四年级奥数

指南针小升初 第五讲 倒推法的应用 知识导航 在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 .这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题. 用倒推法解题时要注意: ?从结果出发，逐步向前一步一步推理. ?在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算. ?列式时注意运算顺序，正确使用括号. 例1: 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说:“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗, 解析:这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题. 如果把于昆的叙述过程编成一道文字题:一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少,把一个数用?来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式:,,(?,8)，10,?7,×4,56. 如何求出?中的数呢,我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56?4,14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7,98.98是加10后得到的，加10以前是98-10,88.88是减8以后得到的，减8以前是88，8,96.这样倒推使问题得解. 解:,,(?,8)，10,?7,×4,56 ,(?,8)，10]?7,56?4=14 (?,8)，10=14×7=98 ?,8=98-10=88 ?=88+8=96 答:于昆这次数学考试成绩是96分. 【巩固】某数加上6,乘以6,减去6,除以6,其结果等于6,则这个数是_____. 解析:{,(? + 6)×6,- 6}=6 解:运用倒推法知这个数为(6×6+6)?6-6=1 【解题技巧】解答此类问题的方法规律是:原题加，逆推为减;原题减，逆推为加;原题乘，逆推为除;原题除，逆推为乘。 - 26 - 指南针小升初 例2 :小玲问一老爷爷今年多大年龄,老爷爷说:“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是100岁”那么,这位老爷爷今年_____岁. 解析:,,(? + 17)?4,- 15,×10 , 100 采用逆推法,易知老爷爷的年龄为(100?10+15)×4-17=83(岁) 【巩固】某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数. 解析:{,(??4)×5,?6}=615 解:运用倒推法知这个数为615×6?5×4=2952 例3:马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几, 解析:马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7-1,6，而把十位上的7看成1，使差增加70-10,60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题. 解:111-(70-10)，(7-1),57 答:正确的答案是57. 【巩固】在计算一道减法题时，小马虎把被减数个位上的3看做8，把减数十位上的6看做9，结果得出的差是60.正确的结果是多少, 解析:被减数个位上的3看做8，差就多加了5;减数十位上的6看做9，差就多减去30.要求出正确的差，就应该用60加上30，减去5. 解:。 60，30,5,85 例4:树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上;从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问:原来每棵树上各落多少只鸟, 解析:倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48?3,16(只).第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16-6,10(只).同理，第二棵树上原有鸟16，6-8,14(只).第一棵树上原落鸟16，8,24(只)，使问题得解. 解:?现在三棵树上各有鸟 多少只,48?3,16(只) ?第一棵树上原有鸟只数. 16，8,24(只) ?第二棵树上原有鸟只数. - 27 - 指南针小升初 16，6-8,14(只) ?第三棵树上原有鸟只数. 16-6,10(只) 答:第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只. 【巩固】ABC三个小朋友共有玩具48个。A给B8个玩具，而B又将6个玩具给C，这时三人的玩具数相等。三人原来的玩具各有多少个, 解析:从三人的玩具数相等入手分析， 可得到每人的玩具数 例5:篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问:篮子里原有梨多少个, 解析:依题意，画图进行分析. 解:列综合算式: ,,(1，1)×2，1,×2，1,×2,22(个) 答:篮子里原有梨22个. 【巩固】一桶油倒去一半后，再倒去剩下的一半，这时连桶还有16千克。已知桶重5.5千克，那么原来这桶油连桶共重多少, 解析:倒去两次后连桶有16千克，这16千克不仅有剩下的油的质量还有桶的质量，桶重5.5千克，易知剩下的油重16-5.5=10.5千克，利用倒推法得油重 10.5×2×2=42千克。故这桶油连桶重42+5.5=47.5千克。 解:(16-5.5)×2×2+5.5=47.5(千克) - 28 - 指南针小升初 例6:“六,一”儿童节,小明和小培从妈妈那儿分得一些糖，妈妈把糖分成相同的两份给他们，多的一个给自己留下了.小明在路上遇着自己的两个朋友,他把自己的糖分成三份,每人一份,多的两颗分别送给了两个朋友.过了一会儿,又遇上两个小朋友,他同样分给他们糖,多的两颗分给了他们,后来,他又遇上了两个朋友,分完糖之后,小明发现自己只剩下一颗糖了,请问妈妈原来有多少糖? 解析:最后一次分糖前小明有糖3+2=5颗;倒数第二次分糖前小明有糖5×3+2=17颗;倒数第三次分糖前小明有糖17×3+2=53颗;妈妈原来有糖53×2+1=107颗. 【巩固】A、B、C三个小朋友共有玩具48个。A给B8个玩具，而B又将6个玩具给C，这时三人的玩具数相等。三人原来的玩具各有多少个, 48,3,16解析:从三人的玩具数相等入手分析，可得到每人的玩具数为(个)。然后再看每人的玩具数是怎样得到的，最后用倒推法就使问题解决了。 48,3,16解: 16,6,1016，6,8,1416，8,24C:(个) B:(个) A:(个) 例7:甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍;然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问:售货员从两个桶里各卖了多少千克油, 解析:解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2,14,16(千克).又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克. 求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克. 解:?甲乙两桶油共剩多少千克,15×2-14,16(千克) ?乙桶油剩多少千克,16?(3，1),4(千克) ?甲桶油剩多少千克,4×3,12(千克) 用倒推法画图如下: - 29 - 指南针小升初 ?从甲桶卖出油多少千克,15-11,4(千克) ?从乙桶卖出油多少千克,15—5,10(千克) 答:从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克. 【巩固】甲乙丙三人共有图书120本，乙向甲借3本书后，又送给丙5本，结果三个人的数量相等。甲乙丙原来各有多少本书, 120,3,40解析:从三人数量相等入手:(本);再根据已知往回逆推，得解。 120,3,4040，3,43解:(本) 甲:(本) 40,3，5,4240,5,35 乙:(本) 丙:(本) - 30 - 指南针小升初 课后练习 1、一个数除以18,乘4，加上6039，等于6139，这个数是多少, 解析:由于原来的计算为“”，根据运算顺序，用倒推法思?,18，4，6039,6139 考:这个数不加上6039时是多少，这个数不乘4时时多少，这个数不除以18时是多少，从6139入手，依次倒推，就可以求出这个数是多少。 (6139,6039),4，18解: ,100,4，18,25，18,450 2、小明在做加法题时，把一个加数个位上的6写成9，十位上的6写成0，结果得到错误的得数584,正确得数应该是多少, 解析:个位上的6看做9，和就多了3;十位上的6看做0，和就少加了60.要求出正确的和，就应该用60加上3. 解: 584，60,3,641 3、几个数相加时，把一个加数个位上的0写成9，把十位上的9写成6;另一个加数百位上少写3，这时得到的和是1395.那么原来几个数的和是多少, 解析:应为是相加的，所以多加的要减去，少加的要加上。并且要知道，在各位少几就是几个;在十位少几，就是少几十;在百位少几，就是少几百。 解: 1395，300，30,9,1716 4、从第一堆糖中拿一半放入第二堆，拿35粒放入第三堆，再拿出剩下中的一半放入第四堆，最后又吃掉第一堆中的2粒，这时第一堆中还有48粒，第一堆原有糖多少粒, 解析:从吃了第一堆中的2粒，还有48粒入手，倒推出第一堆原有的糖的粒数。 解: 最后一堆 没吃2粒前 没放第四堆前 没放第三堆前 没放第二堆前 48 50，2,100100，35,135135，2,27048，2,50 [(48，2)，2，35]，2,270算式::粒: 5、三筐苹果共有90千克，如果从甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克放入丙筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这时三筐苹果就同样重了。甲乙丙原来各有苹果多少千克, - 31 - 指南针小升初 解析:如图;先考虑已经平分，则可知每筐有: 90,3,30 解:(个) 90,3,30甲 乙 丙 甲:(个) 30,15，17,32-15 +15 +20 乙:(个) 30，15,20,25+17 -20 -17 丙:(个) 30，20,17,33 6、三年级三个班共有学生156人,若从三:1:班调5人到三:2:班,从三:2:班调8人到三:3:班,再从三:3:班调4人到三:1:班,这时每个班的人数正好相同。三个班原来各有学生多少人, 解析:如图; 三:1:班 三:2:班 三:3:班 解:156?3=52:人: -5 +5 +8 三:1:班:52-4+5=53:人: +4 -8 -4 三:2:班:52+8-5=55:人: 三:3:班:52+4-8=48:人: 7、有砖26块，兄弟二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就抢过一半;弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半;哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块。这时，哥哥挑14块，弟弟挑12块。最初弟弟准备挑多少块, 解:14-5=9(块)9×2=18(块)26-18=8(块)8×2=16(块) 8、三人共有糖72粒，若甲给乙，丙各一些，使他们增加1倍。接着乙又给甲，丙各一些，使他们翻倍。最后丙也给甲，乙各一些，使他们翻倍。这时三人糖数相等，三人原来各有几粒糖, 解:72?3=24(粒) 甲 乙 丙 24 24 24 最后的糖果数 12 12 48 丙不给甲,乙 6 42 24 乙不给甲,丙 39 21 12 甲不给乙,丙 9、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩下7米，这捆电线原来总长多少米, 解析:关键是找好这三次之间的关系，用倒推的方法依次可以返回每次用之前的长度。 解:第三次用之前的一半是:(米) 15，7,10,12 - 32 - 指南针小升初 第二次用之前的一半是:(米) 12，2,24 第一次用之前的一半是:(米) 24，3,27 全长:(米) 27，3,54 答:原来长54米。 10、袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半，再放回一个，一共做了5次，袋中还有3个球，原来袋中有几个球, 解析:每次那后剩下的是拿之前的一半多一个。从最后袋中的3个球，依次向前推算解决问题。 解:最后袋中有3个球; (3,1)，2,4第5次拿之前:(个) (4,1)，2,6第4次拿之前:(个) (6,1)，2,10第3次拿之前:(个) (10,1)，2,18第2次拿之前:(个) (18,1)，2,34第1次拿之前:(个) 答:省去。 第六讲 幻方与数阵图 知识导航 三阶幻方的性质:1.中心位置上的数等于幻和除以3; 2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数; 3.中心数两头的数等于中心数的2倍。 例1:我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。 如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法, 第1题 - 33 - 指南针小升初 解析:首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的,立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢,哦，如果我们按照行(按照列也一样)把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗,而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(请复习学过的等差数列知识)。于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是45?3=15。 接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。 同学们可能会说，中间一定填5，因为1到9的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。 A B C D E F G H I 看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。 下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含E的四条直线:因为A+E+I=15, B+E+H=15, C+E+G=15, D+E+F=15, 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+3×E=60, 而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填数的总和吗,不论填法如何，这个数是不变的，它就是45，于是那么我们就得到E=5了。 解: 根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而E=5。 从而我们知道A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味着在所有经过中心的直线上，两端的数字奇偶性相同。然后我们可以通过枚举的方法确定每个位置上数字的奇偶性:(大家自己完成) 偶 奇 偶 5 奇 奇 偶 奇 偶 我们可以看到，如果4个角上的偶数被确定下来，那么其余4个奇数也就被确定了，所以我们可以只考虑这4个偶数的填法。利用一点简单的乘法原理，大家就可以知道本题共有8种填法。具体填法如下: 2 9 4 2 7 6 8 3 4 8 1 6 7 5 3 9 5 1 1 5 9 3 5 7 6 1 8 4 3 8 6 7 2 4 9 2 4 9 2 4 3 8 6 7 2 6 1 8 3 5 7 9 5 1 1 5 9 7 5 3 8 1 6 2 7 6 8 3 4 2 9 4 - 34 - 指南针小升初 总结:这里要强调一点:奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法，只在某些特殊的题目中会被用到。 在上面这个解题过程中，我们用到了一点技巧，希望同学们加以领会。 本题中，我们看到所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于中间这个E。那么我们来问一个深入一点的问题:你认为这是在这道题中才产生的特殊性质，还是所有的三阶幻方都应该具有类似的性质, 还有，就是上面我们曾经得出的那个“幻和”的3倍就等于这九个数之和的这条性质，它能不能推广到所有的三阶幻方, 【巩固】.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。 解析:首先将这列数中的中间数放在中间的格子里 可知幻和是7×3=21; 其次;将最小的数和最大的数分别放在这个数的横 向或竖向的两边;第三,中间数前面的第2和第4个数分 别填在最大数的两侧,这时就可以轻松的确定剩下的几个 空了。 8 9 4 4 3 7 11 3 7 11 10 5 6 6 例2:下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3倍的E 且D+F=2×E。 D E F 第2题 解析:有了第1题的基础，大家应该对本题感到不是那么陌生了，只要把第1题的一部分解题过程搬过来就行。这道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程变成一条普遍的规律或性质。 解:首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。 A B C D E F G H I - 35 - 指南针小升初 首先，只考虑包含E的四条直线，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”， C+E+G=“幻和”， D+E+F=“幻和”。 然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+3×E=4倍的“幻和”, 而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3倍的“幻和”。 ×E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是D+F=2×E。 所以，3 总结:同样的分析办法，还可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2×E(请大家自己说明)。 本题回答了例1评议中提出的两个问题，从而我们得到三阶幻方的两条重要性质。 性质1:“幻和”的3倍等于这九个数之和; 性质2:所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。 B A C 第3题 例3:上图是一个三阶幻方，请说明A+B=2×C。 解析:这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以用。于是我们就想到利用性质1和2，看看能不能解决问题。 当然，只利用题目中的A、B、C三个位置上的数字是不可能做出来的，至少还要利用一个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以选择左上角的数字，并用x来表示它: x B A * C 下面我们要用到比较法，其实也就是性质1。 解:现在考虑*处的数字。如果我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道*+C=B+x，也就是*=B+x-C;而如果我们只看中间第二行和左上到右下的对角线，可以知道x+C=A+*，也就是*=x+C-A。 所以B+x-C=x+C-A，两边可以都去掉x，就得到A+B=2×C。 总结:这就是幻方的性质3，也被形象的称为“T”字型性质。当然，类似本题中这样A+B=2×C的性质还有另外3种不同方向的表达形式，大家应该自己可以总结出来。“T”字型性质是非常重要，而且神奇的性质，它神奇就神奇在三阶幻方有无穷多个，看起来好像数字怎么填都可以。但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三个位置上的数字之间却有着这样简单的关系，三阶幻方中的数字不是随便怎么填都 - 36 - 指南针小升初 可以的，中间还潜藏着一些更深层次的特殊性质。这正是数学的魅力所在。 例4:那么究竟我们总结出来的3条性质有什么用呢， 请完成下面的三阶幻方: 17 29 100 19 19 95 第4题(2) 第4题(1) 解析:本题需要综合利用上面的3条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。但是不同人的解题顺序和利用性质的方式可能很不一样，所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法，大家应该有自己的解题顺序和方法。这类题是简单的。 解: (1) B A 100 19 95 根据性质2，A=100×2-19=181，B=100×2-95=105;“幻和”=100×3=300。下面就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下: 171 105 24 181 100 19 95 29 176 (2) 17 A 29 C 19 B 根据比较法，A=19+29-17=31;根据性质3，B=(17+29)?2=23;根据性质2，C=(19+31) ?2=25，“幻和”=25×3=75。下面也就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下: 17 31 27 29 25 21 19 33 23 - 37 - 指南针小升初 总结: 最后重申几点注意事项: I. 这些性质只适用于三阶幻方，对于四阶和四阶以上的幻方，有些性质可能 就不成立了，而有些需要修改，请同学们慎重，具体问题具体处理。 II. 这几条性质适合于所有的三阶幻方，并没有局限性。 2、四阶幻方 4阶幻方的填法:将数字从左到右、从上到下按顺序填写: 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补(同色)的数字。 这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17;把1换成17-1 = 16;把6换成17-6 = 11;把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。(见右上图) 数阵图 知识导航 数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线(或关系区域)上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题: 第一步:从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n×s的形式。 第二步:从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的(多加或少加几次)位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数?特殊位置数字和×多加或少加次数的形式。 第三步:格局整体与个体的关系，列出等式即n×s=题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数?特殊位置数字和×多加或少加次数。 第四步:根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的S值。 第四步:根据确定的特殊位置数字及S值进行数字分组及尝试。 类型一:封闭类型的数阵图 例1: - 38 - 指南针小升初 将1~6六个自然数分别填入下图的?内，使三角形每边上的三数之和都等于11. 解析: 此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和 ，,333为11 ，而1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有:12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。 例2:将1~6填入左下图的六个?中，是三角形每条边上的三个数之和都等于，k请指出的取值范围。 k 211354656 416325243 4 23 516 解析:设三角形三个顶点的数字之和为，因为每个顶点属于两条边公有，所以把s 三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍，于 Sk，,213是有(1+2+3+4+5+6)+ = ，化简后为。由于是三个数之和，故ss3k ,,k12最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9。和有四组取值: sk k,9k,11k,10k,12,,,, ,,,,s,9s,15s,6s,12,,,, 通过实验，每组取值都相应一种填数方法(见右上图)。 像例题中的数阵图，它的各边相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系方式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。 一般地，有条边，每条有个数的图形称为封闭型(或辐射型或复合型)nm 图，封闭型图有个重叠数，重叠次数都是1次。对于封闭型数阵mn,mn,m - 39 - 指南针小升初 图，因为重叠一次，所以:已知各数之和+重叠之和=每边各数之和边数 ，类型二:辐射类型的数阵图 例1:将1~7这七个数字，分别填入图中各个?内，使每条线段上的三个?内数的和相等。 解析:设中心?内填，由于三条线上的数字和相加应是3的倍数，其中一共加aa ,,391……了3次，所以1+2+3+4+5+6+7+2=28+2一定是3的倍数。而28，那aa a,1,么2的余数应该是2，因此，，4或7. a,3 a,1,,,31010、当28+2=30，30，10-1=9，除中心外，其它两数的和应是9，只 要把2，3，4，5，6，7，六个数按“和”是9分成三组填入相应的，?内就 可以了。填法如图(1) ,,31211、当时，28+8=36，36。填法如图(2) a,4 ,,314 当时，28+14=42，42。填法如图(3) a,7 - 40 - 指南针小升初 课后练习 1. 在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图. 请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和 5 均为27. 6 解析:已知幻和是27，可知中间数是:27?3=9, 根据:和-差=减数，分别将其他数求出。 答案如下: 14 5 8 6 9 12 13 4 10 2、在下图的九个方格中,每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则 N= . 解析:已知幻和，8+6+16=30，可求中间数是:30?3=10;设一个角上的数是，根据幻和的特点，可将其他的空格一次算出。答案如下右图: - 41 - 指南针小升初 8 N 18 4 8 6 6 10 14 16 12 16 2 12 3、请你将5~13这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。 解析:中间数是:9,幻和:27;可据此 11 6 10 分别填出其他的空格,不做过多的解释了。 13 9 5 12 7 8 4、编制一个三阶幻方，使其幻和等于24. 解析:根据幻和是24，可以求出中间数是:24?3=8， 再根据例题中的方法填其他的空格。 9 10 5 4 8 12 11 6 7 5、用1至16这十六个数编制一个四阶幻方。 解析:可用“错位移动法”来填。 - 42 - 指南针小升初 解:(1) 1 1 2 3 4 2 3 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 10 11 12 9 10 11 12 13 14 15 16 13 14 15 16 (2)正确结果 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16 【巩固】用3至18这16个数排出一个4阶幻方。 解: 3 17 16 6 14 8 9 11 10 12 13 7 15 5 2 18 6、在下图中填入不大于15且互不相等的8个数,使每行每斜行的三个数的和都等于30. 解析:利用幻和,可以求出中间数,再利用“斜线填法”编制三阶幻方。具体步骤是:第一,把最大的数填在除中间位置外任意行或列的格子中,第二,把第二大数填入任意一个角上的格子中,其余就根据幻和来填。 解:中间数:30?3=10,要填入的九个数:6,7,8,9,10,11,12,13,14. 11 12 7 6 10 14 13 8 9 - 43 - 指南针小升初 7、把20以内的质数分别填入下图的一个?中,使得图中用箭头连接起来的四个数之和都相等。 解析:由上图看出,三组数都包括左、右两端的数,所以每组数的中间两数之和必然相等。20以内共有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数,两两之和相等的有 5,19,7,17,11,13, 于是得到下图的填法。 8、在右图的六个?内各填入一个质数:可取相同的质数:,使它们的和等于20,而且每个三角形:共5个:顶点上的数字之和都相等。 解析:因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个?,又因为每个三角形顶点上的数字之和相等,所以每个三角形顶点上的数字之和为20?2,10。10分为三个质数之和只能是2,3,5,由此得到右图的填法。 - 44 - 指南针小升初 第八讲相遇问题 知识导航 相遇问题:速度和=总路程?相遇时间 总路程=速度和×相遇时间 相遇时间=总路程?速度和 例1:一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千 米，货车每小时行48千米.3.5小时两车相遇.甲、乙两个城市的路程是多少千米, 解析:本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两 地路程为:(46+48)×3.5=94×3.5=329(千米)( 【巩固】两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米.甲、乙两车相遇时，各行了多少千米, 解析:根据相遇公式知道相遇时间是:255?(45+40)=255?85=3(小时)， 所以甲走的路程为:45×3=135(千米)， 乙走的路程为:40×3=120(千米). 例2:小新的家距离学校3000米，小新爸爸从家去学校接小新放学，小新从学校 回家，他们同时出发，爸爸每分钟比儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么小新的速度是每分钟走多少米, 解析:小新和爸爸的速度和:(米/分钟)， 3000,50,60 (60，24),2,42(米/分钟)， 爸爸的速度: 小新的速度:(米/分钟)( 60,42,18 甲、乙二人从相距36千米的两地相向而行.若甲先出发2小时,则在乙动【巩固】 身2.5小时后两人相遇;若乙先出发2小时,则甲动身3小时后两人相遇.甲每小时走______千米.乙每小时走_______千米. 解析: 36×2?(2+3+2.5)=9.6(千米/小时) 甲速:(36-9.6×2.5)?2=6(千米/小时) - 45 - 指南针小升初 乙速:(36-9.6×3)?2=3.6(千米/小时) 例3:A、B两地相距90米，包子从A地到B地需要30秒，菠萝从B地到A地需要15秒，现在包子和菠萝从A、B两地同时相对而行，相遇时包子与B地的距离是多少米, 解析:包子的速度:(米,秒)，菠萝的速度:(米,秒)， 90,30,390,15,6 90,(3，6),10(秒)， 相遇的时间: 包子距B地的距离:(米)( 90,3，10,60 【巩固】甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行， 已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需12小时， 问:两车出发后多长时间相遇, 解析:要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度， 甲车的速度是:千米,时)， 360,4,90 车的速度是:(千米,时); 360,12,30乙 360,(90，30),3(小时)( 则相遇时间是: 例4:甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相对而行，甲车先行1小时，甲车 A、B两地 每小时行48千米，乙车每小时行50千米，5小时相遇，求 间的距离( 解析:这题不同的是两车不“同时”( 【法1】求A、B两地间的路程就是求甲、乙两车所行的路程和(这样可 ，甲车行驶6小时，乙车行驶5小时，再 以先分别求出两车行驶的路程 48，(1，5),288把两部分合起来(甲车行程:(千米) 乙车行程:(千米) 50，5,250 两地路程:(千米) 288，250,538 【法2】还可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行 (48，50)，5,490的路程:(千米)(千米) 490，48,538 【巩固1】甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千 米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发(甲车行几小时后 与乙车相遇, 解析:甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行 驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程， 所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、 - 46 - 指南针小升初 乙两车同时相对而行的时间(乙车先行驶路程:(千米)， 41，2,82 乙两车同时相对而行路程:(千米)， 770,82,688甲、 688,(41，45),8车行的时间:(小时)( 甲 【巩固2】甲、乙两列火车从相距144千米的两地相向而行，甲车每小时行28千 米，乙车每小时行22千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发(甲车行几小时后 与乙车相遇, 解析:甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行 驶，那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程， 所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，才是甲、 乙两车同时相对而行的时间(乙车先行驶路程:(千米)， 22，2,44 乙两车同时相对而行路:(千米)， 144,44,100甲、 (千米)， 28，22,50甲、乙两车速度和: 相遇时甲车行的时间为:(小时)( 100,50,2与乙车 【巩固3】妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走75米(妈妈走了3分钟 后，小红从学校出发，小红每分钟走60米(再经过20分钟妈妈和小红相遇( 从小红家到学校有多少米, 解析:妈妈先走了3分钟，就是先走了(米)( 75，3,225 20分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了20分钟，这 (75，60)，20,2700一段的路程为:(米)，这样妈妈先走的那一段路 程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，就是小红家到学校的距离( 75，3，(75，60)，20,2925解:(米)( 例5:甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B地出发，乙车出发5小时后两车还相距15千米(甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米(求A、B两地间相距多少千米, 解析:题目中写的“还”相距15千米指的就是最简单的情况.画线段图如下: 3，5,848，8,384由图中可以看出，甲行驶了(小时)，行驶距离为:(千米); 乙行驶了5小时， 行驶距离为:(千米)，此时两车还相距15千米， 50，5,250 - 47 - 指南针小升初 所以A、B两地间相距:(千米) 384，250，15,694 (48，50)，5,490也可以这样做:两车5小时一共行驶:(千米)，A、B两地间相距: (千米)，所以，A、B两地间相距649千米( 490，48，3，15,694 【巩固】(全国希望杯数学邀请赛)甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141千米;出发后5小时，两车相遇(A、B两地相距多少千米, ,解析:=速度和”中，对于速度不变的两车，“相遇时间”与“路程和” 是一一对应的(如图所示 (5,2)5小时的相遇时间与A、B两地的距离相对应，小时的相遇时间与141千米相对 141,(5,2),47应.两车的速度之和是:(千米/时). A、B两地相距:(千米) 47，5,235 例6:两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车4次，每次停车15分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离, 解析:每列车停车时间:(分)=1(小时)，两列车停车时间共2小时，15，4,60 共同行驶时间:小时， 7,1,6 速度和:(千米)， 40，45,85 两城距离:(千米)( 85，6,510 【巩固】两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走60千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车5次，每次停车12分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离, - 48 - 指南针小升初 解析:每列车停车时间:(分)=1(小时)， 12，5,60 两列车停车时间共2小时，共同行驶时间:小时， 7,1,6 速度和:(千米)， 60，45,105 两城距离:(千米)( 105，6,630 例7:甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，甲机每小时行300千米，乙机每小时行340千米，飞行4小时后它们相隔多少千米,这时候甲机提高速度用2小时追上乙机，甲机每小时要飞行多少千米, (340,300)，4,160解析:?4小时后相差多少千米:(千米)( ?甲机提高速度后每小时飞行多少千米: (千米)( 160,2，340,420 【巩固】南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时， 60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米? 解析:两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程， (50，60)，5,550(千米)( 课后练习 1、南辕与北辙两位先生对于自己的目的地S城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发3小时他们相距多少千米, 解析:两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程， (50，60)，3,330(千米)( 2、两列火车从相距80千米的两城背向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车相距多少千米, 解析:因为是背向而行，所以每过1小时，两车就多相距:(千米),则5小40，42,82 (42，40)，5，80,490时后两车相距是:(千米)( 3、两列火车从相距40千米的两城背向而行，甲列车每小时行35千米，乙列车每小时行40千米，5小时后，甲、乙两车相距多少千米, (35，40)，5，40,415解析:因为是背向而行，所以两车5小时后的距离是:(千米). 4、两地相距900米，甲、乙二人同时、同地向同一方向行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走100米，当乙到达目标后，立即返回，与甲相遇，从出发到相遇共经过多少 - 49 - 指南针小升初 分钟, 解析:甲、乙二人开始是同向行走，乙走得快，先到达目标(当乙返回时运动的方向变成了同时相对而行，把相同方向行走时乙用的时间和返回时相对而行的时间相加，就是共同经过的时乙到达目标时所用时间:(分钟)，甲9分钟走的900,100,9 路程:(米)，甲距目标还有:(米)，相遇时间:80，9,720900,720,180 180,(100，80),1(分钟)，共用时间:(分钟)( 9，1,10 5、八戒和悟空两家相距255千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行45千米，八戒每小时行40千米(两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米, 解析:要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间:255,(45，40),3(小时)(悟空:(千米)， 45，3,135 八戒:(千米)( 40，3,120 6、两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇, 3300,(82，83),15,5解析:根据题意列综合算式得到:(分钟)，所以两个人还需要5分钟相遇. 7、两地相距400千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行40千米，乙车每小时比甲车多行5千米，4小时后两车相遇了吗,为什么, (45，40)，4,340解析:(千米);(千米)，340千米<400千米，因为两车440，5,45 小时共行340千米， 所以4小时后两车没有相遇( 8、两列货车从相距450千米的两个城市相向开出，甲货车每小时行38千米，乙货车每小时行40千米，同时行驶4小时后，还相差多少千米没有相遇, (38，40)，4,312解析:所求问题,全程,4小时行驶的路程和(路程和:(千米) (千米)( 450,312,138 9、(2008年第六届希望杯一试)甲乙两人分别以每小时6千米，每小时4千米的速度从相距30千米的两地向对方的出发地前进(当两人之间的距离是l 0千米时，他们走了___________小时( 解析:有两种情况，一种是甲乙两人一共走了(千米)，一种是甲乙两人30,10,20 (30,10),(6，4),2一共走了(千米)，所以有两种答案:(小时)或30，10,40 (30，10),(6，4),4(小时) 10、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行，公共汽车每小 - 50 - 指南针小升初 时行40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米, 解析:两车在相距450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车 (450,90)(450,90),(40，50),4相距90千米，这时两车共行的路程应为千米(即(小时)(需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到 (450，90)某一时刻，两车再一次相距90千米(这时两车共行的路程为千米， (450，90),(40，50),6即(小时)( 11、甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行(出发2小时后，两人相距54千米;出发5小时后，两人还相距27千米(问出发多少小时后两人相遇, 解析:根据2小时后相距54千米，5小时后相距27千米，可以求出甲、乙二人3小时行 (54,27)(54,27),(5,2),9的路程和为千米，即可求出两人的速度和:(千米)，根据相遇问题的解题规律;相隔距离?速度和=相遇时间，可以求出行27千米需要: (小时)( 5，27,9,8 12、甲乙两座城市相距530千米，货车和客车从两城同时出发，相向而行( 货车每小时行50千米，客车每小时行70千米(客车在行驶中因故耽误1小时，然后继续向前行驶与货车相遇(问相遇时客车、货车各行驶多少千米, 解析:因为客车在行驶中耽误1小时，而货车没有停止继续前行，也就是说，货车比客车多走1小时(如果从总路程中把货车单独行驶1小时的路程减去，然后根据余下的就是客车和货车共同走过的(再求出货车和客车每小时所走的速度和，就可以求出相遇时间(然后根据路程,速度×时间，可以分别求出客车和货车在相遇时各自行驶的路程( (530,50),(50，70),4解:相遇时间:(小时) 相遇时客车行驶的路程:(千米) 70，4,280 50，(4，1),250(千米)( 相遇时货车行驶的路程: 13、甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇, (366,37，2),(37，36),4解析:(小时)( 第九讲 追击问题 知识导航 追及路程,甲走的路程—乙走的路程 ,(甲的速度×追及时间)—(乙的速度×追及时间) - 51 - 指南针小升初 ,(甲的速度—乙的速度)×追及时间 ,速度差×追及时间. 例1:甲、乙两地相距240千米，一列慢车从甲地出发，每小时行60千米(同时一列快车从乙地出发，每小时行90千米(两车同向行驶，快车在慢车后面，经过多少小时快车可以追上慢车,(火车长度忽略不计) 解析:追及路程即为两地距离240千米，速度差(千米)，所以追及时90,60,30 间(小时). 240,30,8 【巩固1】下午放学时，弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后，哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家，哥哥出发后，经过几分钟可以追上弟弟,(假定从学校到家有足够远，即哥哥追上弟弟时，仍没有回到家). 解析:若经过5分钟，弟弟已到了A地，此时弟弟已走了(米);哥哥每 40，5,200 40，5,(60,40),10分钟比弟弟多走20米，几分钟可以追上这200米呢,(分)，哥哥10分钟可以追上弟弟. 【巩固2】甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问:乙经过多长时间能追上甲, 15,10,5解析:出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短(千米)，即两人的速度的差(简称速度差)，所以10千米里有几个5千米就是几小时能 10,(15,10),2追上:(小时)，还需要2个小时. 【巩固3】解放军某部先遣队，从营地出发，以每小时6千米的速度向某地前进，12小时后，部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络，问多少时间后，通讯员能赶上先遣队, 解析:追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。 (6，12),(78,6),1 (小时)( 例2:小明步行上学，每分钟行70米(离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明(问爸爸出发几分钟后追上小明,爸爸追上小明时他们离家多远, 解析:如图: 当爸爸开始追小明时，小明已经离家:(米)，即爸爸要追及的路70，12,840 - 52 - 指南针小升初 程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短(米)，280,70,210 (米/分),爸爸追及的时间:280,70,210也就是爸爸与小明的速度差为 (分钟)(当爸爸追上小明时，小明已经出发(分钟)，此840,210,412，4,16 :(米) 70，16,1120时离家的距离是 【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书(哥哥每分钟走65米，弟弟每分钟走40米，有一天弟弟先走5分钟后，哥哥才从家出发，当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校，问他们家离学校有多远? 解析:哥哥出发的时候弟弟走了:(米)，哥哥追弟弟的追及时间40，5,200 200,(65,40),8(分钟)，所以家离学校的距离为:(米). 8，65,520为: 【巩固2】小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果在距学校1000米处追上小明，求小强骑自行车的速度. 解析:小强出发的时候小明走了(米)，被小强追上时小明又走了:50，12,600 (1000,600),50,8(分钟)，说明小强8分钟走了1000米，所以小强的速度为: (米/分钟). 1000,8,125 例3:小强每分钟走70米，小季每分钟走60米，两人同时从同一地点背向走了3分钟，小强掉头去追小季，追上小季时小强共走了多少米, 解析:小强走的时间是两部分，一部分是和小季背向走的时间，另一部分是小季追他的时间，要求追及时间，就要求出他们的路程差(路程差是两人相背运动的总路 (60，70)，3,390390,(70,60),39程:(米)追及时间为:(分钟) 70，(39，3),2940小强走的总路程为: (米) 【巩固】小聪和小明从学校到相距2400米的电影院去看电影(小聪每分钟行60米，他出发后10分钟小明才出发，结果俩人同时到达影院，小明每分钟行多少米, 解析:要求小明每分钟走多少米，就要先求小明所走的路程(已知)和小明所用的时间;要求小明所用的时间，就要先求小聪所用的时间，小聪所用的时间是: (分钟)，小明所用的时间是:(分钟)， 2400,60,4040,10,30 小明每分钟走的米数是:(米)( 2400,30,80 例4:王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走70米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华(求多少分钟后追上李华, 解析:已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校 - 53 - 指南针小升初 又耽误了2分钟，王芳一共耽误了(分钟)(李华在这段时间比王芳多5，2，2,12 走:(米)，速度差为:(米/秒)，王芳追上李华的时间70，12,840110,70,40 是:(分钟) 840,40,21 【巩固1】小王、小李共同整理报纸，小王每分钟整理72份，小李每分钟整理60份，小王迟到了1分钟，当小王、小李整理同样多份的报纸时，正好完成了这批任务(一共有多少份报纸, 解析:本题可用追及问题思路解题，类比如下:路程差:小王迟到1分钟这段时间，小李整理报纸的份数(60份)，速度差:(份/分钟)(此时可求两人72,60,12 整理同样多份报纸时，小王所用时间，即追及时间是(分钟)(共整理60,12,5 报纸:(份) 5，72，2,720 【巩固2】甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A地;到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B地，求A、B两地的路程( 解析:根据题意画出线段图: 从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程,追及路程为:(千米);34，2,68 68,(38,34),17追及时间为:(小时).A、B两地的路程为:(千米). 38，17,646 例5:甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米(途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B地(A、B两地间的路程是多少, 解析:由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时(可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B地，所以，也可以用追及问题的数量关系来解答(即:行这段路程甲车比乙车少用的时间是:(小时)，乙车2小时行的路程是:3,1,2 (千米)，甲车每小时比乙车多行的路程是:(千米)，甲车所40，2,8050,40,10需的时间是:(小时)，A、B两地间的路程是:(千米)( 80,10,850，8,400 【巩固1】甲、乙两车分别从A、B两地出发，同向而行，乙车在前，甲车在 - 54 - 指南针小升初 后(已知甲车比乙车提前出发1小时，甲车的速度是96千米/小时，乙车每小时行80千米(甲车出发5小时后追上乙车，求A、B两地间的距离( 解析:由已知可求出甲、乙两车的追及时间，利用追及问题的公式求解(追及时间为:(小时), 5,1,4 (96,80)，4,64追及路程为:(千米),A、B两地间的距离为:(千米) 96，64,160 【巩固2】一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米, 解析:先求出汽车每小时比摩托车多行驶的路程(速度差)，再求出两地相距的路 (65,28)，4,148程，即: (千米). 例6:小明的家住学校的南边，小芳的家在学校的北边，两家之间的路程是1410米，每天上学时，如果小明比小芳提前3分钟出发，两人可以同时到校(已知小明的速度是70米/分钟，小芳的速度是80米/分钟，求小明家距离学校有多远, 解析:小明比小芳提前3分钟出发，则多走(米)(两家之间的所剩路程70，3,210 是(米)，两人的速度和是(米)，所剩路程需:1410,210,120070，80,150 1200,(70，80),870，(8，3),770(分)走完(小明家距离学校(米)( 【巩固】学校和部队驻地相距16千米，小宇和小宙由学校骑车去部队驻地，小宇每小时行12千米，小宙每小时行15千米(当小宇走了3千米后，小宙才出发(当小宙追上小宇时，距部队驻地还有多少千米, 3,(15,12),1解析:追及时间:(小时)， 此时距部队驻地还有:(千米)( 16,15,1 例7:甲、乙两列火车同时从A地开往B地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，比甲车提前2小时到达(求A、B两地间的距离( 解析:这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程( 方法一:如图: 甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此，乙车到达时用了: - 55 - 指南针小升初 (小时)，此时路程差为:(千米)，此时路程差就是甲车2小时8,2,620，6,120 的路程，所以甲车速度为:(千米/小时)，A、B两地间的距离:120,2,60 (千米) 60，8,480 方法二:如图: 假设两车都行了8小时，则甲车刚好到达，乙车则超出了:(千米)，这段20，8,160路程正好是乙车2小时走的，因此乙车速度:(千米/小时)，乙车到达时160,2,80 用了:(小时)，A、B两地间的距离:(千米) 8,2,680，6,480 例8:龟、兔进行1000米的赛跑(小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想:“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手(”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了(当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑(请同学们解答两个问题:它们谁胜利了,为什么, 解析:?乌龟胜利了(因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要 (分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要(分40,10,4500,100,5钟)才能到达，所以乌龟胜利了( ?乌龟跑到终点还要(分钟)，而小兔跑到终点还要(分40,10,41000,2,100,5 钟(当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有:(米)( 100，1,100钟)，慢1分 【巩固】上一次龟兔赛跑兔子输得很不服气，于是向乌龟再次下战书，比赛之前，为了表示它的大度，它让乌龟先跑10分钟，但是兔子不知道乌龟经过锻炼，速度已经提高到5倍，那么这一次谁将获得胜利呢, 解析:由乌龟速度提高到5倍，可知乌龟现在的速度为(米/分)，乌龟先10，5,50 始跑时，乌龟已经跑了(米)，还剩50，10,500跑10分钟，即兔子开 (米)，需要(分钟)就可以到达终点，而兔子到达终1000,500,500500,50,10 点需要的时间是:(分钟)，所以，兔子和乌龟同时到达终点( 1000,100,10 例9:军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌” - 56 - 指南针小升初 舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰, 解析:“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米。.又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，即“我”舰只要追上“敌”舰9400，即可开炮射击.所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，根据公式求得追及时间: (1000，10,600),(1470,1000),20(分钟)，经过20分钟可开炮射击“敌”舰. 【巩固】(第二届“走进美妙数学花园”)在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶(后面的汽 (车速不变)(在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车刹车突然失控，向前冲去 车(在这辆车鸣笛时两车相距多少米, 解析:这是一道“追及问题”(根据追及问题的公式，追及时间 5,(60，60)差(由题意知，追及时间为5秒钟，也就是小时，两车相距距离为路程 (千米/时)，也就是18000米/时，所以路程差为:108,90,18差，速度差为 (米)，所以，在这辆车鸣笛时两车相距25米( 18000，5,3600,25 例10:小红和小蓝练习跑步，若小红让小蓝先跑20米，则小红跑5秒钟就可追上小蓝;若小红让小蓝先跑4秒钟，则小红跑6秒钟就能追上小蓝(小红、小蓝二人的速度各是多少, 解析:小红让小蓝先跑20米，则20米就是小红、小蓝二人的路程差，小红跑5秒钟追上小蓝，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为(米);若小红让20,5,4 可追上小蓝，在这个过程中，追及时间为6秒，根据上一小蓝先跑4秒，则小红6秒 个条件，由追及差和追及时间可求出在这个过程中的路程差，这个路程差即是小蓝4秒钟所行的路程，路程差就等于(米)，就是小蓝在4秒内跑了24米，所以4，6,24 可求出小蓝的速度，也可求出小红的速度( 综合列式计算如下:小蓝的速度为:(米/秒)， 20,5，6,4,6 (米/秒) 6，4,10小红的速度为: 【巩固】甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙;若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙(问:甲、乙二人的速度各是多少, 解析:若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，据此可求出他们的速度差为(米/秒);若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上10,5,2 为4秒，因此路程差就等于(米)，即乙在22，4,8乙，在这个过程中，追及时间 秒内跑了8米，所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度(综合列式计算如下: - 57 - 指南针小升初 乙的速度为:(米)甲的速度为:(米/秒) 10,5，4,2,410,5，4,6 例11:甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲 26 分钟赶上乙;如果两人相向而行，6 分钟可相遇，又已知乙每分钟行 50 米，求 A、B 两地的距离. 解析:先画图如下: 若设甲、乙二人相遇地点为C，甲追及乙的地点为D，则由题意可知甲从A到C用6分钟.而从A到D则用26分钟，因此，甲走C到D之间的路程，用时间应为:分. 26,6,20同时，由上图可知，C、D间的路程等于BC加BD.即等于乙在6分钟内所走的路程与在 50，(26，6),160026分钟内所走的路程之和，为(米). 所以，甲的速度为(米/分)， 1600,20,80 50，(26，6),(26,6),80由此可求出A、B间的距离:(米/分)， (80，50)，6,780(米) 例12:甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是 2400 米(甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫 300 米处遇到乙，此时他们离开学校已经 30 分钟(问:甲、乙每分钟各走多少米, 解析:根据题意，画线段图如下: 方法一:30分钟内，二人的路程和(米)，因此速度和为:2400，2,4800 (米/分);又知道30分钟甲的路程为:(米)，所4800,30,1602400，300,2700 (米/分)，则乙速度为:(米/分)( 2700,30,90160,90,70以甲速度为: 方法二:30分钟内，甲的路程为(米)，乙走的路程为:2400，300,2700 (米)，因此甲的速度为:(米/分)， 2400,300,21002700,30,90 (2400,300),30,70(米/分) 乙的速度为: - 58 - 指南针小升初 课后练习 1、甲地和乙地相距40千米，平平和兵兵由甲地骑车去乙地，平平每小时行14千米，兵兵每小时行17千米，当平平走了6千米后，兵兵才出发，当兵兵追上平平时，距乙地还有多少千米, 解析:平平走了6千米后，兵兵才出发，这6千米就是平平和兵兵相距的路程(由于兵兵每小时比平平多走(千米)，要求兵兵几小时可以追上6千米，也17,14,3 就是求6千米里包含着几个3千米，用(小时)(因为甲地和乙地相距40千6,3,2 米，兵兵每小时行17千米，2小时走了(千米)，所以兵兵追上平平时，距17，2,34 乙地还有(千米) 40,34,6 2、 一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行 40 千米，开出 5 小时后，一辆快车以每小时 90 千米的速度也从甲地开往乙地(在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米, 解析:慢车先行的路程是:(千米)，快车每小时追上慢车的千米数40，5,200 (千米)，追及的时间是:(小时)， 90,40,50200,50,4是: 快车行至中点所行的路程是:(千米)， 90，4,360 甲乙两地间的路程是:(千米)( 360，2,720 3、四年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走72米，15分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发9分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们, 解析:同学们15分钟走(米)，即路程差(然后根据 72，15,1080 速度差,路程差?追及时间，可以求出李老师和同学们的速度差，又知道同学们的速度是每分钟72米，就可以得出李老师的速度(即(米)( 1080,9，72,192 4、小李骑自行车每小时行13千米，小王骑自行车每小时行15千米(小李出发后2小时，小王在小李的出发地点前面6千米处出发，小李几小时可以追上小王, 解析:小李2小时走:(千米)，又知小王在小李的出发地点前面6千米13，2,26 处出发，则知道两人的路程差是(千米)(每小时小王追上小李26,6,20 (千米)，则20千米里面有几个2千米，则追及时间就是几小时，即:15,13,2 (小时)( 20,2,10 5、自行车队出发 12 分钟后,通信员骑摩托车去追他们,在距出发点 9 千米处追上了自行车队,然后通信员立即返回出发点;随后又返回去追自行车队,再追上时恰好离出发点 18 千米,求自行车队和摩托车的速度〃 解析:在第一次追上自行车队与第二次追上自行车队之间,摩托车所走的路程为(18 ， 9 )千米,而自行车所走的路程为(18 , 9 )千米,所以,摩托车的速度是自行 - 59 - 指南针小升初 车速度的 3 倍( , (18 ， 9) , (18 , 9) );摩托车与自行车的速度差是自行车速度的 2 倍,再根据第一次摩托车开始追自行车队时,车队已出发了 12 分钟,也即第一次追及的路程差等于自行车在 12 分钟内所走的路程,所以追及时间等于12 , 2 , 6 分钟);联系摩托车在距出发点 9 千米的地方追上自行车队可知:摩托车在 6 ( 分钟内走了 9 千米的路程,于是摩托车和自行车的速度都可求出了〃列式为::18 ， 9:,:18 , 9:, 3 倍,12 ,:3 , 1:, 6 (分钟),摩托车的速度为:9 , 6 , 1.5 (千米/分钟),自行车的速度为:1.5 , 3 , 0.5 (千米/分钟) 6、在周长400米的圆的一条直径的两端，甲、乙两人分别以每分钟60米和50米的速度，同时同向出发，沿圆周行驶，问2小时内，甲追上乙多少次, 解析:此题属于追及问题，首先明确路程差和速度差，开始甲、乙在圆径的两端，其路程差为圆周长的一半，400?2=200(米)，当甲追上乙后，如果再想追上乙必须比乙多行圆的一周的路程，即一周400米为路程差，根据不同的路程差，我们可以求出甲追上乙一次，所用的时间，在总时间中去掉第一次的追及时间再看剩下的时间里包含几个“甲追上乙所用的时间”就可以求出2小时内甲追上乙的次数。 解:2小时=120分甲第一次追上乙所用的时间: 400?2?(60-50)=20(分) 甲第二次开始每追乙一次所用的时间: 400?(60-50)=40(分) 甲从第二次开始追上乙多少次: (120-20)?40=2次„„20秒 甲共追上乙多少次:2+1=3(次) 答:甲共追上乙3次。 7、在480米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分钟20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度, 解析:同向行驶，甲乙相遇，说明甲必须比乙多跑一圈，即400米才能与乙相遇，400米正好是两人的路程差，除以甲追赶乙所用的3分20秒，可知甲、乙的速度差。背向行驶，甲、乙相遇，说明甲、乙必须合走一圈即400米，400米正好上两人的路程总和除以40秒相遇时间，可知甲、乙的速度和。这样已知甲、乙的速度和及速度差，可将此题转化或和差关系的应用题，这样可求出甲、乙的速度分别是多少, 解:3分20秒=200秒 甲、乙的速度和:400?40=10(米) 甲、乙的速度差:400?200=2(米) 甲的速度为每秒多少米,(10+2)?2=6(米) - 60 - 指南针小升初 乙的速度为每秒多少米,(10-2)?2=4(米) 答:甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。 第十讲 火车过桥问题 知识导航 火车过桥问题是奥数行程问题的一种，也有路程、速度与时间之间的数量关系，同时还涉及车长、桥长等问题。 基本数量关系是:火车速度×时间=车长+桥长; 依据这个基本的数量关系可以推导出几个相关的计算公式，在练习中我们应该举一反三，灵活的应用这个公式的变化。 一般的火车过桥所求的分为:求过桥时间;求桥长;求火车长;求火车的速度。下面我们分别研究这些问题。 例1:一列火车长150米，每秒钟行19米。全车通过长800米的隧道， 需要多少时间, 解析:列车过桥，就是从车头进隧道到车尾离隧道止。 车尾经过的距离=车长+隧道，车尾行驶这段路程所用的时间用车长与 隧道和除以车速。 解:(800+150)?19=50(秒) 答:全车通过长800米的隧道，需要50秒。 【巩固1】一列火车长200米，它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道， 从车头进入隧道到车尾离开隧道共需要多少秒, 解析:火车长+桥长=路程;时间=路程?速度; 解:(200+200)?10=40(秒) - 61 - 指南针小升初 【巩固2】一列火车经过南京长江大桥，大桥长米，这列火车长米， 6700100火车每分钟行米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟, 400 解析:很 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 的火车过桥问题，比较简单。求过桥时间: (桥长+火车长)?速度=过桥时间 (6700+100)?400=17(分钟) 答:这列火车经过大桥要17分钟。 例2:一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离 洞，一共用了40秒。这条隧道长多少米, 解析:重点推导公式:隧道长=路程-火车长; 先求出车长与隧道长的和，然后求出隧道长。火车从车头进洞到车尾离洞， 共走车长+隧道长。这段路程是以每秒8米的速度行了40秒。 解:(1)火车40秒所行路程:8×40=320(米) (2)隧道长度:320-200=120(米) 答:这条隧道长120米。 【巩固1】一列长米的火车以每秒米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离 24030 桥用了分钟，求这座桥长多少米, 1 解析:1分=60秒;依据例题中的推导公式，可知: 30，60,1800(1)路程:(米) 1800,240,1560(2)桥长:(米) 答:略。 【巩固2】一列火车长米，全车通过一座桥需要秒钟，这列火车每秒行1603020 米，求这座桥的长度( 解析:先求出火车行驶的路程;再计算桥的长度。 30，20,600(1)火车长+桥长=(米) 600,160,440(2)桥长=(米) 例3:一列火车长119米，它以每秒15米的速度行驶，小华以每秒2米的速度从 对面走来，经过几秒钟后火车从小华身边通过, 解析:本题是求火车车头与小华相遇时到车尾与小华相遇时经过的时间。 依题意，必须要知道火车车头与小华相遇时，车尾与小华的距离、火车与小 - 62 - 指南针小升初 华的速度和。 解:(1)火车与小华的速度和:15+2=17(米/秒) (2)相距距离就是一个火车车长:119米 (3)经过时间:119?17=7(秒) 答:经过7秒钟后火车从小华身边通过。 【巩固1】一人以每分钟60米的速度沿铁路步行，一列长144米的客车对面开来， 从他身边通过用了8秒钟，列车的速度是每秒多少米, 解析:与例题是正好相反的已知条件。依据:速度和×相遇时间=相距路程; 可先求出速度之和; 解:60米/分=1米/秒; (1)速度之和=(米) 144,8,18 (2)列车的速度=(米) 18,1,17 答:略。 【巩固2】一支队伍1200米长，以每分钟80米的速度行进。队伍前面的联络员用6 分钟的时间跑到队伍末尾传达命令。问联络员每分钟行多少米, 解析:队伍的长是路程，理解为相遇问题来解答;依据:相遇时间=路程?速度和; 可以先求出速度之和; 1200,6,200解:速度之和:(米) 200,80,120联络员的速度:(米) 答:略。 例4:一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的速度穿过380米的山洞需30 秒钟。求这列火车的速度是每秒多少米,车长多少米, 解析:火车40秒行驶的路程=桥长+车长;火车30秒行驶的路程=山洞长+车长。 比较上面两种情况，由于车长与车速都不变，所以可以得出火车40-30=10秒 能行驶530-380=150米，由此可以求出火车的速度，车长也好求了。 解:(1)火车速度:(530-380)?(40-30)=15(米/秒) (2)火车长度:15×40-530=70(米) 答:这列火车的速度是每秒15米，车长70米。 【巩固】一列火车通过440米的桥需要40秒，以同样的速度穿过310米的隧道需要 30秒.这列火车的速度和车身长各是多少, 解析:两种情况相对比，可以求出火车的速度; ，，，，440,310,40,30,13(1)火车的速度:(米) 13，40,440,80(2)火车的长度:(米) 答:略。 例5:某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15 秒钟，客车长105米，每小时速度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米, - 63 - 指南针小升初 解析:一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，实际上就是指车尾用 15秒钟追上了原来与某人105米的差距(即车长)，因为车长是105米，追及 时间为15秒，由此可以求出车与人速度差，进而求再求人的速度。 105,15,7解:(1)车与人的速度差:(米/秒)=25.2(千米/小时) (2)步行人的速度:(千米/小时) 28.8,25.2,3.6 答:步行人每小时行3.6千米。 【巩固】一人以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长144米的客车从他身后开 来，从他身边通过用了8秒钟，求列车的速度。 解析:追击时间:8秒;追击路程:144米; 依据:相距路程?追击时间=速度差; 144,8,18(1)车与人的速度差:(米) 18，60,78(2)列车速度:(米) 答:略。 例6:两人沿着铁路线边的小道，从两地出发，两人都以每秒1米的速度相对而 行。一列火车开来，全列车从甲身边开过用了10秒。3分后，乙遇到火车， 全列火车从乙身边开过只用了9秒。火车离开乙多少时间后两人相遇, 解析:根据题意图示如下: A1、B1 分别表示车追上甲时两人所在地点， A2、B2 分别为车从甲身边过时两 人所在地点， A3、B3 分别为车与乙相遇时两人所在地点，A4、B4分别为车从 乙身边开过时两人所在地点。要求车从乙身边开过后甲乙相遇时间用A4到B4 之间的路程除以两人速度和。 解:(1)求车速:(车速-1)×10=10×车速-10=车长 (车速+1)×9=9×车速+9=车长 比较上面两式可知车速是每秒19米。 (2)A3到B3的路程，即车遇到乙时车与甲的路程差， 也是甲与乙的相距距离。 (19-1)×(10+190)=3420(米) (3)A4到B4的路程，即车从乙身边过时甲乙之间的路程。 3420-(1+1)×9=3402(米) (4)车离开乙后，甲乙两人相遇的时间为 3402?(1+1)=1701(秒) 答:火车离开乙1701秒后两人相遇。 - 64 - 指南针小升初 课后练习 1、一列火车长200米,它以每秒10米的速度穿过200米长的隧道,从车头进入隧道 到车尾离开隧道共需要_______时间. 解析:求的是过桥时间;(桥长+火车长)?速度 (200，200),10,40(秒) 、某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是15秒, 2 客车长105米,每小时速度为28.8千米,求步行人每小时走______千米? 车15秒钟行的距离 人15秒钟走的距离 解析:同向而行，看作追及问题;路程?追及时间=速度差 105,15,7 (1)速度差: (米/秒)= 25.2(千米/小时) 28.8,25.2,3.6 (2)步行速度:(千米) 3、一人以每分钟60米的速度沿铁路步行,一列长144米的客车对面开来,从他身边 通过用了8秒钟,列车的速度是______米/秒. 车8秒钟行的距离 人8秒钟走的距离 解析:相向而行，速度和×相遇时间=路程;速度和=路程?相遇时间; 此处的相遇是指:车尾与人相遇; 60米/分=1米/秒 (1)速度和:(米) 144,8,18 (2)列车速度:(米) 18,1,17 4、一列火车车长180米，每秒行20米，这列火车通过320米长的大桥，需要多时 间, 解析:火车通过大桥，运行的总路程为火车的车长与桥长的和。根据路程?速度=时间，可以求出火车运行的时间。 解:(180+320)?20 =500?20 - 65 - 指南针小升初 =25(秒) 5、小明站在铁路边，一列火车从他身边开过用了2分。已知这列火车长900米， 以同样的速度通过一座大桥，用了5分。这座大桥长多少米, 解析:因为小明站在铁路边不动，所以，这列火车从他身边开过所行的路程就是车长。这样就很容易求出火车的速度。用火车的速度乘以通过大桥所用的5分，就可以求出火车的长度与桥的长度之和。再减去车长，就得到了桥长。 解900?2×5-900 =450×5-900 =2250-900 =1350(米) 6、一列火车通过一座长456米的桥需要80秒，用同样的速度通过一条长399米的 隧道要77秒。求这列火车的速度和长度。 解析:这列火车80秒所行的路程是456米与车长的和，这列火车77秒所行的路程是399米与车长的和。通过比较，可以发现，这列火车80-77=3(秒)所行的路程是456-399=57(米)。这样，就能求出火车的速度。 解:(456-399)?(80-77)=19(米) 19×80-456=1064(米) 7、少先队员346人排成两路纵队去参观科技成果展览。队伍行进的速度是每分23 米，前后两人都相距1米。现在队伍要通过一座长702米的桥，整个队伍从上桥 到离桥共需几分, 解析:把整个队伍的长度看作“车长”，先求出“车长”。因为每路纵队有 346?2=173(人)，前后两人相距1米，所以，整个队伍的长度是 1×(173-1)=172(米)。“车长”求出后，就可以求出过桥的时间了。 解:1×(346?2-1)=172(米) (702+172)?23=38(分) 8、小芳站在铁路边，一列火车从她身边开过用了2分钟。已知这列火车 长360米，以同样的速度通过一座大桥，用了6分钟，这座大桥长 多少米, 解析:小芳站立不动，可知路程是火车车长，时间是2分钟， 可求出火车的速度;然后再求出(火车+桥的长) 解:(1)火车速度:米 360,2,180 (2)火车+桥长:米 180，6,1080 - 66 - 指南针小升初 (3)桥长:米 1080,360,720 答:略。 2010四年级奥数竞赛班教学 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 一、指导思想: 激发学生学习数学的兴趣和积极性,提高他们的学习质量,拓宽他们的思维,培养正确的数学学习方法。培养学生的思维能力、创新能力、实践能力。 二、活动目标: 通过一些专题讲解、专题练习,帮助学生发现一些数学规律,学习一些数学的思想方法和解决策略,提高学生 - 67 - 指南针小升初 运用数学规律和数学思想方法,解决问题的能力。从而培养学生的思维能力、创新能力、实践能力。 三、学习内容: - 68 - 指南针小升初 时间 课题 主 要内容 1、和倍问题、差倍 问题的涵义。 倍数问3-4 2、利用倍数解题的周 题 方法,和倍问题及 差倍的解题方法。 1、乘除法的运算性 速算与 质。 5-6 巧算 周 2、乘除法速算与巧 :一: 算的一般方法。 1、乘除法的运算性 速算与 质。 7-8 巧算 周 2、乘除法速算与巧 :二: 算的一般方法。 1、等差数列及求和 等差数 公式。 9周 列及应 2、等差数列求和公 - 69 - 用 式的应用。 10- 期中测 指南针小升初 四、具体措施: 1、针对学生原有基础,在实施教学中通过讲解、练习,有时也让学生尝试,获得成功时的喜悦,增强学奥数的兴趣。 2、依据《小学生数学报》让学生阅读大量有趣的数学故事、数学情 - 70 - 指南针小升初 境,进行数学的熏陶。通过挑战赛题的学习与掌握,培养学生的思维能力、创新能力、实践能力。 1.果园里一共种340棵桃树和杏树,其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵,两种树各种了多少棵, 2.一个长方形,周长是 - 71 - 指南针小升初 30厘米,长是宽的2倍,求这个长方形的面积。 3.甲、乙两个数,如果甲数加上220就等于乙 - 72 - 指南针小升初 数了.如果乙数加上440就等于甲数的4倍,两个数各是多少, 甲数 乙数 4.有两块同样长的布,第一块卖出25米,第二块卖出14米,剩下的布 - 73 - 指南针小升初 第二块是第一块的2倍,求每块布原有多少米, 5.果园里有桃树和梨树共150棵,桃树比梨树多20棵,两种果树各有多少棵, - 74 - 指南针小升初 6.甲、乙两桶油共重30千克,如果把甲桶中6千克油倒入乙桶,那么两桶油重量相等,问甲、乙两桶原有多少油,30?2=15kg 15-6=9kg - 75 - 指南针小升初 15+6=21kg 二、、按规律填数。 1: 64,48,40,36, 34,(33 ) 16 8 4 2 1 58,57,54,45,18 1 3 9 27 - 76 - 指南针小升初 5,9,25,89, 345 4 16 64 256 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048,4096,9192, 9007 1992 5474 0992 2: 8,15,10, 13,12,11,( ) : : - 77 - 指南针小升初 3) 1、4、5、8、9、 : :、13、 : :、: : 4) 2、4、5、10、11、 : :、 : : 11,33,34,102,103,309,3 - 78 - 指南针小升初 10 55,54,27,26,13,12 5) 5,9,13,17,21,( ),( ) 6:3、9、5、15、11、 33、: :: : 2,6,5,15,14,42 7:4、6、10、18、 - 79 - 指南针小升初 :: 2 4 8 16 3,8,18,33,53 5 10 15 20 8)55、20、51、24、 47、28、:43 :、 :32 : 9:3、6、18、36、 108、:216 : - 80 - 指南针小升初 三、等差数列 1.在等差数列3,12,21,30,39,48,…中912是第几个数, 2.求1至100内所有不能被5或9整除的整数 - 81 - 指南针小升初 和 3.把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少, - 82 - 指南针小升初 4.把从1开始的所有奇数进行分组,其中每组的第一个数都等于此组中所有数的个数,如:1:,:3、5、7:,:9、11、13、15、17、19、21、23、25:,:27、 - 83 - 指南针小升初 29、……79:, :81、……:,求第5组中所有数的和 4、 帄均数问题 1.已知9个数的帄均数是72,去掉一个数后,余下的数帄均数为78,去掉的数是 - 84 - 指南针小升初 ______ .朱思澄 2.某班有40名学生,期中数学考试,有两名同学因故缺考,这时班级帄均 - 85 - 指南针小升初 分为89分,缺考的同学补考各得99分,这个班级期中考试帄均分是______89.5 朱君豪 帄均分=总分除以人数 3.今年前5个月,小明每月帄均存钱42元,从6月起他每月储蓄60元, - 86 - 指南针小升初 那么从哪个月起小明的帄均储蓄超过50元?朱君豪 4.A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余剩下的三个数求帄均数,这样计算了4次,得到下 - 87 - 指南针小升初 面4个数. 23, 26, 30, 33 A、B、C、D 4个数的 帄均数是多少,朱君豪 5 A、B、C、D4个数, - 88 - 指南针小升初 每次去掉一个数,将其余3个数求帄均数,这样计算了4次得到下面4个数23、26、30、33,A、B、C、D4个数的和是 。 四、加减乘除的简便运 - 89 - 指南针小升初 算 1:100-98+96-94+92- 90+……+8-6+4-2=: :朱君豪 2 1976+1977+……2000 -1975-1976-……-1999=: 25: 朱君豪 - 90 - 指南针小升初 3:26×99 =: : 朱君豪and於孙斌 4: 67×12+67×35+67×52+ 67=: : 於孙斌 5):14+28+39:× :28+39+15:- - 91 - 指南针小升初 :14+28+39+15:× :28+39: :14+67:×:67+15:- :14+67+15:×67= 朱君豪 五、数阵图 1、?、?、〇分别代表三个不同的数,并且; ?+?+?=〇+〇;〇+ - 92 - 指南针小升初 〇+〇+〇=?+?+?; ?+〇+〇+?=60 求:?= ?〇=? ?=? 2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中,使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60. - 93 - 指南针小升初 3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中,使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等. - 94 - 指南针小升初 4 用1至9这9个数编制一个三阶幻方,写出所有可能的结果。所谓幻方是指在正方形的方格表的每个方格内填入不同的数,使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等;而阶数 - 95 - 指南针小升初 是指每行、每列所包含的方格的数。 七、年龄问题 年龄 妈妈今年的年龄比儿子的年龄大27岁,2年前妈妈的年龄是儿子 - 96 - 指南针小升初 的年龄的4倍。儿子今年的年龄是多少岁,妈妈的年龄是多少岁, 解答: 儿子今年的年龄是11岁,妈妈的年龄是38岁. 因为妈妈与儿子的年龄差是不变的,2年 - 97 - 指南针小升初 前妈妈的年龄是儿子的4倍,则年龄差:27:是儿子年龄的4-1=3倍,这年儿子的年龄是27?:4-1:=9:岁:。 儿子现在的年龄是27?:4-1:=9:岁:. 妈妈现在的年龄是9+27=38:岁: - 98 - 指南针小升初 在解年龄问题中我们紧记年龄问题的三个基本特征: ?两个人的年龄差是不变的; ?两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ?两个人的年龄的倍数 - 99 - 指南针小升初 是发生变化的; 年龄 1年前,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍;4年后,父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍。如果爸爸比妈妈大2岁,妈妈今年多少岁, - 100 - 指南针小升初 解答: 可设1年前兄弟二人年龄和为x, 1年前到4年后经过了5年,每人年龄都增长5岁。于是: 4:x+10:=7x+10,解得x=10.则今年父母年龄和为72。妈妈年龄为::72-2:?2=35。 - 101 - 指南针小升初 也可以用年龄差不变列方程:6x=3(x+10) 主要 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 :年龄问题的方程解法,年龄差是固定不变的,和差问题的解法。 1.兄弟俩今年的年龄和是30岁,当哥哥像弟弟现在这样大时,弟弟 - 102 - 指南针小升初 的年龄恰好是哥哥年龄的一半,哥哥今年几岁, 2.母女的年龄和是64岁,女儿年龄的3倍比母亲大8岁,求母女二人的年龄各是多少岁, - 103 - 指南针小升初 3.哥哥今年比小丽大12岁,8年前哥哥的年龄是小丽的4倍,今年二人各几岁, 4.爷爷今年72岁,孙子今年12岁,几年后爷爷的年龄是孙子的5倍, - 104 - 指南针小升初 几年前爷爷的年龄是孙子的13倍, 八、假设问题 1、有42个同学参加植树,男生帄均每人种3棵,女生帄均每人种2棵,男生比女生多种56棵.男、女生各多少人, - 105 - 指南针小升初 2.某小学举行一次数学竞赛,共15道题,每做对一题得8分,每做错一题倒扣4分,小明共得了72分,他做对了多少道题? 3.一张试卷有25道题, - 106 - 指南针小升初 答对一题得4分,答错或不答均倒扣1分,某同学共得60分,他答对了多少道题? 4.小华解答数学判断题,答对一题给4分,答错一题要倒扣4分,她答了20 - 107 - 指南针小升初 个判断题,结果只得了56分,她答错了多少道题? 5. 育才小学五年级举行数学竞赛,共10道题,每做对一道题得8分,错一题倒扣5分,张小灵最终得分为41分,她做对了 - 108 - 指南针小升初 多少道题? 1.找规律填数 1、2、4、7、11、 16、22、: : - 109 - 指南针小升初 2.被减数、减数、差相加的和是 100,被减数是: :。 被除数加上除数乘商的积等于100.被除数是50 3.连续5个自然数的和是50,从小到大排列,第三个数是: :。 4.两个数相除,商是5, - 110 - 指南针小升初 余数是20,被除数最小是: :。 5.小强今年11岁,小军今年17岁,当两人的年龄和是38岁时,小强: :岁。 6.小华上体育课,站队 - 111 - 指南针小升初 时,从前向后数他是第10个,从后向前数他是第15个,问这队共有: :人。 7.小于10000而 又与10000最接近的自 然数是: :。 8.一个六位数,它的十万位、千位和百位上都 - 112 - 指南针小升初 是5,其余各位都是0,这个数是: :。 9.一个八位数,最高位是7,任意相邻的数位上的数字相差3,最低位上是: :。 10.一个因数缩小3倍,另一个因数也缩小3 - 113 - 指南针小升初 倍,积是120,原来的积是: :。 11.从2100里减去50,再加上20,这称作一次操作,经过: :次操作,所得的结果是0。 12.?600?450,要使商是一位数,且没有余数, - 114 - 指南针小升初 方框里应是: :。 13.一次智力测验有10道判断题,每答对一题得3分,答错一题扣2分,小红答完10题,只得20分,她答错: :题。 - 115 - 指南针小升初 14.有8颗珠子,其中7颗一样重,一颗较轻,用一架天帄称,最少称: :次能找到那颗轻的。 15.把一根木头锯断要2分钟,把这根木头锯成4段要: :分钟。 16.在一条长100米公路 - 116 - 指南针小升初 的两侧栽树,每隔10米栽一棵,一共栽: :棵 17.跳绳比赛 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 每人跳5分钟,王帄共跳337下,张华帄均每分钟比王帄多跳12下,张华一共跳: :下。 - 117 - 指南针小升初 18.甲船从A港出发,每小时行16千米,3小时后,乙船也从A港出发,行了12小时追上甲船,求乙船每小时行: :千米。 19.小华买1支钢笔和2支圆珠笔共用5元钱,小红买同样的钢笔2 - 118 - 指南针小升初 支,圆珠笔1支共用7元钱,每支钢笔: :元。 20.小军家距外婆家600米,一天他带一条狗,从家去外婆家,一出发狗就跑向外婆家,到外婆家后又立即回,回来遇到小军时,它又跑向 - 119 - 指南针小升初 外婆家,狗就这样来回不停的跑,已知小军每分钟走50米,狗每分钟跑200米,问小军到外婆家时,狗共跑了: :米路。 时代超市的某种苹果每箱进价32元,售出时每箱41元,上周卖 - 120 - 指南针小升初 出这种苹果280箱,扣除各种费用500元后,还能赚多少钱, 41-32=9元 280x9=2520元 2520-500=2020元 - 121 - 指南针小升初 城西小学组织老师和学生去公园游玩,一共去了21名老师和98名学生,怎样买票最便宜,需要多少元,:成人票每张30元,学生票每张15元,30人以上团体票每张18元:98-10=88人 - 122 - 指南针小升初 88x15=1320元 31x18=558元 1320+558=1878元 3【题例】某商店里花布 - 123 - 指南针小升初 是白布的2倍,如果每天卖30米白布和40米花布。几天后,白布全部卖完,而花布还剩120米,原来库存花布多少米, 4[例 题] 甲乙两人同 - 124 - 指南针小升初 时从相距100千米的两地出发,相向而行,甲每小时行6千米,乙每小时行4千米,狗每小时跑20千米。甲带着一只狗同甲一起出发,狗碰到乙后,立即返回朝甲这边跑,碰到甲再往乙那边走……直到两人 - 125 - 指南针小升初 相遇,这只狗一共走了多少千米, 一辆汽车的油箱容积是50升,每百千米耗油8升,从甲地前往300千米外的乙地。途中没有加油站,这辆汽车装满油后能返回吗, - 126 - 指南针小升初 300x2=600km 6x8=48升 48小于50 所以能够返回 6【题例】三人野炊,甲买饼干1千克,乙买饼 - 127 - 指南针小升初 干2千克,丙没有买食物,为了使三个人帄均负担这次的费用,丙拿出6元钱。这钱应当怎样分配给甲和乙两个人, 2+1=3kg 3除以3=1kg 7【题例】一个正方形运 - 128 - 指南针小升初 动场,中间留了宽2米的人行路,把运动场帄均分成了4块:如 图:,已知路的面积一共是196帄方米,你知道这个运动场的周长是多少米吗, - 129 - 指南针小升初 8【题例】小明看一本故事书,看了6天后还有144页没有看,照这样的速度,再看8天正好全部看完。这本故事书一共多少页, - 130 - 指南针小升初 9【题例】 超市开展矿泉水“买5送1”的活动。一个旅游团有48人,想每人发一瓶矿泉水,需要购买多少瓶矿泉水就够了, 10【题例】用30米长的竹篱笆依着一面墙围成 - 131 - 指南针小升初 如右图的一个宽8米的菜地，那么这块菜地的面积是多少平方米, - 132 -