-1 a的系数是1 】 2ab和2ba也是同类项【同类项与系数和字母的顺序无关】 合并同类项。把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并(或合并同类项)。同类项的合并应遵照法则:把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 8、正整数幂的运算性质: mnmnmnm，nmnm,n，; ， (a),aa,a,aa,a,a naa0nmmn(),;;零指数幂:a=1(a?0) (ab),a,anbb 1,na,负整数指数幂:(a?Z);分数指数幂:(m,n?N、m、n互质) +na m,nmn,,,正分数指数幂aa(a0),, ,m,1n,,,,负分数指数幂a(a0)nm,a, 9、去括号、添括号法则， 去括号或添括号，关键要看连接号。 括号前面是正号，去添括号不变号。 括号前面是负号，去添括号都变号。 乘除法去括号法则的依据实际是乘法分配律 10、单项式、多项式相乘与除法 - 6 -- 6 - 11、乘法公式:乘法公式也叫做简乘公式,就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ,直接应用. 公式中的每一个字母,一般可以表示数字,单项式,多项式,有的还可以推广到分式,根式。 乘法公式的应 用不仅可从左到右的顺用也可以逆向 应用。 222()2abaabb，,，， 33223()33abaababb，,，，， 33223()33abaababb,,,，, a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) • a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2) 12、十条规则 五条基本运算律:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、 - 7 -- 7 - 乘法结合律、分配律; 两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数，等式不变;等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变; 三条指数律:同底数幂相乘，底数不变指数相加;指数的乘方,底数不变，指数相乘;积的乘方等于乘方的积。 13、单项式、多项式的除法 14、因式分解:定义:把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。因式分解主要方法:提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。 15、因式分解应注意三原则 分解要彻底 ;最后结果只有小括号;最后结果中多项式首项系数为正(例如:-3x^2+x=x(-3x+1)) - 8 -- 8 - 归纳(1)、提公因式法(2)、公式法(3)、分组分解法(4)、凑数法。(5)、组合分解法。 (6)、十字相乘法。(7)、配方法。(8)、拆项法。(9)、换元法。 (10)、加减项法。(11)、求根法。(12)、待定系数法。 (13)、特殊值法。 基本方法详解:(1)、提公因式法:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式的方法叫做提公因式法。 具体方法:当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数; 字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式， 多项式的次数取最低的。 当各项的系数有分数时，公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数，分子为各分数分子的最大公约数(最大公因数) 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀:找准公因式，一次要提净;全家都搬走，留1把家守;提负要变号，变形看奇偶。 例如:-am+bm+cm=-(a-b-c)m; a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)。 (2)、公式法: 平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2 ; - 9 -- 9 - 完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ; (a-b)^2= a^2-2ab+b^2 立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2); 立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2); 完全立方公式:a^3?3a^2b，3ab^2?b^3=(a?b)^3( 公式:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 把这些公式反过来运用，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。例如:a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2。 注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 此外还可以利用求根公式:ax^2+bx+c= a(x-(-b+?(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-?(b^2-4ac))/2a) (3)、分组分解法 分组分解是解方程的一种简洁的方法，能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式:二二分法，三一分法。比如: ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y) 我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。 同样，这道 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 也可以这样做。 ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y) 几道例题: - 10 -- 10 - 例1. 5ax+5bx+3ay+3by 解法:=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b) 即把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。 例2. x^3-x^2+x-1 解法:=(x^3-x^2)+(x-1)=x^2(x-1)+ (x-1) =(x-1)(x^2+1) 利用二二分法，提公因式法提出 x2，然后相合轻松解决。 例3. x^2-x-y^2-y 解法:=(x^2-y^2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1) 利用二二分法，再利用公式法a^2-b^2=(a+b)(a-b)，然后相合解决。 (4)、十字相乘法:这种方法有两种情况。 ?x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ( ?kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)( 十字相乘法口诀:首尾分解，交叉相乘，求和凑中， 竞赛用到的分解法介绍:(1)、拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两 - 11 -- 11 - 项(或几项)，使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)( (2)、配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如:x^2+3x-40=x^2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)^2-(6.5)^2 =(x+8)(x-5)( (3)、其他方法简介: a、应用因式定理 对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a( 例如:f(x)=x^2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x^2+5x+6的一个因式。(事实上，x^2+5x+6=(x+2)(x+3)() 注意:1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p(p,q为 - 12 -- 12 - 互质整数时)该多项式值为零，则q为常数项约数，p最高次项系数约数; 2、对于多项式f(a)=0, b为最高次项系数，c为常数项，则有a为c/b约数 b/换元法:有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元. 例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12时，可以令y=x^2+x,则 原式=(y+1)(y+2)-12=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10 =(y+5)(y-2) =(x^2+x+5)(x2+x-2) =(x^2+x+5)(x+2)(x-1)( c/求根法:令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ( 例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0， 则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1( 所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)( d/特殊值法:将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。 例如在分解x^3+9x^2+23x+15时，令x=2，则 x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105， 将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7 ( - 13 -- 13 - 注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值， 则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。 e/ 待定系数法:首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。 例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时，由分析可知:这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。 于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) =x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1， ac+b+d=-5， ad+bc=-6， bd=-4( 解得a=1，b=1，c=-2，d=-4( 则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)( f/利用根与系数的关系对二次多项式进行因式分解 例:对于二次多项式 aX^2+bX+c(a?0) aX^2+bX+c=a[X^2+(b/a)X+(c/a)X]. 当?=b^2-4ac?0时， =a(X^2-X1-X2+X1X2) =a(X-X1)(X-X2). 归纳:多项式因式分解的一般步骤 ?如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式; ?如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法 - 14 -- 14 - 来分解;?如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;?分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括:“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。” 因式分解中的四个注意:首项有负常提负，各项“公因”先提出，整项提出莫漏1，括号里面分到“底”。这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。 现举几例 可供参考 例1(分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2( 解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+ +x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(补项) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(完全平方) =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)( 例2(?ABC的三边a、b、c有如下关系式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证:这个三角形是等腰三角形。 分析:此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 - 15 -- 15 - 证明:?-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ?(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0( ?(a-c)(a+2b+c)=0( ?a、b、c是?ABC的三条边， ?a，2b，c,0( ?a,c,0， 即a,c，?ABC为等腰三角形。 例3(把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1) =-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)( 例4 把,a2,b2，2ab，4分解因式。 解:,a2,b2，2ab，4,,(a2,2ab，b2,4),,(a,b，2)(a,b,2) 这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如,9x2，4y2,(,3x)2,(2y)2,(,3x，2y)(,3x,2y),(3x,2y)(3x，2y)的错误 例5、把,12x2,yn，18xn，2yn，1,6xnyn,1分解因式。解:,12x2nyn，18xn，2yn，1,6xnyn,1,,6xnyn,1(2xny,3x2y2，1) 考试时应注意:在没有说明化到实数时，一般只化到有理数就够了,有说明实数的话,一般就要化到整数～ - 16 -- 16 - 三、整式、正整数幂的运算举例: 22xxyxyxy,,，,，,,,,23,2,1其中，，，，例1(先化简再求值:。 32,,2274,,,,23ababab，，，，,,例2(计算: 3,, 分析:按整式混合运算的顺序:先乘方，同级运算从左往右依次进行。(答案:36b) 提炼:在熟练掌握整式的运算法则和幂的运算性质基础上必须严格按照混合运算顺序逐步运算。 22,,,，,,,23234235xyxyxyxy，，，，，，，，例3(计算:(1); 432432abcabc,，，,，，，，(2) 分析:第(1)题根据混合运算法则先合理使用乘法公式，后进行整式的加减运算。 第(2)题先将原式转化为432432abcabc,,，,的形式，后运,,，，,,，， 2216a,,32bc用平方差公式将其化为的形式，最后利用完全平方，， 公式计算即可。(答案见复习指导用 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 第11页) 提炼:根据乘法公式的特点将原题中的代数式变形为符合公式特点的形式是解此类题的关键。 练习 0aa,,____(0)1、 填空:， ,p aap,,____(0,是正整数) mabc()______，，,()()__________mnab，，, ()_________ambmcmm，，,,()()__________abab，,, - 17 -- 17 - 22()_________ab，,()_________ab,, 32 2.计算:a ? a = ____. a,,13(若a,1，则 ( 二、判断: 1223abab和是同类项,1(() 4 244xy单项式的系数是次数是,,,32、() 33 3多项式的次数是五次三项式523xxy,，3(() a,33bcabc，,,，，，4. () 22333322多项式按的降幂排列为245524xyxyxyxxyxyxy,，,,，,5、 () 三、选择: 1(某商场实行7.5折优惠销售，现售价为y元的商品的原价为 yy (175,,，75,A. y 元 B. y元 C . 元 D. 元 175,,75, 14123mn,若与是同类项则和的值为ababmn,3,2、 2 A. 4和3 B. 2和3 C . 4 和2 D. 无法确定 3(下列各式计算过程正确的是 32325，32326，x，,,xxxxxxx,,,A. B. 3，62623,2235xxxx,,,,,,xxxx,,,，，C. D. 4(下列各式中，不能用平方差公式计算的是 224343abcabc,，，，，，3223abba，,，，，，A. B. ，，，，3553mm，,，，，，2323abba，,C. D. - 18 -- 18 - 22xkxyyk，，16,是完全平方式则的值为5. A. 4 B. 8 C. 4 或-4 D. 8或-8 B A 6、一个数的相反数是2，则这个数是 1 a 0 b 11 (第7题图) 2,2(A); (B);(C); (D),. ,122 7(如图，数轴上AB、两点分别对应实数ab、，则下列结论正确的是 ab，,0ab,0(,); (,); (,)ab,,0; (,)( ||||0ab,, 8(计算2a.×3a的结果是( ) 225a6aA( B( C( D( 5a6a 9(下列运算中，计算结果正确的是 3332325336(A)x?x,2x;(B)x?x,x;(C)(x),x;(D)x+x,2x ( 10、其他练习见下页: - 19 -- 19 - - 20 -- 20 - - 21 -- 21 - - 22 -- 22 - - 23 -- 23 - - 24 -- 24 -