2012年高考数学试卷及解析上海卷(理科)

2012年高考数学试卷及解析上海卷(理科) 2012年全国普通高等学校招生统一考 试 上海数学试卷(理) 一、填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (56分): 3,ii1(计算: (为虚数单位)。 ,1，i A:B,2(若集合，，则 。 A,{x|2x，1,0}B,{x||x,1|,2} 2　　　cosx3(函数的值域是 。 f(x),sinx　　,1 ll4(若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 (结果用反三角n,(,2,1) 函数值表示)。 265(x,)(在的二项展开式中，常数项等于 。 x 16(有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记2 lim(V，V，？，V),为，则 。 V，V，？，V，？12n12n,,n |x,a|(已知函数7(为常数)。若在区间上是增函数，则的取值范围aaf(x)[1,，,)f(x),e 是 。 2,8(若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体‎‎积为 。 29(已知是奇函数，且，若，则 。 f(1),1g(x),f(x)，2g(,1),y,f(x)，x ,ll,10(如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角，若将的极坐标方M(2,0),6程写成的形式，则 。 ,,f(,)f(,), 11(三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示)。 ,ABCDN，A,ABADM12(在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别3 1 / 19 |BM||CN|,BCCD是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。 AM,AN |BC||CD| 1ABC13(已知函数的图象是折线段，其中、、， B(,5)y,f(x)A(0,0)C(1,0)2 0,x,1函数()的图象与轴围成的图形的面积为 。 xy,xf(x) 二、选择题(20分): 21，2ix，bx，c,015(若是关于的实系数方程的一个复数根，则( ) x A( B( C( D( b,2,c,3b,,2,c,3b,,2,c,,1b,2,c,,1 222,ABC,ABCsinA，sinB,sinC16(在中，若，则的形状是( ) A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形 D(不能确定 4517(设，，随机变量取值x、x、x、x、x的,10,x,x,x,x,10x,1012345151234 x，xx，xx，xx，xx，x23344551120.2、、、、概率均为，随机变量取值的概率也均,2222220.2为，若记分别为的D,、D,,、,方差，则( ) 1212 A(D,,D, B(D,,D, 1212 x、x、x、xD,,D,D,D, C( D(与的大小关系与的取值有关 12341212 1n,sin,aS,a，a，？，aS,S,？,S18(设，，在中，正数的个数是( ) nn12n1210025n A(25 B(50 C(75 D(100 三、解答题(74分): 2 / 19 P,ABCDABCDABCD19((6+6=12分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，PA, PC是的中点，已知，，，求: EAB,2PA,2AD,22 PCD(1)三角形的面积; BC(2)异面直线与所成的角的大小。 AE 20((6+8=14分)已知函数( f(x),lg(x，1) (1)若，求的取值范围; x0,f(1,2x),f(x),1 0,x,1(2)若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数g(x)g(x),f(x)y,g(x)()的反函数。 x,[1,2] 21((6+8=14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正y 122y,xA南方向12海里处，如图(现假设:?失事船的移动路径可视为抛物线;?定49位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;?救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标t 7t为( t,0.5P(1)当时，写出失事船所在位置的纵坐标(若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船, 2222((4+6+6=16分)在平面直角坐标系中，已知双曲线:( CxOy2x,y,11 (1)过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的CCx11 三角形的面积; 22llP(2)设斜率为1的直线交C于、两点，若与圆相切，求证:; QOP,OQx，y,11 22NOM,ONMCCC(3)设椭圆:，若、分别是、上的动点，且，4x，y,1221 OMN求证:到直线的距离是定值。 X,{,1，x，x，？，x}0,x,x,？,x23((4+6+8=18分)对于数集，其中，12n12nn,2，定义向量集，若对任意，存在，使Y,{a|a,(s,t),s,X,t,X}a,Ya,Y12 3 / 19 得，则称具有性质(例如具有性质( XPP{,1,1,2}a,a,012 x,2(1)若，且具有性质，求的值; Px{,1,1,2,x} (2)若具有性质，求证:，且当时，; XP1,Xx,1x,1n1(3)若具有性质，且、(为常数)，求有穷数列的通XPqx，x，？，xx,1x,q12n12 项公式。 4 / 19 2012年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷(理) 【试卷总评】2012年上海高考数学试卷的考题，着重考查高中数学的基本知识与基本内容。试题本着有利于推进素质教育、有利于高校选拔新生、有利于培养学生创新和实践能力的原则来设计的。考题紧紧围绕教材，一道两人同一天生日的客观题是教材的例题改编，也是概率论的经典问题，用以说明有些直观想法可能与实际结果相差很远，间接告诉人们要理性分析科学问题。另一个随机变量的数学期望问题也来自教材，但改编成一个马老师和牛同学的小故事，题目只要知道概率和为1和数学期望的求法，比较容易得分。考题中有个别小题具有一定难度。例如，理科14题考查二分法，但与通常求函数零点的问题有所不同，它要找一个线段上到原点距离为2的点，通常二分法的结论很明显，而考题把这点隐含在设问之中;又如理科23题的第3小题，有3个分层评分的情形，理解了问题的定义后，考生可以依据自己的剩余时间和平时对数学问题的钻研程度决定选做的情形。理科的22题的第3小题关键是如何根据不同的情况理出正确的思路。少量有一定难度试题的设计，是为了进一步考察那些能力较强的考生。考题弱化了对计算器的依赖，试题的设计尽可能避免利用计算器直接给出答案，从而提醒考生，不能用计算器代替数学学习和分析。今年的主观题中没有应用题，也没有难度较大的圆锥曲线内容的考题。并不是命题组对这两类问题的忽视，而是表明命题没有严格的套路，试卷的结构和形式不能走入“八股”的模式。本次试卷一个明显特点是考查考生对数学概念的领悟能力。多个题目本身不难，大多数考生可以解答。若不加分析就计算，可能就会失分。要是先进行分析和探索，综合自己掌握的数学知识，对问题找到合适的切入点，问题就迎刃而解。较难的几个小题，估计不少同学可以部分得分，但满分恐怕只有那些平时想问题较深入的考生可以获得。整卷的试题计算量较小，总体难度中等偏易，鼓励考生理解数学概念的本质，提高分析问题的能力。 一、填空题(56分): 3,ii,1(计算: (为虚数单位)。 1，i 5 / 19 A:B,2(若集合，，则 。 A,{x|2x，1,0}B,{x||x,1|,2} 考点定位:本题考查解不等式及集合的运算，意在考查考生的计算能力及数形结合的能力 2　　　cosx3(函数的值域是 。 f(x),sinx　　,1 ll4(若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 (结果用反三角n,(,2,1) 函数值表示)。 26(x,)5(在的二项展开式中，常数项等于 。 x 6 / 19 16(有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记2 lim(V，V，？，V),为，则 。 V，V，？，V，？12n12n,,n 8答案: 7 33(1)n,1118,,,,解析: VVV，，，,，，，,,lim(...)lim(1...)12n,,,,3nn,,,,227,,,,1,,1,,,2,,考点定位:本题考查等比数列中的极限问题，意在考查考生对无穷等比数列极限的理解应用能力。 |x,a|7(已知函数(为常数)。若在区间上是增函数，则的取值范围aaf(x)[1,，,)f(x),e 是 。 2,8(若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体‎‎积为 。 7 / 19 29(已知是奇函数，且，若，则 。 f(1),1g(x),f(x)，2g(,1),y,f(x)，x ,l,10(如图，在极坐标系中，过点的直线与极轴的夹角， M(2,0),6 l若将的极坐标方程写成的形式，则 。 ,,f(,)f(,), 1答案: ,,,,sin(),6 解析:在极坐标系中，过点且与极轴P(,),,的夹角的直线方程为,11 ,,,,,,,,sin()sin(),,,，所以过点且与极轴的夹角的直线方程为M(2,0),116 ,,1sin()2sin,,，整理得。 ,,,,,66,sin(),6 考点定位:本题考查直线的极坐标方程，意在考查考生对极坐标系中的直线方程的求法。 11(三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 (结果用最简分数表示)。 8 / 19 ,ABCDN12(在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别，A,ABADM3 |BM||CN|,BCCD是边、上的点，且满足，则的取值范围是 。 AM,AN |BC||CD| 1 1ABCB(,5)3(已知函数的图象是折线段，其中、、， y,f(x)A(0,0)C(1,0)20,x,1函数()的图象与轴围成的图形的面积为 。 xy,xf(x) 5答案: 4 9 / 19 二、选择题(20分): 21，2ix，bx，c,015(若是关于的实x系数方程的一个复数根，则( ) A( B( C( D( b,2,c,3b,,2,c,3b,,2,c,,1b,2,c,,1答案:B 2i12，xbxc，，,0x解析:因为是关于的实系数方程的一个复数根， 2所以，即， (12)(12)0，，，，,ibic(1)2(2)0bcbi，,，，, 10 / 19 bc，,,10,,所以，解得 bc,,,2,3,2(2)0，,b,, 考点定位:本题考查实系数一元二次方程的复数根问题，意在考查考生对应系数相等法求方 程的系数 222,ABC,ABC16(在中，若，则的形状是( ) sinA，sinB,sinC A(锐角三角形 B(直角三角形 C(钝角三角形 D(不能确定 4517(设，，随机变量取值的x、x、x、x、x,10,x,x,x,x,10x,1012345151234 x，xx，xx，xx，xx，x23344551120.2、、、、概率均为，随机变量取值的概率也均,2222220.2为，若记分别为的方差，则( ) D,、D,,、,1212 A( B( D,,D,D,,D,1212 C( D(与的大小关系与的取值有关x、x、x、x D,,D,D,D,12341212 11 / 19 1n,sin,a18(设，S,a，a，？，a，在S,S,？,S中，正数的个数是( ) nn12n1210025n A(25 B(50 C(75 D(100 12 / 19 三、解答题(74分): P,ABCDABCDABCD19((6+6=12分)如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，PA, PC是的中点，已知，，，求: EAB,2PA,2AD,22 PCD(1)三角形的面积; BC(2)异面直线与所成的角的大小。 AE 20((6+8=14分)已知函数( f(x),lg(x，1) x(1)若0,f(1,2x),f(x),1，求的取值范围; 0,x,1(2)若是以2为周g(x)期的偶函数，且当时，有g(x),f(x)，求函数y,g(x)x,[1,2]()的反函数。 13 / 19 21x答案:(1)，(2) yx,,,310,0,lg2,,,x,,33 220,,x,,,,11x解析:(1)由，得， ,x，,10, 22,x22,x由，得 110,,0lg(22)lg(1)lg1,,,，,,xxx，1x，1 21((6+8=14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正 122y,xA南方向12海里处，如图(现假设:?失事船的移动路径可视为抛物线;?定49位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;?救援船出发小时后，失事船所在位‎‎置的横坐标t 7t为( t,0.5P(1)当时，写出失事船所在位置的纵坐标(若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向; (2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船, 14 / 19 2222((4+6+6=16分)在平面直角坐标系中，已知双曲线:( CxOy2x,y,11(1)过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的CCx11 三角形的面积; 22llP(2)设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证:; CQOP,OQx，y,11 22NOM,ONM(3)设椭圆:，若、分别是、上的动点，且，CCC4x，y,1221 OMN求证:到直线的距离是定值。 15 / 19 16 / 19 23((4+6+8=18分)对于数集X,{,1，x，x，？，x}，其中0,x,x,？,x，12n12nn,2，定义向量集，若对任意，存在，使Y,{a|a,(s,t),s,X,t,X}a,Ya,Y12 PPX得，则称具有性质(例如具有性质( {,1,1,2}a,a,012 x,2P(1)若，且具有性质，求x的值; {,1,1,2,x} P1,XXx,1(2)若具有性质，求证:，且当时，x,1; n1 PXqx，x，？，xx,1x,q(3)若具有性质，且、(为常数)，求有穷数列的通12n12 项公式。 17 / 19 18 / 19 19 / 19