高考数学 导数、数列压轴题的破解策略 数列创新试题

高考数学 导数、数列压轴题的破解策略 数列创新试题 12*例1. (2015高考浙江，理)已知数列a满足=且=-() aaaaNn,,,n1n，1nn2 a*n(1)证明:1(); N,,2n,a，1n S11*2n(2)设数列的前项和为，证明(). nSNn,,,a,,nn2(2)2(1)nnn，， 1【解析】(1)首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知 a,n2 aaaa111nnnn，从而得证;(2)由和得， ,,,[1,2],=12,,2,,aaaa1aaaa，，，11，1nnnn1nnnn 1111*，从而可得，即可得证. ,,,12,,,anN()1n，aa2(1)2nn，，nn，1 12试题解析:(1)由题意得，，即，，由 aa,aaa,,(1)aaa,,,,0a,nn，1nnn,,11nnn，1n2 1得，由得， aaaaa,,,,,,,,(1)(1)(1)00,,annn,,1211n2 aaa1nnn，即; ,,,12,,[1,2]2,,aaaa1a，1，1nnnnn 2(2)由题意得， aaa,,，nnn1 aa1111nn?Saa,,?，由和得，， ,12,,,,,=12nn11，aaaaaa，，11，1nn，1nnnn 1111*?nn,,,，因此?，由??得 2,,,anN()1n，aa2(1)2nn，，n，11 S11n. ,,2(2)2(1)nnn，， 01,例2:将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表(从上往下数，第1 次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，„，第次全行的数都为1的是第 n行;第61行中1的个数是 ( 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 „„ „„„„„„„„„„„„„„„ 121,【解析】第1次全行的数都为1的是第行， 221,第2次全行的数都为1的是第行， 321,第3次全行的数都为1的是第行， „„， n21,n第次全行的数都为1的是第行(可用数学归纳法或递推关系证明); 62163,,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,,1,1,0,0,1,1？第行数都为1，从而逆推出第61行为，共有32个1( *22n，例3:(2015高考安徽，理)设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横xnN,yx,，1(12)，n 坐标. (?)求数列的通项公式; {}xn 1222 (?)记，证明. Txxx,？T,,nn1321n4n 22n，【解析】(?)对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线在点处的切线斜率为yx,，1(12)， .从而可以写出切线方程为.令.解得切线与轴交点的横坐标22n，xynx,,，,2(22)(1)y,0 1n. x,,,1nnn，，11 12 (?)要证，需考虑通项，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下:先表T,x21n,n4n 1321n,1222222示出，求出初始条件当时，.当时，单独n,1n,2Txxx,,？？()()()T,nn1321,1242n4 22221(21)(21)1441nnnnnn,,,,,,222考虑，并放缩得，所以 xx,,,,,()21n,21n,2222(2)(2)(2)nnnnn 11211n,12 ，综上可得对任意的nN,*，均有. T,T,，，，，,()？nn4n2234nn 2221nn，，22n，试题解析:(?)解:，曲线在点处的切线斜率为yxnx'(1)'(22),，,，yx,，1(12)， 22n，. x 从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标ynx,,，,2(22)(1)y,0 1n. x,,,1nnn，，11 (?)证:由题设和(?)中的计算结果知 1321n,222222 . Txxx,,？？()()()nn1321,242n 1n,1 当时，. T,14 22221(21)(21)1441nnnnnn,,,,,,22n,2x,,,,,() 当时，因为， 21n,2222(2)(2)(2)nnnnn 11211n,2T,，，，，,()？ 所以. n2234nn 1nN,*T, 综上可得对任意的，均有. n4n 1r例4:将杨辉三角中的每一个数C都换成，就得到一个如右图所示的分数三角形，成为莱nrnC，(1)n 111，,x,布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，其中 ; rxrnCnCnC，，(1)(1),1nnn 1111令lima,，则 ( a,，，，，？nn22n,,nCnC，3121，，,1nn 111【解析】? ，,rrr，1nCnCnC，，(1)(1)nnn,1 xr,，1?; 12,? n,2nCnnn，，,111，，，，，，n 1111,,,,， ,,,,,,,,nnnn,，11,,,, 111? a,，，，？n012CCC345234 11，， nn,,32nCnC，1，，nn,1 111， ,,,，121nn， 1a,lim?( nn,,2 例5:(2015江苏高考)设aaaa,,,是各项为正数且公差为d的等差数列 (0)d,1234 aaaa3124 (1)证明:依次成等比数列; 2,2,2,2 234ad, (2)是否存在，使得aaaa,,,依次成等比数列，并说明理由; 11234 nn，kn，2kn，3kad, (3)是否存在及正整数，使得a,a,a,a依次成等比数列，并说 nk,11234 明理由. 【解析】(1)根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可(2) dt,本题列式简单，变形较难，首先令将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高a1 d27+430tt，,t,次的方法得到方程:，无解，所以不存在(3)同(2)先令将二元问题转化为一元，a1 为降次，所以两边取对数，消去n,k得到关于t的一元方程 ，从而将方程的解转化为研究函数4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)0，，,，，,，，,tttttt 零点情况，这个函数需要利用二次求gttttttt()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1),，，,，，,，， 导才可确定其在上无零点 (0,)，, an，12aa,dnn，1n,13试题解析:(1)证明:因为(，2，)是同一个常数， ,,22an2 aaaa3124所以，，，依次构成等比数列( 2222 aada，,aaaa(2)令，则，，，分别为，，，(，，)( ad,ad，ad，2ad,ad,,2d,011234 234aaaaa假设存在，，使得，，，依次构成等比数列， d11234 36442则，且( aadad,,，adaad，,，2，，，，，，，， d1364,,,t1t,令，则，且(，)， 111,,，tt112，,，ttt,0，，，，，，，，2a 3222,,化简得()，且(将代入()式， tt，,,220tt,，1tt,，1 12tttttttt，，，,,，,，，,，,1212313410t,,，则( ，，，，4 1t,,显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 4 234aaaaa因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列( d11234 nnk，nk，2nk，3naaaaa(3)假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列， dk11234 nknk，，22nknknk，，，322，，，，naadad，,，2adadad，，,，32则，且( ，，，，，，，，，，111111 d12nk，22nk，，，，，t,t,,分别在两个等式的两边同除以a及a，并令(，)， t,011a31nknk，，22nknknk，，，322，，，，121，,，tt11312，，,，ttt则，且( ，，，，，，，，，， nktnkt，，,，，2ln122ln1，，，，，，，，将上述两个等式两边取对数，得， nktnktnkt，，，，，,，，ln13ln1322ln12，，，，，，，，，，，，且( 2ln12ln12ln1ln12kttntt，,，,，,，，，，，，，，，，，，，化简得， ，，，， 3ln13ln13ln1ln13kttntt，,，,，,，，，，，，，，，，，，，且( ，，，， 12,t0,,,,，，,,tt,，，，，令，则( 22111213，，，ttt，，，，，， ,g00000,,,,,,,,t,0，，，，，，，，，，由，， 122 1,,,t,t,tgt,,00,，,知，，，在和上均单调( ，，，，，，，，，，21,,3,, gt,,故只有唯一零点，即方程()只有唯一解，故假设不成立( ，，t,0t,0 nnk，nk，2nk，3naaaaa所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列( dk11234 2a,n，1例6:若数列满足(为正常数，)，则称为“等方比数列”(甲:数列n,Np{}a{}a{}a,pnnn2an 是等方比数列;乙:数列是等比数列，则( ) {}an A(甲是乙的充分条件但不是必要条件 B(甲是乙的必要条件但不是充分条件 C(甲是乙的充要条件 D(甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2an，1【解析】取为，，则数列是等方比数列，但，不是等比数列;若{}a{}a,41,2,4,8,,,,？nn2an22,,aa2，，nn11,,q数列是等比数列，设公比为，则为正常数，则数列是等方比数列，故选B( q{}a{}a,,nn2aann,, ，例7:对数列a，规定,a为数列a的一阶差分数列，其中;对正整,,,,aaanN,,,,,,，，nnn1nnn， kkk数，规定为数列a的阶差分数列，其中 ,a,,,,nn k,1kkk,,11( ,,,a,,,,,aaa，，nnnn，1 2，2)已知数列a的通项公式，试判断是否为等差数列或等比(1annnN,，,,,aa、,,,,，，,,nnnn 数列,为什么, 2naa(2)数列首项，且满足，求数列的通项公式( a,1,,,，,,aaa2,,,,nn1，nnn1 2，【解析】(1)?annnN,，,， ，，n ,,,,，aaan21?， ，，nnn，1 2， ,,,,,,aaa2nnn，1 2,a,a?数列是等差数列，是常数列，既是等差数列，又是等比数列( ,,,,nn 2n(2)?， ,,,，,,aaa2，nnn1n,,,,,，,,aaaa2?， ，，，，11nnnn n?， aa,，22，1nnn，12两边同时除以，得: aa1nn，1,， nn，1222 anb,令，则: nn2 1bb,,， nn，12 nn,1b,?，即an,,2( nn2 iaaa,...aaaaaa,,,,,....,aa,n例8:若有穷数列(是正整数)，满足，即(是12n1211nnn,ini,，1 1,,in正整数，且)，就称该数列为“对称数列”( bbbbb,,,bb,,2,11(1)已知数列是项数为7的“对称数列”，且成等差数列，，试写出,,n123414 的每一项; b,,n (2)已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等,4c211kk,,ccc,...,,，，nkkk，,121 21k,k差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值,最大值为多少, cSS,,n21k,21k, 21m,m,12m(3)对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列1,2,2...2 m,1500中的连续项;当时，试求其中一个数列的前2008项和( S2008 d【解析】(1)设数列的公差为，则: ,,bn ， b,b，3d,2，3d,1141 d,3解得: ， ?数列为( ,,b25811852，，，，，，n (2)由对称数列的定义知: ， cccccc，，，,，，，？？12121kkkk，, ? Scccc,，，，,2？，，21121kkkkk,，, kk,1，，，， ,，，，,,250450k，，,,2，， 2,,，,410450kk 2,,,，413626k， ，， k,13?当时，取到最大值626( S21k, 21m,2m(3)?成为项数不超过的对称数列中的连续项， 1,2,2...2 ?该数列只可能是: mmmm,,,,2112; 1,2,,2,2,2,2,,2,1？？ mmm,,,212或; 1,2,,2,2,2,,2,1？？ mmmm,,,,1221或; 2,2,,2,1,1,2,,2,2？？ mmmm,,,,1221或; 2,2,,2,1,2,,2,2？？ mmm,,,212S下面计算的前2008项和: 1,2,,2,2,2,,2,1？？200815002008,,m?当时， mm,,2009，，mm,,23mm,,122009mmm,,122009SS,，，，，222？,，,,3221,,，,2122; ，，，，，，2008m m,2008?当时， 2008S,,21; 2008 mmm,,,212故的前2008项和为: 1,2,,2,2,2,,2,1？？ 2008,212008,,　　　　　　　m，，,( S,,2008mm,,，,,,,m，，,, mm,2pp,ppp？1,,,ijm例9:在个不同数的排列中，若时(即前面某数大于后面，，ij12n 与构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列某数)，则称ppji 的逆序数为，如排列21的逆序数，排列321的逆序数. (n，1)n(n,1)？321aa,1a,6n13 (?)求，并写出的表达式; aa、an45 aa，1nnb,，(?)令，证明: naann，1 ( 2n,b，b，？b,2n，312n 【解析】(?)， a,10,a,1545 n(n，1)a,n，(n,1)，，2，1,？ n2(?) aann，2nn，1? b,，,，naann，2nn，1 nn，2 ,,,22， n,1,2,？nn，2 b，b，？，b,2n?. 12n nn，222又?, b,，,，,2nnnnn，，22 ? bbb，，，？12n 1111 ,，,，，,22[()()]n？132nn， 222n，3,,,2n，3=. n，1n，2 综上，. 223nbbbn,，，,，？12n 112例10:已知 aAaAA,,，,,,？？11222 12n,，当时，求证: aAAA,，，，？？nNn,,,2nnnn (1)a,n(a，1); nn,1 111 (2)( ，，，,？？(1)(1)(1)3aaa12n nk,,2证明:(1)当时， n!k A,nnk,!，， n,1!，，k,1， ,,nnAn,1nk,,,11!，，，，，，，， 12n? aAAA,，，，？nnnn 121n,,，，，，nnAAA？ ，，nnn,,,111 ,n(1，a); n,1 an，1,a(2)由(1)， ,1nn ,,,,,,,,a1a1a1a1，，，，11113n121111，，，，？,，，，？，? ,,,,,,,,aaaaaaaa123n123n,,,,,,,, aaaa3n，1n，12 ,，，，,？2a3a(n，1)a(n，1)!12n 1121n， ,，，，AAA？，，nnn，，，111n，(1)! 111 ,，，，，，？11nn!(1)!2!, 111 ,，，，，2？1223(1)，，,，nn 11( ,2，1,,3,,3nn 例11:若定义在区间上的函数对于上的任意个值，总满足: DDfxxxxxx,,,,,？n，，1231nn, fxfxfx，，，？，，，，，，12n n xxx，，，？,,12n ,f,,n,, ,ABCcoscoscosABC，，称函数为D上的凸函数，则在锐角三角形中，的最大值是 fx，， ( ,,,解:?函数fxx,cos为上的凸函数， 0,，，,,2,, coscoscosABC，，? 3 ABC，，1， ,,cos32 3故coscoscosABC，，,( 2 例12:在中，、、均为非负整数，且对任何有: mnm，nf(m，n)f(m，n) ?; f(0，n),n，1 ?; f(m，1，0),f(m，1) ?;试求: fmnfmfmn，，,，111，，，，，，，，，，， (1)的值; f(1，0) (2)关于的表达式; nf(1，n) (3)关于的表达式( nf(3，n) ,1，1,2解:(1); f(1，0),f(0，1) (2) f(1，n),f(0，f(1，n,1)),,，,fnn(11)11，， ，， fnn(11)1，,,故数列成等差数列，其中首项，公差d,1， f(1，0),2,,，，1 f(1，n),f(1，0)，n,d,n，2 ?( 1 (3)f(2，n),f(1，f(2，n,1)) ,,，,fnn(21)21，， ，， fnn(21)1，,,d,2故数列ff(20)(11)213，，,,，,也成等差数列，其中首项，公差， ,,，，2 f(2，n),f(2，0)，n,2,2n，3?( f(3，n),f(2，f(3，n,1))? ,,，,2(31)31,fnn，， ，， 可变形为: ( fnfnn(3)32[(31)3]1，，，,,，,，， 故数列?成等比数列，其中首项为 ,,f(3，n,1)，3(n1) ，公比( f(3，0)，3,f(2，1)，3,5，3,8q,2 n，3? f(3，n),2,3