常微分方程习题答案5.3

常微分方程习题答案5.3 习题5.3 1、 假设A是nn矩阵，试证: ， a) 对任意常数、都有 cc12 exp(A+A)=expA?expA cccc1122 b) 对任意整数k,都有 k(expA)=expkA k,1,k (当k是负整数时，规定(expA),[(expA)]) 证明:a) ?(A)?(A),(A)?(A) cccc1122 ? exp(A+A)= expA?expA cccc1122 kb) k>0时，(expA),expA?expA……expA ,exp(A+A+……+A) ,expkA k<0时，-k>0 k,1,k,k (expA),[(expA)]=[exp(-A)] = exp(-A)?exp(-A)……exp(-A) ,exp[(-A)(-k)] ,expkA k 故k，都有(expA)=expkA , ',(t)x2、 试证:如果是=Ax满足初始条件,的解，那么 ,,(t)0 ,(t),[expA(t-t)] ,0 t-1-1,(t),(s)f(s)ds证明:由定理8可知,Ф(t)Ф(t) ，Ф(t) ,0,t0 -1-1又因为Ф(t)= expAt , Ф(t)=( expAt)= exp(-At), f(s)=0, 000 又因为矩阵 (At)?(- At)=(- At)?(At) 00 ,(t)所以 ,[expA(t-t)] ,0 3、 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量 i 2,33,,,,12,,,,a) b) 4,53,,,,43,,,,4,42,, 010121,,,,,,,,c) d) 0011,11,,,, ,,,,201,6,11,6,,,, ,,1,2,,,解:a)det(E,A)==(,5)(+1)=0 ,4,,3 ?=5, =,1 ,,12 ,,,,,0对应于,,=5的特征向量u=, () ,1,,2,,, ,,,,,0=,1的特征向量v=, () 对应于,,,2,,,,,, ,,,,b) det(E,A)=(+1)(+2)(,2),0 ?,,1，,2，,,2 ,,,312 1,,,,对应于,,1的特征向量u,， ( 0 ) 1,,,,1,,1 ,,0,, 1,,,,,,0对应于,2的特征向量u,， ( ) ,1,2,,2 ,,1,, 0,,,,,,0对应于,,2的特征向量u,， ( ) ,,13,,3 ,,1,, ,,1,2,1 2,,1，1,1,,,c)det(E,A)=,(+1)(,3),0 ,20,,1 ?,,1(二重)，,3 ,,12 ii ,1,,,,对应于,,1(二重)的特征向量u,， ( 0 ) ,2,,,,,1 ,,,2,, 2,,,,,,0对应于,3的特征向量v,, ( ) ,1,,,2 ,,2,, ,,10 ,,,,,d) det(E,A)=0,1=(+3)(+1)(+2)=0 611,，6 ?,,1，,,2，,,3 ,,,312 1,,,, 对应于,,1的特征向量u,， ( 0 ) ,,1,,,1,,1 ,,1,, 1,,,,,,0 对应于,,2的特征向量u,， ( ) ,,2,2,,2 ,,4,, 1,,,,,,0 对应于,,3的特征向量u,， ( ) ,,,33,,3 ,,9,, 'x4、 试求方程组=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为: ,2112,,,,,,,,a) b) ,,,,43,12,,,, 2,33103,,,,,,,,c)4,53 d) 81,1,,,,,,,,51,14,42,,,, ,解:a)det(E,A)=0得,，,, 33,,12 1,,,,对应于的特征向量为u,， ( 0 ) ,,,,1,,2，3,, iii 1,,,,0,,,对应于的特征向量为v,， ( ) ,2,,2,3,, 11,,,,,,,,?u,，v,是对应于，的两个线性无关的特征向量 ,,12,,,,2，32,3,,,, 3t,3t,,ee,,Ф(t)=是一个基解矩阵 3t,3t,,(23)e(23)e，,,, 3t,3t3t,3t,,1(23)e(23)eee,,，，,,, ExpAt= 3t,3t3t,3t,,23ee(23)e(23)e,，，,,,, ,b) 由det(E,A)=0得,5，,,1 ,,12 11,,,,,,解得u,,,，v,是对应于，的两个线性无关的特征向量 ,,12,,,,2,1,,,, 5t,t,,ee,, 则基解矩阵为Ф(t),5t,t,,2ee,,, 11,,,,11,,,133,,,,Ф(0), Ф(0), ,,212,1,,,,,,,33,, 5t,t5t,t,,e2eee，,1,1,,则expAt,Ф(t) Ф(0), 5t,t5t,t,,32e2e2ee,，,, , c) 由det(E,A)=0得,2，,,2，,,1 ,,,312 2t,t,,e0e,,2t,2t,teee 解得基解矩阵Ф(t), ,, ,,2t,2tee0,, 1,11,,,,,1Ф,110(0), ,, ,,01,1,, 2t2t,t2t,t,,eeeee,，,,,,12t,2t2t,2t,t2t,teeeeeee,,，，, 则expAt,Ф(t) Ф(0), ,, ,,2t,2t2t,2t2teeeee,,，,, iv ,d)由det(E,A)=0得,,3，,2，，,2, 77,,,312 ,,,,,3t(2，7)t(2,7)t3eee,,,475475,,,,,,3t(2，7)t(2，7)t解得基解矩阵Ф(t),7 eee,,33,,1717，,,3t(2，7)t(2，7)t,,4eee33,, ,1则expAt,Ф(t) Ф(0), ,,87247247,,，，,3t(2，7)t(2,7)t,,，，eee333,,,,1567122287122287,,,,3t(2，7)t(2,7)t，，eee ,,99947,,32726272627，,，,,,3t(2，7)t(2,7)te，e，e,,999,, 'x5、试求方程组=Ax的基解矩阵，并求满足初始条件 ,(0),,的解,(t)123,,,,,,,,,a)A,,,,,,433,,,, 1030,,,,,,,,,b)A,81,1,,2 ,,,, ,,,,51,1,7,,,, 1211,,,,,,,,cA,),1,11,0,,,, ,,,,2010,,,, 5t,t,,ee,, 解:a)由第4题(b)知，基解矩阵为 5t,t,,2ee,,, ,,3,,,,,,,,,,,,, ,,，,,,,,,32,,,,,,,,, 所以 ,,2,,,1 5t,t,,2ee，,,(t), , 5t,t,,4ee,,, v b)由第4题(d)知，基解矩阵为 ,,,,,3t(2，7)t(2,7)t3eee,,,475475,,,,,,3t(2，7)t(2，7)t 7Ф(t), eee,,33,,1717，,,3t(2，7)t(2，7)t,,4eee33,,所以 ,,52742674267,,,,3t(2，7)t(2,7)t,,，，eee333,, ,,1364774814677481467,,，，,3t(2，7)t(2,7)t (),，，teee,,,99947,,2087178227178227,,,,,,,3t(2，7)t(2,7)te，e，e,,999,, c) 由3(c)可知，矩阵A的特征值为,3，,,1(二重) ,,12 ,,,,,,2,,,,,,,, 对应的特征向量为u,，u, ,12,,1,,,,4，2,,,,,,,,,,3,, ,,,,,,21,,,,,,,,,,,, ?,， 0,,,,,,,,4，2,,,,,,0,,,,,,,,3,, 111,,,,,,,,,,,,422,,,,,111,,,,,,,？,, 解得vv ,12,,,,244,,,,,111,,,,,,,,,,422,,,,, 3t,t ,(t),eEv，e[E，t(A，E)]v12 11,,3t,te，e,,22,,113t,t,,, e,e,,44,,113t,tee,,,22,, vi 'x,(t)6、 求方程组=Ax，f(t)的解: t112,,,e,,,,,,,,,,,a)(0),A,f(t),,,,,,,,,1431,,,,,, 0100,,,,,,,,, b)(0),0,A,001,f(t),0,,,, ,t,,,,,6,11,6e,,,, ,43sint,,,,,,,1,,,,,,,c)(0),,A,,f(t),,,,,,,,2,1,2cost2,,,,,, 'x解:a)令=Ax的基解矩阵为Ф(t) ,,,,()det()(5)(1)0p,E,A,,，, 所以,,5，,,,112 5t,t,t,t,,,,eeee,,1,1,,,,解得Ф(t),， 则Ф(t), 4t5t,t55tt,,,,,3e2ee2ee,,,,,, ,1,1,,1,1,,Ф(0), ,,,,213,, 312,,5t,tte,e,e,,,2045,,,(t)求得, 3115t,tt,,eee，,，,,1025,, ,b)由det(E,A)=0得,,1，,,2，,,3 ,,,312 设对应的特征向量为v，则 ,11 ,,,,,, (E,A)v=0，得v, ,,,0,11,,1 ,,,,,, 11,,,,,,,,,,,1,,32,,,,,, 取v,，同理可得v ,，v, 111123,,,,,,,,,,,,,1,3,2,,,,,,,,,, vii 11,,,1,,,,23,, 则Ф(t),111 ,, ,,,1,2,3,,,, 131,,,2t,3t,t,te,e,e，te,,442,,351,2t,3t,t,t,,从而解得 ,(t),,2e，e，e,te,,442,,971,2t,3t,t,t4eeete,,，,,442,, 'xc)令=Ax的基解矩阵为Ф(t) ,由det(E,A)=0得,1，,2 ,,12 3,,t2tee,,解得对应的基解矩阵为Ф(t), 2,,t2t,,ee,, 3,,,t,t,23,,e,e,,,1,1,2,,?Ф(t), 从而Ф(0), 2,,,,,2t,2t2,2,,,,ee,,, t,,11,,,,,,(t),(t)(0)(0)，(t)(s)f(s)ds,0 t2t? ,,,,,,cost,2sint，e(,4,2，3)，3e(1，,)1212,,,tt2,,2cost,2sint，e(,4,,2，,3)，2e(1，,,,)1212,, 7、 假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组 mtx',Ax，ce 有一解形如 mt ,(t),pe 其中c，p是常数向量。 mt 证:要证是否为解，就是能否确定常数向量p ,(t),pe mtmtmt pme,Ape，ce 则p(mE,A),c 由于m不是A的特征值 viii mE,A,0故 mE,A存在逆矩阵 ,mt1那么p,c(mE,A) 这样方程就有形如的解 ,(t),pe 8、 给定方程组 '',3'，2，',,0xxxxx,11122 ,x',2x，x'，x,01122, a) 试证上面方程组等价于方程组u’=Au,其中 010ux，，，，，，11,,,,,,u,，A=,442 ,ux'21,,,,,, ,,,,,,2,1,1ux32，，，，，，b) 试求a)中的方程组的基解矩阵 c) 试求原方程组满足初始条件 x(0)=0, x’(0)=1, x(0)=0 112的解。 证:a)令 则方程组?化为 u,x,u,x',u,x112132 u'x'u,,,112,u'x''3u2uu'u,,,,， ,212133,u'x'u2uu,,,，,32213, 010,,,,即u’,u’=Au ? ,442u,, ,,2,1,1,, 反之，设x=u,x’=u,x=u则方程组?化为 111223 ,,，，x''4x4x'2x,1112,x',2x,x',x,2112 ,,,，x''2x'2xx'x,11122,,x'2xx'x,,,2112, ,b)由det(E,A)=0得,0，,1，,2 ,,,312 u,,01,,,2,,,uuu4,4,2,0由 得 u,,0,,0,,,1231 ,,,uuu,2，，,02123,,,同理可求得u和u 23 ix ,,111,,,,,,,,,,,,取 ,0,,1,,2vvv,,,,123,,1,,,,20,,,,,,2,, ,,t2t1ee,, t2t,,则是一个基解矩阵 (t),0e2e,,,1t,,2e02,, c)令，则?化为等价的方程组?且初始条件变为u,x,u,x',u,x112132 而?满足此初始条件的解为: u(0),0,u(0),1,u(0),0.123 13,,t2t,2e，e,,0,,22,,,,2AtAttt, ? e,e1,,2e，3e,,,, t,,,,01e,,,,,,, 于是根据等价性，?满足初始条件的解为?式 9、 试用拉普拉斯变换法解第5题和第6题。 证明:略。 10、 求下列初值问题的解: x'，x',0,,,12a)(0),1,(0),0,12x',x',1,12 x''，3x'，2x，x'，x,0,11122b),x'，2x，x',x,0,1122 ,,,(0),1,'(0),,1,(0),0 112 2,x'',mx,012c),2x''，mx,0,21 x(0),,,x'(0),,,x(0),,,x'(0),,11122324 11解:a)根据方程解得, ， ,, x'x'1222 11?,t，，,,t， xcxc112222 ? ,(0),11 x 11?0，,1 ?,1 ?,t，1 ccx，11122 ?,(0),02 11?,0，,0 ?,0 ?,,t ccx，22222 1,t，1 综上:x12 1 ,,t x22 b)对方程两边取拉普拉斯变换，得 2,(),，1，3((),1)，2()，()，(),0sXsssXsXssXsXs11122,sX(s),1，2X(s)，sX(s),X(s),01122, 解得 2s,3211111X(s),,,，,，,1(s，1)(s，2)(s,2)3s，14s，212s,2 ,s,21111X(s),,,,,2(s，1)(s，2)(s,2)3s，13s,2 211,t,2t2t,(t),e，e，e13412? 1,t2t,(t),(e,e)23 c)对方程两边取拉普拉斯变换，得 ,,22,sX(s),s,,mX(s),01122,,,22sX(s),s,，mX(s),0,2342 22,,,sX(s),mX(s),s，1212即,22,,mX(s)，sX(s),s，,1234 3222,,,,s，s，ms，m1234解得X(s),144s，m 3222,s，,s,m,s,m,3412X(s),244s，m xi m,t122m212m,,,,,,,2(t),[(,，)cost，(,，)sint],e112423424m4m4m24m22 mt122m212m,,,,,,2，[(，,)cost，(，，)sint],e12423424m4m4m24m22 m,t212m122m2,,,,,,,(t),[(,，,)cost，(,，)sint],e22341244m24m24m4m22 mt212m122m2，[(,，,，,)cost，(,,,,，,)sint],e2341244m24m24m4m22 ,(x)11、 假设y,是二阶常系数线性微分方程初值问题 y''，ay'，by,0, ,y(0),0,y'(0),1, xy,,(x,t)f(t)dt 的解，试证是方程 ,0 y''，ay'，by,f(x) 的解，这里f(x)为已知连续函数。 x,(x,t)f(t)dt 证明:y, ,0 xx,(0)f(x)，,'(x,t)f(t)dt,,'(x,t)f(t)dt ?y’, ,,00 xxnny'',,(x,t)f(t)dt，,'(0)f(x),,(x,t)f(t)dt，f(x) ,,00 ? xxxy''，ay'，by,,''(x,t)f(t)dt，f(x)，a,'(x,t)f(t)dt，b,(x,t)f(t)dt ,,,000 x,[''(x,t)，a'(x,t)，b'(x,t)，b(x,t)]f(t)dt，f(x),,,,,0 ,f(x) 02412,04丁晶晶 02412,05徐雪輝 xii