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【word】 矩阵可交换的条件.doc

【word】 矩阵可交换的条件

将爱难爱
2017-12-20 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《【word】 矩阵可交换的条件doc》,可适用于综合领域

【word】矩阵可交换的条件矩阵可交换的条件第卷第期年月大学数学COLLEGEMATHEMATICSVoI,DecO矩阵可交换的条件何春元(河海大学常州校区,江苏常州)摘要讨论了矩阵A在一定条件下,与矩阵A可交换的矩阵B一定为A的多项式矩阵,并指出中存在的问题和不足关键词矩阵可交换约当标准型多项式矩阵中图分类号O文献标识码A文章编号()前言对于任何多项式厂(),方阵A与多项式矩阵厂(A)一定可以交换反之,如果矩阵B与A可交换,是否存在一个多项式厂(),使得B一,(A)E中指出当矩阵A的约当标准型中约当块不含纯量矩阵时(实数与单位矩阵之积aI,a可以是O)时,与矩阵A可交换的矩阵B一定为A的某个多项式矩阵(A),这一结论是错误的设x为阶矩阵,那么n阶矩阵A一(呈)和B一()是可交换的,如果x为上三角矩阵,那么A也是一个上三角矩阵,而A的任意多项式矩阵f(A)也一定是一个上三角矩阵,但是t,的一个多项式矩阵例如当Jdiag(J,J,…,)且a一口一n,那么取矩阵X==JDJ收稿日期修改日期大学数学第卷这里分块矩阵D为×矩阵,当子块DJ一t,D时,JX=XJ由于a一a一a,满足等式DJ一JD的子块D形如:或者是前者为,后者为,z,其中左下角未写出的元素为由于D不是零子块,因此矩阵不是上三角矩阵,而J是一个上三角矩阵,x不可能是J的一个多项式矩阵设矩阵p,使得J=PAP,令一,由于一t,x,矩阵A与B可交换,如果存在一个多项式厂(A),使得B一,(A),那么xPBPP厂(A)Pf(PAP)一厂(J),表明x是J的一个多项式矩阵,这不可能所以B不可能是A的一个多项式矩阵注有时一个矩阵A的约当标准型中含有对角形子块,则可以将其视为若干个阶数为的约当块如果矩阵A满足定理条件,那么在A的约当标准型中不可能有纯量矩阵的子块定理的证明为证定理,先给出两个引理:引理设当矩阵,为一个m阶约当块,即一时,与其可交换的矩阵B必可表示成J的多项式,次数不超过一证如果一,那么多项式为零次的,即常数()一n当m时,注意到J=alH,其中J为阶单位矩阵,H==方程BJ=:=JB等价于BHHB,从此方程不难求得即B==bobb…boblbbobbob一b一b,blbo()一一lIl口OOOO第期何春元:矩阵可交换的条件BbJbHbH…b一H一q(H),这里口()一bbb…b一为次数不超过一次的多项式,令多项式()一q(a)就有(J)一B引理设P(),P(),…,P()为任意给定的忌个多项式,(多项式次数可以相同也可以不同)B一P(t,)为,,的多项式矩阵(r一,,…忌),这里t,,I,,…,,满足定理的条件则存在一个多项式g(),满足g(J,)P(I,,)(r一,,…忌)证对r一,,…是,考虑多项式g()一(一口)”…(a)nrw(a)…(a)()由于(n)”是,化零多项式,因此当r时g(,)为零矩阵(一,,…最)而g,(J,)一(t,一aJ)…(,,一a一J)一(J,一a,I)r…(J一a女I)是可逆矩阵,这是因为当aa时矩阵t,一nJ的对角线元素不为零由于J一a,l与其逆矩阵是可交换的,由引理知,存在一个次数不超过,一次多项式q(),使得q(J,一ail)一(J,aI),令d()一q(n)就有d(J)=(J一aI)ti一,,…忌,i:r记d()一d,()…d,,()d,,l()…d,()g(),这里g,()由()式确定,于是有d(,,)一,d(J)一(r)取g()一P()l()P()()…P()(),就有g(I,,)一P(,,)r一,,…忌定理的证明:对于与A可交换的矩阵B应满足方程ABBA,若将A化成约当标准型APJP,其中Jdiag(,J,…,J)将A代入上面的方程得PJPBBPJP,令CPBP,则方程化成t,CCJ由Sylvester矩阵方程的可解性条件可知,矩阵C必为分块对角矩阵diag(B,B,…,B)且J,与B可交换(rl,,…是)由引理,对r一,,…是,存在多项式P()使得B一P(J)再由引理,存在多项式g(A),满足g(d,)一P,(,),因此g(J)一diag(g(d),g(Jz),…,g(J女))一diag(p(,),Pz(,z),…,P(t,))一C,即矩阵c为J的多项式矩阵,BPCP=Pg(J)Pg(PJP)一g(A),这就证明了与A可交换的矩阵B是A的一个多项式矩阵如果多项式g()的次数大于次,那么由于A的最小多项式q()的次数不超过次,作带余除法,g()一m()g(),(),余式厂()的次数不超过一次,且厂(A)一g(A)一B结束语本定理表明当方阵A的约当标准型diag(d,t,,…,,)中约当子块的对角线上元素a,a,…,a互不相同时,与A可交换的方阵B一定是关于A的一个多项式矩阵厂(A)我们知道,将一个矩阵化成约当标准型工作量很大,因此判断矩阵A是否满足定理的条件是困难的如果矩阵A的约当标准型中含有纯量矩阵的约当块,就不满足定理的条件,因而与A可交换的矩阵B不一定是A的某一个多项式矩阵但A中是否含有纯量矩阵的约当块,除了是二阶矩阵外,一般是看不出来的,例如四阶矩阵A==就有一lP=::一l一P一一l大学数学第卷PAP一一OO一表明该四阶矩阵A中含有纯量矩阵的约当块,但在A中看不出来中断言是不对的,其推导有误如果矩阵A,B可交换,在实际计算中,令BaJnAnA…口一lA,()其中a,a,a,…,a一为个待定的系数,如果矩阵A满足本文定理的条件,那么矩阵方程()一定有解参考文献钱微微,察耀志,论矩阵可交换的充要条件J,大学数学,,():

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