[宝典]应用平方根的定义及性质解题的几个技能

[宝典]应用平方根的定义及性质解题的几个技能 平方根概念解题的几个技巧 平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助. 一、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a?0时，a的平方根是?a，即a是非负数. x 例1、若求y的立方根. 2,x,x,2,y,6, 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2,x?0,得x?2;x,2?0,得x?2;进一步可得x=2.从而可求出y=,6. 2,x,0x,2,,x2 解 ?, ? x=2; 当x=2时,y=,6.y=(,6)=36.,,x,2,0x,2,, x336 所以y的立方根为. 二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. a 我们知道，当a?0时，a的平方根是?，而 (，a)，(,a),0. 例2、已知:一个正数的平方根是2a,1与2,a，求a的平方的相反数的立方根. 分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a,1)+(2,a)=0,从而可求出a=,1,问题就解决了. 解 ?2a,1与2,a是一正数的平方根,?(2a,1)+(2,a)=0, a=,1. 3,1,,1. a的平方的相反数的立方根是 三、巧用算术平方根的最小值求值. a,0a我们已经知道,即a=0时其值最小,换句话说的最小值是零. 例3、已知:y=a,2，3(b，1),当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小 a时,求b的非算术平方根. 分析 y=,要y最小，就是要和最小，而a,2a,2，3(b，1)3(b，1) ?0，?0，显然是=0和=0，可得a=2,b=,1.a,2a,23(b，1)3(b，1) 解 ??0，?0，y=，?=0和=0a,2a,23(b，1)a,2，3(b，1)3(b，1)时，y最小.由=0和=0，可得a=2,b=,1. a,23(b，1) a 所以b的非算术平方根是 ,1,,1. 四、巧用平方根定义解方程. 2我们已经定义:如果x=a (a?0)那么x就叫a的平方根.若从方程的角度观察,这里的x 2实际是方程x=a (a?0)的根. 2例4、解方程(x+1)=36. 分析 把x+1看着是36的平方根即可. 2解 ?(x+1)=36 ?x+1看着是36的平方根. x+1=?6. ?x=5 , x=,7. 12 3例4实际上用平方根的定义解了一元二次方程(后来要学的方程).你能否解27(x+1)=64这个方程呢?不妨试一试. 利用平方根的定义及性质解题 如果一个数的平方等于a(a?0)，那么这个数是a的平方根(根据这个概念，我们可以解决一些和平方根有关的问题( 例1 已知一个数的平方根是2a,1和a,11，求这个数( 分析:根据平方根的性质知:一个正数的平方根有两个，它们互为相反数(互为相反数的两个数的和为零( 解:由2a,1+a,11=0，得a=4，所以2a,1=2×4,1=7( 2所以这个数为7=49( 例2 已知2a,1和a,11是一个数的平方根，求这个数( 分析:根据平方根的定义，可知2a,1和a,11相等或互为相反数( 2当2a,1=a,11时，a=,10，所以2a,1=,21，这时所求得数为(,21)=441; 2当2a,1+a,11=0时,a=4,所以2a,1=7,这时所求得数为7=49. 综上可知所求的数为49或441. 例3 已知2x,1的平方根是?6,2x+y,1的平方根是?5,求2x,3y+11的平方根. 分析:因为2x,1的平方根是?6,所以2x,1=36,所以2x=37;因为2x+y,1的平方根是?5, 所以2x+y,1=25,所以y=26,2x=,11, 所以2x,3y+11=37,3×(,11)+11=81, 因为81的平方根为?9,所以2x,3y+11的平方根为?9. 例4 若2m4与3m1是同一个数的平方根，则m为( ) ,, (A),3 (B)1 (C),3或1 (D),1 分析:本题分为两种情况:(1)可能这个平方相等，即2m,4=3m,1，此时，m=,3; (2)一个数的平方根有两个，它们互为相反数，所以(2m,4)+(3m,1)=0，解得m=1( 所以选(C)( 练一练: 1. 已知x的平方根是2a,13和3a, 2,求x的值. 2. 已知2a,13和3a,2是x的平方根,求x的值 3.已知x+2y=10,4x+3y=15, 求x+y的平方根. ,5 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :1.49;2. 49或1225; 3.. 估计方根的取值，你会吗 在实数的学习中，关于估计方根的取值问题屡见不鲜(解答它们，要注意灵活利用平方根或立方根的定义，从平方或立方入手( 10例, 不求的值，正确的是( ) 1010A)3.15,(,3.16 (B)3.16,,3.17 1010(C)3.17,,3.18 (D)3.18,,3.19. 1010分析:表示10的算术平方根，要确定在3.15、3.16、3.17、3.18、3.19当中的哪两个数之间，只需看看10在这五个数的哪两个数的平方之间. 222解:计算知，.3.15= 9.9225 , 3.16= 9.9856 , 3.17= 10.0489 223.163.17所以,10,. 10所以3.16,,3.17，应选B. 例2 估计68的立方根的大小在( ) (A) 2与3之间 (B)3与4之间 (C) 4与5之间 (D)5与6之间. 分析:要估计68的立方根的大小在哪两个连续整数之间，只需看看68在哪两个连续整数的立方之间( 3333解:计算知，( 2= 8 , 3=27 , 4= 64 , 5= 125 33所以,68,( 54 3所以4,,5，应选B( 68 例3 下列各数与最接近的是( ) 7 (A)2.5 (B)2.6 (C)2.7 (D)2.8. 分析:要比较2.5、2.6、2.7、2.8这四个数哪个与7更接近，只需看看这四个数中哪个数的平方更接近7. 2222解:计算知，.2.5 = 6.25 , 2.6 = 6.76 , 2.7 = 7.29 , 2.8 =7.84 2222因为，72.5 = 0.75 , 72.6 = 0.24 , 2.77 = 0.29 , 2.87 = 0.84,,,, 22222.6比2.5、2.7、2.8更接近7， 所以 7所以2.6比2.5、2.7、2.8更接近.应选B. 《平方根》典例分析 平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一.现以几道典型题目为例谈谈平方根问题的解法，供同学们学习时参考. 一、基本题型 例1 求下列各数的算术平方根 152641(1);(2);(3). (,3)49 a分析:根据算术平方根的定义～求一个数的算术平方根可转化为求一个数的平方等于aa的运算～更具体地说～就是找出平方后等于的正数. 2648解:(1)因为，所以的算术平方根是，即;64,88,64 22223(2)因为，所以的算术平方根是，即(,3),3;(,3),3,9(,3) 15815648641582(3)因为1,，又，所以的算术平方根是，即1,.()1,4949749497497 2点评:这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意的算术平方根是3，而不是3.(,3) 另外～当这个数是带分数时～应先化为假分数～然后再求其算术平方根～不要出现类似1641,1的错误. 497 想一想:如果把例1改为:求下列各数的平方根.你会解吗,请试一试. 例2 求下列各式的值 92(,4),81,16(1); (2); (3); (4).25 81168116分析:?表示的平方根，故其结果是一对互为相反数;,表示的负平方 9922(,4)根，故其结果是负数;表示的算术平方根，故其结果是正数;表示(,4)2525 的算术平方根，故其结果必为正数. 2819,81解:(1)因为，所以?=?9. 216,,44,16(2)因为，所以,. 23,,993,,(3)因为=，所以=. 525525,, 222(,4),4(4)因为，所以. 4,(,4) 点评:弄清与平方根有关的三种符号?、、,的意义是解决这类问题的关aaa a键.?表示非负数的平方根.表示非负数的算术平方根，,表示非负数的负aaaaa平方根.注意??.在具体解题时～符与“”的前面是什么符号～其计算结果也就是什aa 么符号～既不能漏掉～也不能多添. 2a，3a,12例3 若数的平方根是和，求的值. mm 分析:因负数没有平方根，故必为非负数，故本题应分两种情况来解.m 解: 因为负数没有平方根，故必为非负数. m 2a，3a,120a,3(1)当为正数时，其平方根互为相反数，故()+()=，解得，m 22a，32，3，3,9a,12,3,12,,9故=，，从而. a,9,81 002a，3,03a,43,0(2)当为时，其平方根仍是，故且，此时两方程联立无m 解. 81综上所述，的值是. m 2a，3a,12想一想:如果把例3变为:若和是数的平方根，求的值.你会解吗,mm请试一试. 二、创新题型 x,11,x例4 先阅读所给 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 ，再解答下列问题:若与同时成立，则的值应x x,11,x是多少,有下面的解题过程:和都是算术平方根，故两者的被开方数 x,11,x都是非负数,而和是互为相反数. 两个非负数互为相反数，只有一种情x,1,1,x x,11,xx,1形成立，那就是它们都等于0，即=0，=0，故. yx问题:已知求的值. y,1,2x，2x,1，2, 1x,解:由阅读材料提供的信息，可得故. 进而可得.故2x,1,0,y,22 211,,yx=. ,,,24,, 点评:这是一道阅读理解题.解这类问题首先要认真阅读题目所给的材料～ 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出正确的结论～然后用所得的结论解决问题. 例5 请你认真观察下面各个式子，然后根据你发现的规律写出第?、?个式子. 22?; 16,1，16,1，4,1，4,1，4,4 22?; 32,2，16,2，4,2，4,2，4,42 22?. 48,3，16,3，4,3，4,3，4,43 分析:要写出第?、?个式子，就要知道它们的被开方数分别是什么，为此应认真观察所给式子的特点.通过观察，发现前面三个式子的被开方数分别是序数乘以16得到的，故第?、?个式子的被开方数应该分别是64和80. 22解:?; 64,4，16,4，4,4，4,2，4,8 222?.80,5，16,5，4,5，4,5，4,5，4,45 点评:这是一个探究性问题～也是一道发展数感的好题～它主要考查观察、归纳、概括的能力(解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点～然后从特殊的例子～推广到一般的结论～这是数学中常用的方法～同学们应多多 体会 针灸治疗溃疡性结肠炎昆山之路icu常用仪器的管理名人广告失败案例两会精神体会 ～好好掌握: