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高数中定积分的证明题

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高数中定积分的证明题高数中定积分的证明题 定积分不等式证明方法 一 柯西不等式方法 利用柯西不等式证明的问题经常含有特殊的形态,比如涉及两个积 分项相乘,或者含有函数平方、平方根的积分。 柯西不等式 设在上连续,则有 fxgx(),()[,]ab bbb222 [()()d]()d()dfxgxxfxxgxx,,,,aaa k等号成立的充分必要条件是存在常数使得或者。注意有些问fxkgx()(),gxkfx()(),题(不一定在不等式证明中)会涉及到等号成立的条件。 bb22例1 设在上连续,证明。 [()d]()()dfxx...

高数中定积分的证明题
高数中定积分的证明题 定积分不等式证明方法 一 柯西不等式方法 利用柯西不等式证明的问题经常含有特殊的形态,比如涉及两个积 分项相乘,或者含有函数平方、平方根的积分。 柯西不等式 设在上连续,则有 fxgx(),()[,]ab bbb222 [()()d]()d()dfxgxxfxxgxx,,,,aaa k等号成立的充分必要条件是存在常数使得或者。注意有些问fxkgx()(),gxkfx()(),题(不一定在不等式证明中)会涉及到等号成立的条件。 bb22例1 设在上连续,证明。 [()d]()()dfxxbafxx,,fx()[,]ab,,aa 证明 在柯西不等式中设,即证。 gx()1, bb12例2 设在上连续,且恒正,证明 fxxxba,,fx()[,]ab()dd(),,aafx() 1fx(),证明 在柯西不等式中设,取函数,可证。 gx()1, fx()例3 设在上具有连续导数,如果,求证 fx()[,]()abba,fafb()()0,, nnn,12bbmba(),222nn ['()]d()dfxxxfxx,,,2aa(1)n, 2n,0其中为在上最小值,。 m[,]abfx() nn证明 在柯西不等式中,分别设函数为,有 fxxfx'(),() 22bbbb1,,,nnnnnn2221,, fxxxfxxxfxfxxxfx,,['()]d()d()'()dd(),,,,,,,,aaaa,,n,1,, 222bb,,b1n,,,,,nnnnnn11111,,()()d()d,,,xfxnfxxxfxxx ,,22,,,,aa,,a(1)(1)nn,,,, 22(1)2(1)2nnnnnn,,2bnfbamba()()(),,,nn,,11,, ,,,fxx()d,,222,,a,,(1)(1)(1)nnn,,, 等式中,,[,]ab,这是由推广积分中值定理得到: 设fx()[,]abgx()[,]ab是上恒大于等于零的连续函数,如果在上连续,则存在 ,,[,]ab使得 bb。 fxgxxgfxx()()d()()d,,,,aa 例4 在上具有连续导数,如果,求证 fx()[,]()abba,fa()0, bb1222 fxxbafxx,,()d()['()]d,,aa2 证明 因为,所以 fa()0, 2xxxx2222,,fxftttfttxaftt()'()1dd['()]d()['()]d,,,,, ,,,,,,aaaa,, 由积分可加性,有 xb222 fxxafttxaftt()()['()]d()['()]d,,,,,,aa 两边取定积分,得 bbb22fxxxafttx()d()['()]dd,, ,,,,,aaa 2bbb()ba,22 。 ,,,['()]d()d['()]dfttxaxftt,,,aaa2 例5 设在上连续,且,证明 fx()[0,1]1(),,fxa 2111(1)a,。 1()dd,,fxxx,,00fxa()4 证明 左边不等式由柯西不等式得。 1 21111,,1a 2()dd()ddafxxxfxxx,,,,,,,,0000fxfx()(),, 11 ,,,,,(())(()1)d(1)fxafxxa,0fx()由条件,有,所以 1(),,fxa(())(()1)0fxafx,,, 1 211,,1 2()dd1afxxxa,,,,,,00fx(),, 得 2111(1)a,。 fxxx()dd,,,00fxa()4 例6 设fx()(,),,,,fx()0()1,,fx为上连续周期函数,周期为1,如果满足:, 1且,求证 fxx()d1,,0 xxx,,2713。 fttfttftt()d()d()d11,,,,,,000 以及取等号的条件。 证明 由条件,有 0()1,,fx xxx,,2713 fttfttfttxxx()d()d()d2713,,,,,,,,,,000 利用离散柯西不等式,有 231 xxxxxx,,,,,,,,,,,,27131((13))2((27))322 231。 ,,,,,,,,,(12)(13)(27)11xxx322 且取等式充分必要条件是: 31, xxx,,,,132722 x,6即。所以 xxx,,2713。 fttfttftt()d()d()d11,,,,,,000 x,6特别当时,有 xxx,,2713362 fttfttfttfttfttftt()d()d()d()d()d()d,,,,,,,,,,,000000 1fxx()d1,根据周期性,以及,有 ,0 3621fttfttfttftt()d()d()d11()d11,,,,, ,,,,0000 x,6所以取等号充分必要条件是。 注 本题并不是利用连续型柯西不等式方法证明结论,而是利用离散型柯西不等式方法证明结论,但问题是在利用柯西不等式时采用了“一般人”想不到的“技巧”,这种技巧并不明显。确实柯西不等式形式上是简洁的,但对于什么样不等式,我们会想到采用柯西不等式来证明呢,这才是问题的所在,回答它并不容易。当然这地方可以避免使用离散型柯西不 xxx,,,,,271311等式证明:,而是利用导数方法证明。 二 常数变异法 将区间某端点看成变量(或者转换为变量),然后利用上限函数求导。此类定积分不等式问题中,通常含有某些函数满足连续、单调条件,此时可以通过将上限或下限涉及到的常数符号,在整个不等式中换成与变量积分变量无关的变量,然后作辅助函数,再通过求导对辅助函数的单调性进行研究。 例1(设fx()在[,]ab上连续,且单调增加,证明 bbab,()d()dtfttftt, ,,aa2 分析 将定积分不等式视为数值不等式,可利用相应的函数不等式的证明方法证明,将要 b证的不等式两端做差,并将上限换成,作辅助函数如下 xFx() xxax, ()()d()dFxtfttftt,,,,aa2如果证明,即证得原命题。 Fb()0, 证明 对求导,得 Fx() xx11axxa,, Fxfxxfttfxfxftt'()()()d()()()d,,,,,,,aa2222 xxx111 ,,,,fxtfttfxftt()d()d(()()d,,,aaa222 由于在上单调增加,且因为,所以有,再根据定积分fx()[,]abfxft()()0,,tax,[,] 性质,有。由此知在上单调增加,则,得,Fx'()0,Fx()[,]abFxFa()()0,,Fb()0, 得证。 ab,,例2 设在上连续,,且单调增加,证明 存在使得 ,fx()[,]abf(0)0,2 bbtfttftt()d()d,, ,,aa bbab,()d()d分析 假设结论成立,则有tfttftt,,而由上例知道,此不等式成立。,,aa2 再由,且单调增加,知在上满足,则由推广积分中值f(0)0,fx()fx()[,]abfx()0, bbtfttftt()d()d,,定理有使得,如此得 ,,[,]ab,,aa bbbab,()d()d()d,tfttfttftt,, ,,,aaa2即可证明结论。 20'(),()0,,,fxfa例3 设在上有连续导数,且求证 fx()[,]abn,1 2bb,nn21,,fxxfxx()d()d, ,,,,aa,, 证明 设辅助函数 2xx,nn21,,Fxfttftt()()d()d,, ,,,,aa,, 则 xx211,,nnnnnnFxfxfttfxfxfttfx'()2()()d()()[2()d()],,,,。 ,,aa x,1nn设,则 Gxfttfx()2()d(),,,a n,1nnn Gxfxnfxfxfxfx'()2()(1)()'()2()(1'()),,,,,2因为,所以严格单调递增,且,所以 fafx()0,'()0,,fx()fxfaxab()()0,(,],,, n,1n。又因为,所以得,由此得: 1'()0,,fxGx'()0,fxxab()0,(,],,2 GxGaxab()()0,(,],,, 所以有,得,即得 Fxxab'()0,[,],,FbFa()()0,, 2bbnn,21,,fxxfxx()d()d,。 ,,,,aa,, n,2注 当时,此题为94北方交通大学数学竞赛试题,美国数学竞赛试题。 b例 4 设在上连续,如果对于任意在上有一阶连续导数,且在点fxgx(),()[,]ab[,]ab取值为零的函数,都满足 hx() b[()()()'()]d0fxhxgxhxx,,, ,a 求证 可导,且。 gx()gxfx'()(), xFxftt()()d,证明 设,则有 ,a bbbbb ()()d()d()()()()'()d()'()dfxhxxhxFxFxhxFxhxxFxhxx,,,,,,,,,aaaaa 由条件得 b[()()]'()d0Fxgxhxx,, ,a 下证,在上与恒等。 [,]abFx()gx() xab,[,]Fxgx()(),Fxgx()(),采用反证法,如果存在,使得(同理可证情况) 00000 ,,0(,)[,]xxab,,,,,[,)[,]xxab,,,,则由连续性有,存在,使得在(或者,0000 (,][,]xxab,,,或者,下面仅对第一种情况说明)且在此区间上Fxgx()(),。构造函00 [,]ax,,[,]xb,,(,)xx,,,,数hx()满足:在取常值,在上取零,在内单调递增,0000 [,]abhxhb'()0,()0,,则在上有。由此由定积分性质得 b [()()]'()d0Fxgxhxx,,,a 矛盾。所以得在上与恒等,即证得题中命题。 [,]abFx()gx() 三 微分中值定理方法 当题目条件含有一阶以上连续导数时,可考虑微分中值定理证明 方法。 例1(前苏联竞赛题)设在上有一阶连续导数,求证 fx()[,]abfafb()()0,, 2b()ba, fxxM()d,,a4其中为在上的最大值。 M|'()|fx[,]ab 证明 利用拉格朗日中值定理得: fxfxfafxaax()()()'()(),(,),,,,,,,11 fxfxfbfxbxb()()()'()(),(,),,,,,,,22所以有 |()|(),|()|()fxMxafxMbx,,,, 则由定积分性质得 ab,bb2 fxxfxxfxx()d()d()d,,ab,,,,aa2 ab,2b()ba,2 。 ,,,,MxaxMbxxM(-)d()dab,,,a42 习题 1. 设在上有一阶连续导数,求证 fx()[,]abfa()0, 2b()baba,,fxxMfb()d(),, ,a42 M其中为在上的最大值。 |'()|fx[,]ab 2.(1985陕西省高校数学竞赛试题)设在上有一阶连续导数,满足,fx()[0,2]|'()|1fx, ff(0)(2)1,,。求证 21()d3,,fxx。 ,0 解 由已知条件有 fxffxx()(0)'(),(0,),,,,, 11 fxffxx()(2)'()(2),(,2),,,,,,22 所以有 fxxfxx()1,()1,,,,,与 fxxfxx()1,()3,,,,, 由此 212. fxxxxxx()d(1)d(1)d1,,,,,,,,001 与 212, fxxxxxx()d(1)d(3)d3,,,,,,,,001 得证。 3.(前苏联竞赛试题) 在区间是否存在函数使其有一阶连续导数,且满足: [0,2]fx() 2, ,fxx()d1,。 ff(0)(2)1,,|'()|1fx,,0 解 利用题2,有 如果存在,使得,则 x,[0,1]fxx()1,,fxxfxx()1,()1.,,,,00 21()d1,,fxx, ,0 x,1矛盾,所以,;同理,。但此时在处fxx()1,,x,[0,1]fxx()1,,x,[1,2]fx() 不可导,矛盾。 由此不存在这样函数。 4. 在区间是否存在函数使其有一阶连续导数,且满足:, [0,2]fx()ff(0)(2)1,, 2fxx()d1,,。 |'()|1fx,,0 5. 设在上存在连续的阶导数,且有 nfx()[,]ab ()()kk, fafbkn()()0,0,1,2,,1,,,,? 则存在使得 ,,(,)ab ()nn|()|()fba,,|()()|fbfa,,。 ,n1n!2 是否存在函数fx()使其有一阶连续导数,且满足:ff(0)(2)1,,, |'()|1fx,, 2fxx()d1,。 ,0 四 凹凸性利用 当题目条件给出二阶导数符号时,可考虑函数凹凸性方法 fx() 例1 设在上有二阶连续导数,且在上有,求证 fx()[,](0)aba,[,]abfx''()0, bba, ()d(2)()(2)()tfttbafbabfa,,,,,,,a6 证明 因为在上有,所以函数为凹函数,即对于任意有 [,]abfx''()0,,,[0,1] fabfafb((1))()(1)(),,,,,,,,, 所以有 txbxa,,,(1)b1 tfttbaxbxafxbxax()d()[(1)]((1))d,,,,,,,,,,,,,a0 1 ,,,,,,()[(1)][()(1)()]dbaxbxaxfbxfax,0 ba,,,,,(2)()(2)()bafbabfa。 ,,6 五 重积分法 bdbdI对含有Ifxxgxx,()d()d形式的不等式可考虑将转化为fxgyxy()()dd形,,,,acac式。然后再利用相关性质进行证明。 例1 设为上的单调增加的连续函数,如果,证明 fx()[0,1]kln,,,0,1 11knlnxfxxxfxx()d()d,,00, 11,,knln11xfxxxfxx()d()d,,00 证明 将不等式通分变形为 1111knlnlnkn,,11Ixfxxxfxxxfxxxfxx,,()d()d()d()d ,,,,0000 转化为分次积分 1111klnnlknn,,11Ixyfxfyxyxyfxfyxy,,()()dd()()dd ,,,,0000 11klklllnn,,,1,,()()()ddxyxyfxfyxy ,,00 同理有 11klklllnn,,,1Iyxxyfyfxxy,,()()()dd ,,00 将所得两式相加有 11llklklnn,,,,112()(()())()()ddIxyxyfxfyfyfxxy,,, ,,00 klkl,,I,0由已知条件,得,即得,所以原不等式成立。 ()(()())0xyfxfy,,, fxgx(),()[,]ab例2 (柯西不等式) 设在上连续,则有 bbb222 [()()d]()d()dfxgxxfxxgxx,,,,aaa 证明 bbb2 Ifxgxxfxgxxfygyx,,[()()d]()()d()()d,,,aaa bb ,fxfygxgyxy()()()()dd,,aa 因为 12222 fxfygxgyfxgygxfy()()()()(()()()()),,2 所以有 bbbb12222 Ifxgyxygxfyxy,,[()()dd()()dd],,,,aaaa2 bbbb12222,,fxxgyyfyxgxy [()d()d()d()d],,,,aaaa2 bb22,fxxgxy()d()d。 ,,aa 例3(98北京信息工程大学试卷)设在上有一阶连续导数,求证 fx()[0,1] 111|()|dmax{|(')|d,|()d|}fxxfxxfxx, ,,,000 证明 因为在上连续,如果在上无零点,则在上取值同号,fx()[0,1]fx()(0,1)[0,1] 11|()|d|()d|fxxfxx,由此有。 ,,00 xfxftt()'()d,如果存在,使得,有,所以有: c,(0,1)fc()0,,c 111xx|()|d|'()d|d||'()|d|dfxxfttxfttx,, ,,,,,00c0c 111,,|'()|dd|'()|dfttxfxx 。 ,,,000 得证。 2n222ππ,,,nxn2,,x,,,,(1e)ed(1e)例4 求证 。 ,,,0,,44 证明 因为 2nnnnn22222,,,,,xxyxy(),,ededededdxxyyx,,, ,,,,,,,00000,, 222Drxyxyrxy()(,)|,,0,,,,取,则有 ,, 2n22222,,,,,xyxxy()(),,, eddededdyxxyx,,,,,,,,,0,,Dn()Dn(2) 又因为 πr2222π,,,,()xyr,2, eddedd(1e)yx,,,,,,,,,,004Dr() 所以有 2n222ππ,,,nxn2,,x,,,,。 (1e)ed(1e),,,0,,44 • • • • • • • • • • • • • • • • • • 【唯美句子】 走累的时候,我就到升国旗哪里的一角台阶坐下,双手抚膝,再闭眼,让心灵受到阳光的洗涤。懒洋洋的幸福。 顶 3 收藏 2 • 【唯美句子】 一个人踮着脚尖,在窄窄的跑道白线上走,走到很远的地方又走回来。阳光很好,温暖,柔和。漫天的安静。 顶 7 收藏 7 • 【唯美句子】 清风飘然,秋水缓淌。一丝云起,一片叶落,剔透生命的空灵。轻轻用手触摸,就点碎了河面的脸。落叶舞步婀娜不肯去,是眷恋,是装点,瞬间回眸,点亮了生命精彩。 顶 11 收藏 9 • 【唯美句子】 几只从南方归来的燕子,轻盈的飞来飞去,“几处早莺争暖树,谁家新燕啄春泥,”其乐融融的山林气息,与世无争的世外桃源,让人心旷神怡。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 流年清浅,岁月轮转,或许是冬天太过漫长,当一夜春风吹开万里柳时,心情也似乎开朗了许多,在一个风轻云淡的早晨,踏着初春的阳光,漫步在碧柳垂青的小河边,看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌, 清澈见底的的河水,可以数得清河底 的鹅软石,偶尔掠过水面的水鸟,让小河荡起一层层的涟漪。河岸换上绿色的新装,刚刚睡醒的各种各样的花花草草,悄悄的露出了嫩芽,这儿一丛,那儿一簇,好像是交头接耳的议论着些什么,又好象是在偷偷地说着悄悄话。 顶 3 收藏 4 • 【唯美句子】 喜欢海子写的面朝大海春暖花开,不仅仅是因为我喜欢看海,还喜欢诗人笔下的意境,每当夜深人静时,放一曲纯音乐,品一盏茶,在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。在春暖花开时,身着一身素衣,站在清风拂柳,蝶舞翩跹的百花丛中,轻吹一叶竖笛,放眼碧波万里,海鸥,沙滩,还有扬帆在落日下的古船,在心旷神怡中,做一帘红尘的幽梦。 顶 0 收藏 2 • 【唯美句子】 繁华如三千东流水,你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由,置身置灵魂于旷野,高声吟唱着属于自己的歌,悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。 顶 1 收藏 3 • 【唯美句子】 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人生如一本书,应该多一些精彩的细节,少一些乏味的字眼;人生如一支歌,应该多一些昂扬的旋律,少一些忧伤的音符;人生如一幅画,应该多一些亮丽的色彩,少一些灰暗的色调。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一滴甘露,亲吻干涸的泥土,它用细雨的温情,用钻石的坚毅,期待着闪着碎光的泥土的肥沃;母爱不是人生中的一个凝固点,而是一条流动的河,这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 生活如海,宽容作舟,泛舟于海,方知海之宽阔;生活如山,宽容为径,循径登山,方知山之高大;生活如歌,宽容是曲,和曲而歌,方知歌之动听。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱就是一幅山水画,洗去铅华雕饰,留下清新自然;母爱就象一首深情的歌,婉转悠扬,轻吟浅唱;母爱就是一阵和煦的风,吹去朔雪纷飞,带来春光无限。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 努力奋斗,天空依旧美丽,梦想仍然纯真,放飞自我,勇敢地飞翔于梦想的天空,相信自己一定做得更好。 顶 0 收藏 0 【优美语句】 品味生活,完善人性。存在就是机会,思考才能提高。人需要不断打碎• 自己,更应该重新组装自己。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是一缕阳光,让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春;母爱是一泓清泉,让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 母爱是温暖心灵的太阳;母爱是滋润心灵的雨露;母爱是灌溉心灵的沃土;母爱是美化心灵的彩虹。 顶 0 收藏 0 • 【优美语句】 一轮金色的光圈印在海面,夕阳将最后的辉煌撒向了大海,海平面波光潋滟,金光闪闪,夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝,我张开双臂拥抱最温馨的时刻„„我爱大海宽广的胸怀,无论多大的风浪,她都可以揽入怀中;无论多少风雨,都无法将她击垮;无论多少河流,她都可以容纳;我愿做一只填海的燕,填平她的波涛翻滚,填平她的汹涌愤怒,只留下平静、柔和的海面。
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