高等数学（下）期末试题参考答案

高等数学（下）期末 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 参考答案 1、f(x,y)和存在是函数在点连续的（ ）。 f(x,y)(x,y)f(x,y)y00x0000 A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件； C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。 2223、设u,ln(x，y，z)，则＝（ ）。 div(gradu) 1212 A.；B.；C.；D. 22222222222222x，y，zx，y，z(x，y，z)(x，y，z)3、设是面上以为顶点的三角形区域，D是中在第(1,1),(,1,1),(,1,,1)xoyDD1 33一象限的部分，则积分(xy，cosxsiny)d,＝（ ） ,,D 3333 A.； B.； C.； D.0 2cosxsinyd,2xyd,4(xy，cosxsiny)d,,,,,,,DDD111 22xy，222224、设x，y,R(R,0)为曲面上的0,z,1部分，则esin(x，y)dS,,,, ＝（ ）。 R2R2 A.0； B.,ResinR2,ResinR； C.4,R； D. 5、设二阶线性非齐次方程,,,y,x有三个特解， y，p(x)y，q(x)y,f(x)1 x2xy,ey,e，，则其通解为（ ）。 32 x2xx2x A.x，Ce，CeCx，Ce，Ce； B.； 12312 x2xxx2x2x C.x，C(e,e)，C(x,e)C(e,e)，C(e,x)； D. 1212 221、函数af(x,y),2x，ax，xy，2y(1,,1)在点处取得极值，则常数＝______。 2222、若曲面x，2y，3z,21x,4y，6z，25,0的切平面平行于平面，则切点坐标为______________________。 311,x3、二重积分dyyedx的值为______________。 ,,0y 4、设空间立体x，y，z,1,x,0,y,0所占闭区域为，上任一点的体密度是,, ,(x,y,z),x，y，z，则此空间立体的质量为____________。 y的通解为_____________________。 ,y,2x，y 5、微分方程21、已知f(x,y,z),2xy,z及点、，求函数在点A(2,,1,1)B(3,1,,1)f(x,y,z)A 处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值。 ABA 2,z2、设具有连续的二阶偏导数，求。 z,f(x,y,xy),x,y 33、将函数xf(x),展开成的幂级数，并指出收敛域。 22,x,x x4、设,,,y,3y，2y,2e满足方程，且其图形在点与曲线y,y(x)(0,1) 2y,x,x，1相切，求函数。 y(x) ds5、计算，其中是螺旋线对应x,8cost,y,8sint,z,t0,t,2,L,222x，y，zL 的弧段。 n1231、设lim(？)，，，，a,0，计算极限的值。 23nn,，,aaaa 222222、计算1,x，y，z,4zdv，其中由不等式及所确定。 z,x，y,,,,, 2axdydz，(z，a)dxdy2223、计算，其中为下半球面的下侧，z,,a,x,y,,,222,，，xyz a为大于零的常数。 4、将函数f(x),x(,1,x,1)展开成以2为周期的傅立叶级数。 5、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1),3，计算曲线积分 22(yf(x)，x)dx，(xf(x)，y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，,L 曲线(1,2)(2,1)是由到的任一条逐段光滑曲线。 L n,(1),对p,0，讨论级数的敛散性。 ,，1n,1nnp 1x1,1；3、；4、；5、 (1,e),y,C(,1,,2,,2)1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ y68 1、-5；2、21、已知f(x,y,z),2xy,z及点、，求函数在点A(2,,1,1)B(3,1,,1)f(x,y,z)A 处沿由到方向的方向导数，并求此函数在点处方向导数的最大值。 ABA ,f,f,f解：由条件得 ,2y,,2x,,,2z ,x,y,z 1220 AB,{1,2,,2},AB,{,,,},{cos,,cos,,cos,} 333 122 ,,,,cos,,cos,,cos,, 333 ，，ffff,,,,10从而 = cos,cos,cos,,，，,,3lxyz,,,,，，A(2,,1,1)点A的梯度方向是l,gradf,{2y,2x,,2z},{,2,4,,2} AA ,f222所以方向导数的最大值是,2，4，2,24,26 ,l 2,z2、设z,f(x,y,xy)具有连续的二阶偏导数，求。 ,x,y,z,z解：,f，yf,,,f，xf 1212,x,y 2,f,f,z,,z,，，12,,,,f，yf,，y，f122,,,x,y,y,x,y,y,y，， ,(,f，xf)，y(,f，xf)，f 111221222 ,,f，(x,y)f，xyf，f1112222 33、将函数xf(x),展开成的幂级数，并指出收敛域。 22,x,x 311111f(x),,，,，212121/2,x，x,x，x2,x,x解： nn,,,，，1(1)x,,,nnn,x，(,1),1，x,,,,,,,n，1222,,000nnn,,,，， 。 (,1,1) x4、设,,,y,3y，2y,2e满足方程，且其图形在点与曲线y,y(x)(0,1) 收敛域为 2y,x,x，1相切，求函数。 y(x) 解：由条件知,满足 y,y(x)y(0),1,y(0),,1 2x2x由特征方程r,3r，2,0,r,1,r,2Y,Ce，Ce,对应齐次方程的通解 1212 *x*x设特解为y,AxeA,,2,y,,2xe，其中A为待定常数，代入方程，得 x2xx从而得通解y,Ce，Ce,2xe,代入初始条件得 C,1,C,01212 x最后得y(x),(1,2x)e ds5、计算，其中是螺旋线对应0,t,2,x,8cost,y,8sint,z,tL,222x，y，zL 的弧段。 222解：,,,ds,x，y，zdt,65dt ttt 2,dsdtt65652, ,,,,65arctan 0,,22222888xyzt，，，80L 123n1、设lim(，，，？，)a,0，计算极限的值。 23nn,，,aaaa ,1n解：设s(x),nx(,1,x,1)x,，则原问题转化为求和函数在处的值 ,an1, ,,,,,xx,,nnnn11,,而,,,s(x),xnx,x(x),x(x),x(xx),x, ,,,,,,21,x(1,x),,nnnn1111,,,, 1a,,故所求值为 s,,,2a(a,1),, 222222、计算1,x，y，z,4，其中由不等式及所确定。 z,x，yzdv,,,,, ,, 222,4423cossin2sincoszdv,,d,dr,r,dr,,,,,drdr,,,,,,,,,00101 ,24,115，，4,,d,,r,,sin22,,,248，，解：10 2，，axdydz(za)dxdy3、计算222，其中为下半球面的下侧，z,,a,x,y,,,222，，,xyz a为大于零的常数。 222解：取,x，y,a为面上的圆盘，方向取上侧，则 xoyxoy 2axdydz(za)dxdy1，，2axdydz(za)dxdy,，，,,,,222a,,xyz，， ，，122axdydz(za)dxdyaxdydz(za)dxdy,，，,，，,,,,,,,，,,axoyxoy,,，， ，，21(2z3a)dvadxdy,，,,,,,,,,,xyaD,,，， ，，2,,a232212,,,,,,,,,2ddrcosrsind3aaaa,，,,,,00,,a3,2,,，，，，4,a，，,a111,,3443,,,,,，,,,，,,,4cossindrdraaa ,,,,,,aa22,0，，,,2，， 4、将函数f(x),x(,1,x,1)展开成以2为周期的傅立叶级数。 解：所给函数在[,1,1]上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在[,1,1]内收敛于函数本身。 1n12(,1),1a,2xcosnxdx,a,2xdx,1b,0(n,1,2,？),，， 0nn,,22n,00 n,12(,1),1 f(x),，cosn,x(,1,x,1),222,n,n1 5、设函数f(x)f(1),3具有连续导数并且满足，计算曲线积分 22(yf(x)，x)dx，(xf(x)，y)dy的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，,L 是由到的任一条逐段光滑曲线。 (1,2)(2,1)L 解：由条件有 ,,2122222曲线,,,,,,xf(x)，y,yf(x)，x,2xf，xf,f,f，f,f 2,x,yxx 211,1,12设,z,f，则得 z,z,,,f,z,，Cx2x3xx 代入条件得，从而原积分变为 C,0,f(x),3x 2223(yf(x)，x)dx，(xf(x)，y)dy,(9xy，x)dx，(3x，y)dy,,LL 22 232323,,,,,9xydx，3xdy,9(3,x)x,3xdx,27x,12xdx,18,,,L11 22设,,D,(x,y)x，y,1，与在上具有一阶连续偏导数，u(x,y)v(x,y)D ,,,,,u,u,v,v，且在的边界曲线（正,,,,F,v(x,y)i，u(x,y)j,G,,i，,jDL,,,,,x,y,x,y,,,, 向）上有， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 u(x,y),1,v(x,y),y F,Gd,,,,,,D 证明：F,Gd,,[(u,u)v，(v,v)u]d, xyxy,,,, DD ,[(vu，uv),(vu，uv)]d, xxyy,, D ,,,[(uv),(uv)]d, ,,,,xyD ,uvdx，uvdy,ydx，ydy ,,LL ,,d,,,, ,, D