高中数学复习讲义 高考导数总结

高中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 复习讲义 高考导数 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 第十四章 导数及其应用 京翰提示:以下内容主要列举了高三数学导数部分的相关知识点及典型例题解析，以课本内容为基础，分课时的 对导数部分进行复习和总结，从而对导数有了更加透彻的认识和了解 导数的概念 导数的求法和、差、积、商、复合函数的导数 导数 函数的单调性 导数的应用函数的极值 函数的最值 第1课时 变化率与导数、导数的计算 ,y,x1(导数的概念:函数y,的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比 f(x)f(x),x,x ,的 ，即, , ( f(x) 2(导函数:函数y,在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ， f(x)f(x) ,,其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或， f(x)yf(x)x ,函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数. f(x)x,xf(x)xf(x)00 3(导数的几何意义:设函数y,在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示曲线在相应点 处xM(x,y)f(x)000 的 . 4(求导数的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 (1) 八个基本求导公式 n,,,,, ; , ;(n?Q) , ， , (x)(C)(sinx)(cosx)xx,,,,, ， , , ， , (a)(logx)(e)(lnx)a(2) 导数的四则运算 第 1 页 共 12 页 TOSIX BOX tosix ,,, , (u,v)[Cf(x)] u,,, ， , ()(uv)(v,0)v (3) 复合函数的导数 ,设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且, ，即u,,(x)y,f(u)u,,(x)f[,(x)]f(x),,,. y,y,uxux 典型例题 2例1(求函数y=在x到x+Δx之间的平均变化率. x，100 222(x，,x)，1,x,1x,x，,x,yx，,x2()2220000,？,(x，,x)，1,x，1,解 ?Δy= ,.00222222,xx，,x，，x，x，,x，，x，(x，,x)，1，x，1()11()11000000 变式训练1. 求y=在x=x处的导数 x0 x，,x,x(x，,x,x)(x，,x，x),y11000000lim,lim,lim,lim,.解 0000,x,,x,,x,,x,,x,xxxxx,x(x，,x，x)，,，200000 例2. 求下列各函数的导数: 5x，x，xsin (1)y, (2) ;y,(x，1)(x，2)(x，3);2x xx11,,2 (3) (4) sin12cos;y,，.y,,,,,241,x1，x,, 133552,,,x，x，xx3sinsin33,22,3,2222,,, 解 (1)? ?y′ y,,x，x，,(x)，(x)，(xsinx),,x，3x,2xsinx，xcosx.,222xx 2322 (2)y=(x+3x+2)(x+3)=x+6x+11x+6，?y′=3x+12x+11. ,xx1111,,,,,, (3)?y=,sin,cos,sinx,? y,sinx,(sinx),cosx.,,,,222222,,,, ,,,,x111，x，1,x222(1)2,,,y,，,,y,,,(4) ， ?. ,,221,x,x1,x,x1,x1，x(1,x)(1，x),,(1)(1) ,22,,xxx,xxx，xsin(sin)cossin(cos)cossin1,,,,,,变式训练2:求y=tanx的导数. 解 y′ .,,222xcosxxx,,coscoscos 第 2 页 共 12 页 TOSIX BOX tosix 143例3. 已知曲线y=(1)求曲线在x=2处的切线方程; x，.33 (2)求曲线过点(2，4)的切线方程. 2 解 (1)?y′=x,?在点P(2，4)处的切线的斜率k=| y,x=2?曲线在点P(2，4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 1414,,323(2)设曲线y=与过点P(2，4)的切线相切于点，则切线的斜率k=|=. Axxx,，y,x，,,x,x00003333,, 1424,,3223?切线方程为即 y,x，,x(x,x),y,x,x,x，.,,000003333,, 2423232223?点P(2，4)在切线上，?4= 即? x,3x，4,0,？x，x,4x，4,0,x(x，1),4(x，1)(x,1),0,2x,x，,0000000000033 2?(x+1)(x-2)=0,解得x=-1或x=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 0000 321变式训练3:若直线y=kx与曲线y=x-3x+2x相切，则k= . 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 2或 ,4 1f(x),ax，例4. 设函数 (a,b?Z)，曲线在点处的切线方程为y=3. y,f(x)(2,f(2))x，b (1)求的解析式; f(x) (2)证明:曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定y,f(x) 值. 1,9,2a，,3,a,,,,a,1,,b2，1,,4f,(x),a,(1)解 ， 于是解得或 ,,,21b,,1,8(x，b),,,a,,0,b,,.2,,3(2，b),, 1,因为a,bZ，故 f(x),x，.x,1 ,,11,,f,(x),1,xx,，(2)证明 在曲线上任取一点( 由知， 0002,,(x,1)x,100,, 2，，x,x，1100过此点的切线方程为y,,1,(x,x)( ,,02x,1(x,1)00，， ,,x，1x，100,,y,令x=1，得，切线与直线x=1交点为1,( ,,x,1x,100,, 令y=x，得，切线与直线y=x的交点为( y,2x,1(2x,1,2x,1)000 第 3 页 共 12 页 TOSIX BOX tosix 直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)( x，11120从而所围三角形的面积为(所以，所围三角形的面积为定值2. ,12x,1,1,2x,2,2002x,12x,100 432变式训练4:偶函数f(x)=ax+bx+cx+dx+e的图象过点P(0，1)，且在x=1处的切线方程为y=x-2， 求y=f(x)的解析式 解 ?f(x)的图象过点P(0，1)，?e=1. 又?f(x)为偶函数，?f(-x)=f(x) 432432故ax+bx+cx+dx+e=ax-bx+cx-dx+e. ?b=0，d=0. ? 42?f(x)=ax+cx+1. ?函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2，?可得切点为(1，-1) ?a+c+1=-1. ? 3?=(4ax+2cx)|=4a+2c，?4a+2c=1. f,(1)x=1 595942由??得a=，c=函数y=f(x)的解析式为 f(x),x,x，1.,2222 第2课时 导数的概念及性质 1( 函数的单调性 ,,? 函数y,在某个区间内可导，若,0，则为 ;若,0，则为 . f(x)f(x)f(x)f(x)f(x) (逆命题不成立) ,(2) 如果在某个区间内恒有，则 . f(x),0f(x) 注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ? 确定函数的 ; f(x) ,? 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根; f(x) ? 把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来， f(x)f(x) 第 4 页 共 12 页 TOSIX BOX tosix 然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间; f(x) ,,? 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性. f(x)f(x)f(x) 2(可导函数的极值 在点附近有定义，且对附近的所有点都有 (或 )， ? 极值的概念: 设函数xxf(x)00 则称为函数的一个极大(小)值(称为极大(小)值点. f(x)x00? 求可导函数极值的步骤: ,? 求导数; f(x) ,? 求方程,0的 ; f(x) ,,? 检验在方程,0的根左右的符号， f(x)f(x) 如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y,在这个根处取得 ; f(x) 如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y,在这个根处取得 . f(x) 3(函数的最大值与最小值: ? 设y,是定义在区间[a ,b ]上的函数，y,在(a ,b )内有导数， f(x)f(x) 则函数y,在[a ,b ]上 有最大值与最小值;但在开区间内 有最大值与最小值( f(x) (2) 求最值可分两步进行: ? 求y,在(a ,b )内的 值; f(x) ? 将y,的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. f(x)f(a)f(b) (3) 若函数y,在[a ,b ]上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ; f(x)f(a)f(b) 若函数y,在[a ,b ]上单调递减，则为函数的 ，为函数的 . f(x)f(a)f(b) x例1. 已知f(x)=e-ax- (1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围; (3)是否存在a,使f(x)在(-?，0,上单调递减，在,0，+?)上单调递增,若存在，求出a的值;若不存在，说 明理由. 第 5 页 共 12 页 TOSIX BOX tosix x解:=e- f,(x) x(1)若a?0，=e-a?0恒成立，即f(x)在R上递增 f,(x) xx若a>0,e-a?0,?e?a,x?lna.?f(x)的单调递增区间为 xx(2)?f(x)在R内单调递增，??0在R上恒成立-a?0，即a?e在R上恒成立 f,(x) xx?a?(e)，又?e>0， min x(3)方法一 由题意知e-a?0在(-?，0,上恒成立 xx?a?e在(-?，0,上恒成立.?e在(-?，0,上为增函数 xx?x=0时，e最大为1.?a?1.同理可知e-a?0在,0，+?)上恒成立 x?a?e在,0，+?)上恒成立.?a?1， 0方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.?=0,即e-a=0,?a=1. f,(0) 3变式训练1. 已知函数f(x)=x-ax- (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1，1)上单调递减,若存在，求出a的取值范围;若不存在，说明理由; 3(3)证明:f(x)=x-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方 2(1)解 由已知=3x-a,?f(x)在(-?,+?)上是单调增函数， f,(x) 22?=3x-a?0在(-?,+?)上恒成立，即a?3x对x?R恒成立 f,(x) 223?3x?0,?只需a?0,又a=0时，=3x 故f(x)=x-1在R上是增函数，则 f,(x) 22(2)解 由=3x-a?0在(-1,1)上恒成立，得a?3x,x?(-1,1)恒成立 f,(x) 22?-10,即e(-ax+2x)>0,得02时,f(x)在(1，2)上是减函数?f(x)=f(1)=e. maxa 2222-2-2,,,,,,?当1??2,即1?a?2时，在上是增函数，在上是减函数，=f=4ae. 1,,2,,,,,,maxaaaa,,,,,, 2-2a?当>2时，即02时，f(x)的最大值为e. 2变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)(x?R),其中 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程; (2)当a?0时，求函数f(x)的极大值和极小值. 第 7 页 共 12 页 TOSIX BOX tosix 2322解:(1)当a=1时，f(x)=-x(x-1)=-x+2x--2,=-3x+4x--12+8-1=- f,(x)f,(2),?当a=1时，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为5x+y-8=0. a232222(2)f(x)=-x(x-a)=-x+2ax-ax,=-3x+4ax-a=-(3x-a)(x-a),令=0,解得x=或x=a. f,(x)f,(x)3由于a?0，以下分两种情况讨论 ?若a>0，当x变化时，的正负如下表: f,(x) aaa) (,a) (-?,x a (a,+?) 333 f,(x)- 0 + 0 - 43 ,af(x) ? ? 0 ? 27 4aaa3因此，函数f(x)在x=处取得极小值f()，且f()=- a;33327 函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且 ?若a<0，当x变化时，的正负如下表: f,(x) aaa(a,) (,+?) x (-?,a) a 333 f,(x)- 0 + 0 - 43- af(x) ? 0 ? ? 27 aa4a3因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;函数f(x)在x=处取得极大值f()且f()=-. a27333 例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3?a?5)的管理费， 2预计当每件产品的售价为x元(9?x?11)时，一年的销售量为(12-x)万件 (1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a). 2解 (1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x),x?,9,11, 22L,(2) =(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-令=0得x=6+a或x=12(不合题意，舍去) L,(x)3 2822?3?a?5,?8?6+a?在x=6+a两侧L′的值由正变负 333 第 8 页 共 12 页 TOSIX BOX tosix 292所以?当8?6+a,9即3?a,时，L=L(9)=(9-3-a)(12-9)=9(6- max32 2139222282?当9?6+a?，即?a?5时，L=L(6+a)=(6+a-3-a),12-(6+a),=4(3-a). max3233333 9,9(6,),3,,,aa,2,(),所以Qa ,319,,,43,,,,5.aa,,,32,,, 9答 若3?a,，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6-a)(万元); 2 312,,9若?a?5，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= (万元). 43,a,,233,, 导数及其应用单元检测题 一、选择题 x21.曲线y=e在点(2，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) 2922 2 e C.e D.e 42 2.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=的图象可能是 ( ) f,(x) 23.设f(x)=x(2-x),则f(x)的单调增区间是( ) 444 B.(+?) C.(--?,0)?(,+?) ),333 x4.设a?R,若函数y=e+ax,x?R有大于零的极值点，则 11--1 -- ee 325.已知函数y=f(x)=x+px+qx的图象与x轴切于非原点的一点，且y=-4，那么p、q的值分别为( ) 极小值 26.已知x?0,y?0，x+3y=9,则xy的最大值为( ) A.36 2x7.下列关于函数f(x)=(2x-x)e的判断正确的是( ) 第 9 页 共 12 页 TOSIX BOX tosix ?f(x)>0的解集是{x|02或c<-1，所以c的取值范围为(-?，-1)?(2，+?). max 3218.解 命题p:由原式得f(x)=x-ax- 2?=3x-2ax-4,y′的图象为开口向上且过点(0，-4)的抛物线 f,(x) 4a，8,0,由条件得?0且即?- f,(,2)f,(2),8,4a,0., 22命题q:该不等式的解集为R，?a<- x,2x,(x,1),1,a 当p正确q不正确时,-当p不正确q正确时，a<-的取值范围是(-?，-2)?,-1，2, 32219.解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x-(a+1)x+ax?=3x-2(a+1)x+a f,(x) 2要使函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+?)上是增函数，只需=3x-2(a+1)x+a在(2，+?)上满足?0 f,(x)f,(x) a，1,a，1,,2,,2a，12,,3即可. ?=3x-2(a+1)x+a的对称轴是x=的取值应满足:或 f,(x)3,,a，13,,f,(2),0f,(),0,,3, 88解得:a?.?a的取值范围是a?. 33 220.解 (1)?函数F(x)=f(x)-3x是奇函数-x)=-F(x)，化简计算得 322?函数f(x)在x=-1处取极值，?-2x+3x+cx, =-6x f,(,1)f,(x) 32?=-6-6+c=0,c=12. ?f(x)=-2x+3x f,(,1) 22(2)=-6x+6x+12=-6(x-x-令=0,得x=-1,x f,(x)f,(x)12 (2，x -3 (-3,-1)-1 (-1,2)2 3 3) f,(x) - 0 + 0 - f(x) 45 ? -7 ? 20 ? 9 ?函数f(x)在,-3，-1,和,2，3,上是减函数， 函数f(x)在,-1，2,上是增函数. 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开) 第 12 页 共 12 页 TOSIX BOX tosix