2016年高考三年高考分项版（文科）6.数列【教师版】
第六章 数列 一、选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1. 【2012高考北京文第6题】已知{a}为等比数列(下面结论中正确的是( ) n
222A(a，a?2a B( aaa，,2132132
C(若a,a，则a,a D(若a,a，则a,a13123142
【
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
】B
【解析】
试题
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
:A项当a～a为负数～a为正数时～a，a?2a不成立,B项根据等比数列的性质及均132132
22222aaaaa，,,,22值不等式得～,C项取a,a,1～a,,1～显然a?a,D项取a,1～
a,,2～a,4～a,,8～可知a,a不一定成立(综上可知仅有B项正确( 23442
{}a{}aaaa,,2. 【2014全国2，文5】等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和nnn248
( ) S,n
nn(1)，nn(1),nn(1),A. B. C. D. nn(1)，22【答案】A
22{}a【解析】由已知得，aaa,,，又因为是公差为2的等差数列，故(2)(6)adaad，,,，，n428222
2,2n(4)a，，解得，所以，故,,，aa(12)a,4aand,，,(2)222n22
naa()，1nSn,,，(n1)( n2
n3. 【2012全国新课标，文12】数列{a}满足a，(,1)a,2n,1，则{a}的前60项和为( ) nn，1nnA(3 690 B(3 660 C(1 845 D(1 830 【答案】D
n【解析】?a，(,1)a,2n,1， n，1n
?a,1，a，a,2,a，a,7,a，a,a，a,9，a，a,2,a，a,15,a，a,a，a,17，a，a,2,a，a,23,a，„，a,a，a,113，a，a,2,a，a,115,a， 1?a，a，„，a 1260
,(a，a，a，a)，(a，a，a，a)，„，(a，a，a，a) 0
15(10234)，，,1830,10，26，42，„，234,( 2
4. 【2011四川，文9】数列{a}的前n项和为S，若a=1，a =3S(n ?1)，则a=( ) nn1n+1n6
4444(A)3 × 4 (B)3 × 4+1 (C)4 (D)4+1 【答案】A
【解析】由a =3S，得a =3S(n ? 2)，相减得a,a =3(S,S)= 3a，则a=4a(n ? 2)，,,n+1nnn1n+1nnn1nn+1n
44a=1，a=3，则a= a?4=3×4，选A( 1262
35. 【2012四川，文12】设函数，是公差不为0的等差数列，{}afxxx()(3)1,,，,n
，则( ) fafafa()()()14，，,,,，,aaa，，,,,，,127127
A、0 B、7 C、14 D、21
26. 【2013课标全国?，文6】设首项为1，公比为的等比数列{a}的前n项和为S，则( )( nn3
A(S,2a,1 B(S,3a,2 C(S,4,3a D(S,3,2a nnnnnnnn【答案】:D
2,a1nnaaq,aq，,，111n3【解析】:,3,2a，故选D. S,,,nn2,,qq11,13
7. 【2012全国1，文6】已知数列{a}的前n项和为S，a,1，S,2a，则S,( ) ，nn1nn1n
321n,1n,1n,1()()A(2 B( C( D( n,1232
【答案】B
113a,S,，,1【解析】当n,1时，S,2a，又因S,a,1，所以，. 121122222
显然只有B项符合(
d,28. 【2011全国1，文6】设为等差数列的前项和，若，公差，，aa,1SS,,24Sn,,n1An，2n
k,则 ( )
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5 【答案】D
【解析】 SSaaakdakdakd,,，,，，,，，，,,，，(21)(11)2(21)kkkk，，，221111
故选D。 ,，，，，,，,,,21(21)244245kkk
9. 【2015高考新课标1，文7】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若{}aS{}annnn
，则( ) SS,4a,8410
171910 (A) (B) (C) (D)12 22
【答案】B
1118874(443)aa，，，,，，，d,1【解析】?公差，，?，解得=，?SS,4a11841222
119aad,，,，,99，故选B. 10122
【考点定位】等差数列通项
公式
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及前n项和公式
10. 【2011高考重庆文第1题】在等差数列中，，,( ). aa,4,则aa,2,,310n2
A(12 B(14 C(16 D(18 【答案】D
【解析】d,a,a,2，，则a,a，9d,18. a,a,d,03210112
11.{}aaaa,，,2,10a, 【2014高考重庆文第2题】在等差数列中,，则( ) n1357A.5B.8C.10D.14 【答案】B
【解析】
102,a1d,,1d2610ad，,a试题分析:设等差数列的公差为，由题设知，，所以， ,,1n6
aad,，,，,6268所以，.故选B. 71
考点:等差数列通项公式.
aaaa12. 【2012，安徽文5】公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则= n3115(A) 1 (B)2 (C) 4 (D)8
【答案】( A
22【解析】( aaaaaa,,,,,,，,,16164213117755
n13. 【2011，安徽文7】若数列的通项公式是，则 an,,,,,,,()()aaa，，,La,,,,,,nn( )
(A) 15 (B) 12 (C ) ,,, (D) ,,,【答案】A(
【解析】本题主要考查了数列求和，解题的关键是重新分组(
,,aaa，，,,,，,,,，,,，，,,,,,,,LL()(),,,,
？,,，，,,,，,，,,，,,，，,,,,，？,,，,,,,，,,,,,,，,,,,L()()()()( ，，，，，，
【技巧点拨】正负之间变化的摆动数列
a14. 【2013，安徽文7】设为等差数列的前项和，，则= ( ) anSaa,,,4,2,,Sn9837n
,6(A) (B) (C) (D)2 ,4,2
【答案】A(
【解析】
8()aa，18Saaaaaadaad,,,,，,？,,,,，,,44,0,2,26，故选A( 8333636972
【考点】等差数列通项公式和前n项公式(
,115. 【20,,14天津，文5】设a是首项为，公差为的等差数列，S为其前n项和，若ann1
成等比数列，则=( ) S，S，S，a1241
11A.2 B.-2 C. D . ,22【答案】D
【解析】
122SSS，，SSS,，(21)(4.aaaa,,,,-6)，试题分析:因为成等比数列，所以即选D. 12421411112
考点:等比数列
16. 【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】《九章算术》“竹九节”问题:现有一根
9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4
升，则第5节的容积为( )
674737A(1升 B(升 C(升 D(升 664433
【答案】B
【解析】
4，3,4a，d,31,137,2试题分析:由题意 ，解得，d=， a=,19，86，56622,(9a，d),(6a，d),411,22,
67所以易求a=. 566
考点:本题数列的通项公式和前n项和公式，解题时要注意公式的灵活运用.属于简单题. 17. 【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】定义在上的函数，fx()(,0)(0,),,，,:
{}a如果对于任意给定的等比数列，{()}fa仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. fx()nn
现有定义在上的如下函数: (,0)(0,),,，,:
2x?; ?; ?; ?. fxx()ln||,fxx()||,fxx(),fx()2,
等比数列函数”的fx()的序号为 ( ) 则其中是“保
A(? ? B(? ? C(? ? D(? ? 【答案】C
【解析】
2faa()2nn，，11试题分析:设数列,,的公比为.对于?，,是常数，故?符合条件;对于?，qqa,,n2faa()nn
an，1||afa()fa()2n，1,aan，1，1nnn，1,，不是常数，故?不符合条件;对于?， ,,2anfa()||afa()2nnn
faa()ln||ann，，11n，1,，是常数，故?符合条件;对于?, ，不是常数，故?不符合条,,qfaa()ln||annn
件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.
考点:本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利
用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等.
π2ππn*S,，，，sinsinsin…18. 【2012上海,文18】若(n?N)，则在S，S，„，S中，12100n777
正数的个数是( )
A(16 B(72 C(86 D(100
【答案】 C
π8π2π9π6π13πsinsin,,sinsin,,sinsin,,【解析】由～～„～～777777
7π14πsinsin0,,～ 77
所以S,S,0. 1314
同理S,S,S,S,S,S,S,S,S,S,S,S,0～ 849798
所以在S～S～„～S中～其余各项均大于0. 12100
故选C项(
二、填空题
1(【2013高考北京文第11题】若等比数列{a}满足a，a,20，a，a,40，则公比q,__________;n2435前n项和S,__________. n
n，1【答案】2 2,2
【解析】
试题分析:根据等比数列的性质知a，a,q(a，a)～ 3524
3?q,2～又a，a,aq，aq～故求得a,2～ 24111
n212，,，n，1?S,,2,2. n12,
1a,2. 【2012高考北京文第10题】已知{a}为等差数列，S为其前n项和(若，S,a，则nn2312
a,________，S,________( 2n
12()nn，【答案】1 4
【解析】
11a,试题分析:由～S,a得～a，a,a～即a,a,～ 2312332122
11a,?{a}是一个以为首项～以为公差的等差数列( n122
111ann,，,,(1)，?( n222
n11122Saannnn,，,，,，()()?a,1～( 21nn2444
1aa,,,4,q,a3. 【2011高考北京文第12题】在等比数列中，若则公比 ; ,,14n2aaa，，？，, 12n
1n,1 ,2 【答案】2 2
1133aa,,,4,42,,,qq【解析】:由是等比数列得，又 所以 aaq,a,,14n4122
1n,(12)naq(1),11n,12 ,,,aaa，，？，,212n,1,q122
4. 【2013高考广东卷.文.11】设数列{a}是首项为1,公比为,2的等比数列, n
则a，|a|，a，|a|,__________. 1234
【答案】15
n,1【解析】由数列{a}首项为1,公比q,,2,则a,(,2),a,1,a,,2,a,4,a,,8,则a，nn12341
15|a|，a，|a|,1，2，4，8,15.故填. 234
【考点定位】本题考查数列中的等比数列,属于基础题
12aa,5. 【2012高考广东卷.文.12】等比数列满足，则 aaa,{}a_____24n1352
1【答案】 4
12,【解析】因为数列为等比数列,所以根据等比数列等比中项的性质可得 , aaaaa,,a,,n152432
111112242aaaaaaa,,,,,,所以,,故填. aaa,【考点定位】本题考查了数列中的等比数列,属于基础题
6. 【2011高考广东卷.文.11】已知是递增的等比数列，若，，则此数列 {}aa,2aa,,42n43
q,的公比 .
2【答案】
22,,q2aaaqaqqqqq,,,,,,,,,,,，,4422402(2)(1)0【解析】或4322
q,,1
2q,2{}a?是递增的等比数列，?，故填. n
【考点定位】本题考查了数列中国的等比数列，属于基础题
ba,，526c,,5267. 【2015高考广东，文13】若三个正数，，成等比数列，其中，，ac
b,则 (
1【答案】
2b,0bbac,,，,,5265261【解析】因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，ac，，，，
所以，所以答案应填:( 1b,1
【考点定位】等比中项(
8. 【2014高考广东卷.文.13】等比数列的各项均为正数,且, aa,4a,,15n
则 . logloglogloglogaaaaa，，，，,2122232425
【答案】. 5
2【解析】由题意知,且数列的各项均为正数,所以, aaa,,4a,2a,,3n153
2235, ？,,,,,,,aaaaaaaaaaaaa2，，，，，，1234515243335
5. ？，，，，,,,logloglogloglogloglog25aaaaaaaaaa，，52
【考点定位】本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算,属于中等偏难题. 9. 【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________
【答案】5
21n，个，则，，又，所以; 【解析】若这组数有a,1010a,2015aaa，,2a,5n，11211nn，，21n，1
2n若这组数有个，则，，又，所aa，,，,101022020a,2015aaaa，,，nn，12n121nnn，以; a,51
故答案为5
【考点定位】等差数列的性质.
10. 【2012全国新课标，文14】等比数列{a}的前n项和为S，若S，3S,0，则公比q,nn32__________(
【答案】:,2
【解析】:由S=,3S，可得a+a+a=,3(a+a)， 3212312
2即a(1+q+q)=,3a(1+q)， 11
2化简整理得q+4q+4=0，解得q=,2(
1a,,a,2{a}11. 【2014全国2，文16】数列满足，则________( a,，18nn11,an
1【答案】( 2
11111【解析】由已知得，，，所以，，， a,,1a,,,,11a,,,12a,,,1a,2n7658aaaa27n6，18
111111，，，( a,,,,11a,,,12a,,,1a,,,14321aaa2a24325
12. 【2015高考新课标1，文13】数列中为的前n项和，若aaaaaS,,2,2,,,,,nn11nnn，
，则 . S,126n,n
【答案】6
【解析】?，?数列是首项为2，公比为2的等比数列， aaaa,,2,2,,n11nn，
n,2(12)n264,?，?，?n=6. S,,126n,12
考点:等比数列定义与前n项和公式
2,,nkk13. 【2011年.浙江卷.文17】若数列中的最大项是第项，则=_______。 nn，(4)(),,3,,
【答案】4
2n，1nn，，(1)(5)()2ann，，2(1)(5)n3n，1ann,，【解析】:(4)()则 ,,n23ann，3(4)nnnn，(4)()3
a22n，1,,,1010n,，,n100于是令得，则， ,12(1)(5)3(4)10nnnnn，，,，,,，an
a2n，1n,4n,4n,4k,4n,10,，,n100时递增，令得，则，时递减，故是最大项，即 ,1an
daaa14. 【2015高考浙江，文10】已知是等差数列，公差不为零(若，，成等比数a,,237n
d,21aa，,a,列，且，则 ， ( 121
2,1,【答案】 3
2(2)()(6)adadad，,，，320ad，,21aa，,【解析】由题可得，，故有，又因为，即121111
2da,,,1,31ad，,，所以. 113
【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式;2.等比中项.
S,15. 【2012高考重庆文第11题】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和 4
【答案】15
412,【解析】: S,,15412,
考点:等比数列的前n项和公式
16. 【2013高考重庆文第12题】若2，a，b，c,9成等差数列，则c,a,__________.
7答案: 2
【解析】
9277,22，,，,试题分析:设公差为d，则c,a,2d,. 5142,
考点:等差数列.
BCABC17. 【2014，安徽文12】如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的BC,22A
AC垂线，垂足为A;过点A作的垂线，垂足为A;过点A作AC的垂线，垂足为A;„，以112231此类推，设，，，„，，则a,________( BAa,AAa,AAa,AAa,7112123567
1【答案】( 4
【解析】
aaa2,3n2,,,,,？tan{}aBAa,,2试题分析:由题意，，，所以是以首项n1aaa42,121n
22166q,a,2aaq,,,,,2()，公比的等比数列，则( 171224考点:1(等比数列通项公式(
1a,a，n,2{a}{a}18. 【2015高考安徽，文13】已知数列中，，()，则数列的a,1nn,1nn12前9项和等于 .
【答案】27
11a,a，,且a,a，【解析】?时， n,2nn,12122
1?为首项，为公差的等差数列 ,,a是以an12
9，81S,9，1，，,9，18,27? 922
【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式的应用.
,19. 【2011天津，文11】已知是等差数列,为其前n项和,nN,.若,,Sa,16S,20a,,3n20n
则的值为 . S10
【答案】110
20. 【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】传说古希腊毕达哥拉斯学派的
数学
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家
经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数:
???
1 3 6 10
{}a将三角形数1，3，6，10，记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组？n
{}b成一个新数列. 可以推测: n
b{}a(?)是数列中的第________项; 2012n
b,(?)________.(用k表示) 21k,
551kk,，，【答案】(?)5030;(?) 2
【解析】
nn(1)，a,试题分析:由以上规律可知三角形数1,3,6,10,„,的一个通项公式为，写出其若干n2项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为
babababababa,,,,,,,,,,,10,15,45,55,105,110,故.
5(51)kk，ba,,从而由上述规律可猜想:(为正整数)， k25kk2
(51)(511)5(51)kkkk,,，,ba,,,， 2151kk,,22
故,即是数列中的第5030项. b{}abaaa,,,2012n，，
考点:本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一
定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.
a,mil(a，a，？)21. 【2014上海,文10】设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q= . a134nn,,
,，15【答案】 2
2,，15aaq31【解析】由题意，即，?，?q,. lim()，，，,？aq,,0,1aaa,an1341,,n21,q1,q
【考点】无穷递缩等比数列的和.
22. 【2013上海,文2】在等差数列{a}中，若a，a，a，a,30，则a，a,______. n123423
【答案】15
【解析】a，a，a，a,2(a，a),30a，a,15. ,12342323
a257()x，23. 【2013上海,文7】设常数aR.若的二项展开式中x项的系数为,10，则a,______. ,x
【答案】,2
aa25ryr25,17()x，C()()xCa【解析】,,10xr,1，,,105a,,10，a,,2 ,,,55xx
124. 【2012上海,文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别2
lim()VVV，，，,…记为V，V，„，V，„，则__________. 12n12nn,,
8【答案】 7
11【解析】棱长是以1为首项、为公比的等比数列～则体积V～V～„～V是以1为首项、12n28
1n,,1[1()]81n8,,,[1()]为公比的等比数列～所以V，V，„，V,～ 12n178,18
8lim()VVV，，，,…?. 12nn,,7
1625. 【2012上海,文8】在(x,)的二项展开式中，常数项等于__________( x
【答案】,20
1r6,rr【解析】展开式的通项为T,x?(,)～令6,r,r～可得r,3 C，r16x
13333所以T,x×(,),,,,20. CC466x
1fx(),26. 【2012上海,文14】已知，各项均为正数的数列{a}满足a,1，a,f(a)(若，n1n2n1，x
a,a，则a，a的值是__________( 2 0102 0122011
3135，【答案】 26
1【解析】由a,f(a),～a,1～ ，n2n1，a1n
11112a,,可得～～ a,,,35112，a13，a131，2
1315a,,a,,～～ 7932851，1，53
18a,,. 115131，8
151,由a,,a～可得a,a,～ 2 0122 0102 0102 0121，a22010
51,则a,a,„,a,a,a,a,. 24202n2 0102 0122
5183135,，，,所以a，a,. 201121326
27. 【2011福建,文16】商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销
售限价a，最高销售限价b(b,a)以及常数x(0,x,1)确定实际销售价格c=a+x(b-a)，这里，
x被称为乐观系数.
经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项，据此可得，最佳乐观
系数x的值等于_____________.
,，15【答案】 2
2【解析】,而， caxba,，,()()()()cabcba,,,,
22即 xbabaxbabaxba()[()()]()(1)(),,,,,,,,,
,，15,，1522又b,a可得(0,x,1)，解得,答案应填. x,xxxx,,，,,1,1022
228. 【2015高考福建，文16】若 是函数 的两个不同的零ab,fxxpxqpq,,，,,0,0，，，，点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值ab,,2,pq，
等于________(
【答案】9
【解析】由韦达定理得，，则，当适当排序后成等比数列时，abp，,abq,,ab,,0,0ab,,2,
4b,,2,2必为等比中项，故，(当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，abq,,,4a
44822a,,,,a2a,1b,4a,4当是等差中项时，，解得，;当是等差中项时，，解得，aaaab,1,9，综上所述，abp，,,5，所以( pq，
【考点定位】等差中项和等比中项(
三、解答题
1. 【2014高考北京文第15题】(本小题共13分) 已知是等差数列，满足a,3，a,12，a,,14n数列b,4b,20满足，，且是等比数列. bba,,,,,14nnn
(1)求数列和的通项公式; ab,,,,nn
2)求数列(b的前项和. n,,n
3nn,1nn(1)21，，,bnn,，,32(1,2,)Lann,,3(1,2,)L【答案】(1)，;(2) nn2
a,3a,12aa【解析】试题分析:(1)由已知是等差数列，，，可求出的通项公式;由,,,,14nnba,ab是等比数列，结合的通项公式，可求出的通项公式;(2)由(1)知，,,,,,,nnnn
n,1bnn,，,32(1,2,)L， n
b从而可利用分组求和法，求出数列的前项和. n,,n
aa,,12341d,,,3试题解析:(1)设等差数列的公差为，由题意得:， da,,n33所以， aandnn,，,,,(1)3(1,2,)Ln1
ba,,2012344设等比数列的公比为q，由题意得:，解得. q,,,8q,2ba,,,nnba,,4311
nn,,11n,1所以，从而. babaq,,,,()2bnn,，,32(1,2,)Lnn11n
n,1(2)由(1)知，， bnn,，,32(1,2,)Ln
n312,n,1nnn(1)，2数列的前n项和为，数列的前n项和为， 121，,,3n,,,,212,
3nnn(1)21，，,所以数列的前n项和为. b,,n2
考点:本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查同学们的运算求解能力，考查分析问题与解决问题的能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想(数列是高考的热点问题之一，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
2. 【2013高考北京文第20题】(本小题共13分)给定数列a，a，„，a，对i,1,2，„，n,1，12n该数列的前i项的最大值记为A，后n,i项a，a，„，a的最小值记为B，d,A,B. ，，ii1i2niiii(1)设数列{a}为3,4,7,1，写出d，d，d的值; n123
(2)设a，a，„，a(n?4)是公比大于1的等比数列，且a,0.证明:d，d，„，d是等比数列; ,12n112n1(3)设d，d，„，d是公差大于0的等差数列，且d,0.证明:a，a，„，a是等差数列( ,,12n1112n1解:(1)d,2～d,3～d,6. 123
(2)因为a,0～公比q,1～ 1
所以a～a～„～a是递增数列( 12n
因此～对i,1,2～„～n,1～A,a～B,a. ，iiii1
于是对i,1,2～„～n,1～
i,1d,A,B,a,a,a(1,q)q. ，iiiii11
d，1i,q因此d?0且(i,1,2～„～n,2)～ idi
即d～d～„～d是等比数列( ,12n1
(3)设d为d～d～„～d的公差( ,12n1
对1?i?n,2～因为B?B～d,0～ ，ii1
所以A,B，d?B，d，d,B，d,A. ，，，i1i1i1iiiii
又因为A,max{A～a}～ ，，i1ii1
所以a,A,A?a. ，，i1i1ii
是递增数列( 从而a～a～„～a,n112
因此A,a(i,1,2～„～n,1)( ii
又因为B,A,d,a,d,a～ 111111
所以B,a,a,„,a. ,112n1
因此a,B. n1
所以B,B,„,B,a. ,12n1n
所以a,A,B，d,a，d. iiiini
因此对i,1,2～„～n,2都有a,a,d,d,d～即a～a～„～a是等差数列( ，，,i1ii1i12n13. 【2015高考北京，文16】(本小题满分13分)已知等差数列满足，( aa，,10aa,,2a,,1243n(I)求的通项公式; a,,n
(II)设等比数列满足，，问:与数列的第几项相等, ba,ba,bba,,,,23376nn
63【答案】(I);(II)与数列的第项相等. an,，22ba,,n6n
【解析】
试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问
d题的能力、转化能力、计算能力.(I)利用等差数列的通项公式，将转化成和，aaaa,,,a12341
d解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可;(II)先利用第一问的结论得到和abb123
qq的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再bbbbb11236代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数. n
d试题解析:(?)设等差数列的公差为. a,,n
d,2因为aa,,2，所以. 43
aa，,10210ad，,a,4又因为，所以，故. 1211
(1,2,)n,？ann,，,,，42(1)22所以 . n
q(?)设等比数列b的公比为. ,,n
ba,,8ba,,16因为，， 3723
q,2b,4所以，. 1
61,b,，,42128所以. 6
12822,，nn,63由，得.
所以与数列的第项相等. 63ba,,6n
考点:等差数列、等比数列的通项公式.
4. 【2012高考广东卷.文.19】(本小题满分14分)设数列的前项和为，数列的前aSSnn,,,,nnn
2*项和为，满足. TTSnnN,,,2，nnn
(1)求的值;(2)求数列的通项公式. aa,,n1
n,11【答案】(1) (2) a,，,322n
2*【解析】(1)在中，令 naaa,,,,,,1211TSnnN,,,2，111nn
22(2)，相减得: SSn,，，2(21)TSnTSn,,,,，22(1)，nn，1nnnn，，11
，，相减得: SSn,，，2(21)SSn,，，2(23)aa,，22nn，，21nn，1nn，，21
，得 aSSa,,,，,,1234aa,，221212nn，1
aaaa,，,，,，2222(2)nnnn，，11
2得:数列是以为首项，公比为的等比数列 {2}a，a，,23n1
nn,,11aa，,，,,，,232322 nn
【考点定位】本题考查了数列中的等差与等比数列,属于能力题
,n,,5. 【2015高考广东，文19】(本小题满分14分)设数列的前项和为S，(已知a,1，an,,1nn
35a,a,n,2，，且当 2324
时，458SSSS，,，( nnnn，，,211
a(1)求的值; 4
1,,aa,(2)证明:为等比数列; ,,nn，12,,
(3a)求数列的通项公式( ,,n
n,171,,【答案】(1);(2)证明见解析;(3)( an,,，21，，n,,82,,【解析】
n,2n,2a458SSSS，,，试题分析:(1)令可得的值;(2)先将()转化为nnnn，，,2114
1,,，再利用等比数列的定义可证是等比数列;(3)先由(2)可得数,44aaa，,aa,,nnn，，21nn，12,,
,,
,,a11,,,,,,n列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，,,aaaa,,,,,,nn，1nn，1n221,,,,,,,,,,,,2,,,,
进而可得数列的通项公式( a,,n
n,2试题解析:(1)当时，，即458SSSS，,，4231
735335,,,,,,a,，解得: 4151811，，，，，,，，，a44,,,,,,824224,,,,,,
n,2(2)因为()，所以458SSSS，,，4444SSSSSS,，,,,nnnn，，,211nnnnnn，，,，2111
544164aaa，,，，,,n,2n,2()，即()，因为，所以44aaa，,312nnn，，214
1aa,nn，，21aaaaaaa,,,,424221nnnnnnn，，，，，211112，因为，44aaa，,,,,,nnn，，211aaaaaa,,,4242222，，nnnnnn，，，111aa,nn，12
111,,aa,,1所以数列aa,是以为首项，公比为的等比数列 ,,21nn，1222,,
111,,aa,,1(3)由(2)知:数列aa,是以为首项，公比为的等比数列，所以,,21nn，1222,,
n,111,, aa,,nn，1,,22,,
,,
,,aaaa,,n1nn，14,2即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以,,4,,nnn，11111,,,,,,,,,,,,,,,,2222,,,,,,,,
nn,111a,,,,na21442，即，所以数列的通ann,，,，,,nn,,，,,，4221,,，，，，，，nn,,,,n221,,,,,,,,2,,
n,11,,项公式是an ,,，21，，n,,2,,
考点:1、等比数列的定义;2、等比数列的通项公式;3、等差数列的通项公式.
6. 【2014高考广东卷.文.19】(本小题满分14分)设各项均为正数的数列的前项和为,San,,nn
22且满足SnnS,，,,3 S，，nnn
,230nn，,,. nN,，，
(1)求的值; a1
(2)求数列的通项公式; a,,n
1111，，，,？(3)证明:对一切正整数,有. naaaaaa，，，1113，，，，，，1122nn【答案】(1);(2);(3)详见解析. a,2an,21n
22n,1【解析】(1)令得:,即,, SS，,,60SS,,,，,1320？，,,SS320，，，，，，111111
,,即; ？S,0？,S2a,2111
2222，，SnnSnn,，,,，33SSnn，,，,30(2)由,得, ，，，，，，，，nnnn，，
,2？anN,,0,,从而,？,，Snn, ？,S0S，,30，，nnnn
22，，n,2aSSnnnnn112所以当时,, ,,,，,,，,,，，，，，，nnn,1，，
,？,,annN2又a,,，221,; ，，n1
kk313,,,,,22kN,(3)当时,kkkk，,，,,,，, ,,,,221644,,,,
111111？,,,,, 113aakk，，122144,,,,,,，，，，kkkkkk,，,，,,,,,,244,,,,,,
，，
,,11111,,,,, ,,111144,,，，,,kk,，,1kk,,，,1，，，，,,,,，，4444,,，，
111？，，，？ aaaaaa，，，111，，，，，，1122nn
，，,,,,
,,,,,,1111111 ,,,，,，，,？,,,,,,1111114,,,,,,12231,,,,,，,nn，，,,,,,,444444，，
，，
,,111111. ,,,,,,,1143433n，,,11,，,n，，，，44
1111证法二:当n,1时,成立, ,,,aa，，12363，，11
111111,,,,,,n,2当时,, ,,aannnnnn，，,，,，1221212122121，，，，，，，，,,nn
1111，，，，？则 aaaaaaaa，，，，1111，，，，，，，，112233nn
1111111111,,,,,, ,，,，,，，,？,,,,,,623525722121nn,，,,,,,,
1111111,, . ,，,,,,,,623213633nn，，,,
【考点定位】本题以二次方程的形式以及与的关系考查数列通项的求解,以及利用放缩法证明Sann数列不等式的综合问题,考查学生的计算能力与逻辑推理能力,属于中等偏难题.
7. 【2013高考广东卷.文.19】(本小题满分14分)设各项均为正数的数列{a}的前n项和为S,nn
2*满足4S,a,4n,1,n?N,且a,a,a构成等比数列. ，nn12514
aa,，45(1)证明:; 21
(2)求数列{a}的通项公式; n
1111，，，,？(3)证明:对一切正整数n,有. aaaaaa212231nn，
an,,21【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 n
22【解析】(1)证明:当n,1时,4a,a,5,?a,4a，5. 1221
aa,，45?a,0,?. n21
2(2)当n?2时,4S,a,4(n,1),1,? ,n1n
24S,a,4n,1,? ，nn1
22由?,?,得4a,4S,4S,a,a,4, ,，nnn1n1n
222,a，4a，4,(a，2). ?a，n1nnn
?a,0,?a,a，2, ，nn1n
?当n?2时,{a}是公差d,2的等差数列. n
?a,a,a构成等比数列, 2514
22?a,a?a,(a，6),a?(a，24),解得a,3. 52142222
2由(1)可知,4a,a,5,4,?a,1. 121
?a,a,3,1,2, 21
?{a}是首项a,1,公差d,2的等差数列. n1
?数列{a}的通项公式为a,2n,1. nn
111，，，？(3)证明: aaaaaa12231nn，
1111, ，，，，？1335572121，，，，,，,，，，nn11111111，，,,,,,,,,, ，,，,，,，，,1？,,,,,,,,,,2335572121nn,，,,,,,,,,，，
111,,,. ，,,1,,2212n，,,
【考点定位】本题考查数列中的等差数列和裂项求和,属于拔高题
b,08. 【2011高考广东卷.文.20】 (本小题满分14分)设，数列满足，{}aab,n1
nban,1a,(n?2). nan，,1n,1
n，1b，1(1)求数列{}a的通项公式; (2)证明:对于一切正整数，2a?. nnn
n,nbb(1),,01 且bb,,,n【答案】(1) a, (2)详见解析 1,b,n
,11， b,,
nban,1a,【解析】(1)解:? nan，,1n,1
abann,1,? 1nan，,n,1
nn111,,,，? ababnn,1
nn,1nb,1,,1{}? 当时，，则是以1为首项，1为公差的等差数列 aaann,1n
n?，即 1(1)1,，,，,nna,1nan
nn1111,? 当且时， b,0b,1，,，()abbab11,,nn,1
n11当时， n,1，,abbb1(1),,n
1n11?是以为首项，为公比的等比数列 {}，bab1,bb(1),n
n111n?，,,() abbb11,,n
nnb111,? ,,,nnabbbbb(1)1(1),,,n
nnbb(1),? a,nn1,b
n,nbb(1),,01 且bb,,,n综上所述 a,1,b,n
,11， b,,
n，1b,1(2)证明:? 当时，212ab,，,; n
nnn,,21b,0b,1? 当且时， 1(1)(1),,,，，，，bbbbb？
n2(1)nbb,n，1，1n21ab,，,，b1要证，只需证， nn1,b2(1)1nb,,，b即证 nn1,bb
21n,，b即证 nnn,,211，，，，bbbb？
1nn,,21()(1)2bbbbn，，，，，,？即证 nb
111121nn,bbbbn，，，，，，，，，,？？()()2即证 nn,12bbbb
111121nn,bbbb，，，，，，，，，？？()()? nn,12bbbb111121nn,()()()(),，，，，，，，，bbbb？ 21nn,bbbb
111121nn,，?原不等式成立 ,,，,，，,，,,bbbbn？2222221nn,bbbb
n，1?对于一切正整数，?. b，12ann
【考点定位】本题考查了数列,属于拔高题
2n，n,9(【 2014湖南文16】已知数列的前项和. S,，n,N,,annn2
(1)求数列的通项公式; ,,an
nan2n(2)设，求数列的前项和. ,,b，，b,2，,1annn
21n，【答案】(1) (2) Tn,，,22an,n2n
【解析】
n,1n,2试题分析:(1)题目已知之间的关系,令,利用,即可求的的值,令,利用aS,aS,ann111
n,1与前n项和之间的关系即可得到,令检验首项即可得到的通项公式. aaSS,,aannn,1nnn
nn,1 n(1)得到的通项公式代入可以得到是由等比数列,数列之和,才用分组求和法,(2)把2bb，，nn
n首先利用等比数列前n项和公式求的等比数列2的前n项和,再利用
n,1 n对数列进行分组 ，，,，,,，,,，,,,,，,1234562121？nn，，
即可求的数列b的前n项和 ,，，,，，,，，，,,，123456212？nn，，，，，，，，，，n
n,1试题解析:(1)当时,aS,,1; 11
22nn,，,11，，，，nn，n,2当时, aSSn,,,,,,nnn,122
a,1an,an,检验首项符合,所以数列a的通项公式为. ,,1nnn
nnbn,，,21 2nT，，(2)由(1)可得,记数列b的前项和为, ,,nn2n1232nTn,，，，，，,，,，,，，2222123452？？则 ，，，，2n
12n, 222，，,,，,，，,，，,，，，,,，Tnn？123456212 ，，，，，，，，，，2n，，,12
21n，,,，,Tn22 2n
21n，故数列的前项和为 2nTn,，,22b,,n2n
【考点定位】数列前项和 等差数列 等比数列 分组求和法 n
*10. 【2013湖南，文19】设S为数列{a}的前n项和，已知a?0,2a,a,S?S，n?N. nn1n11n(1)求a，a，并求数列{a}的通项公式; 12n
(2)求数列{na}的前n项和( n
22【解析】(1)令n,1，得2a,a,a，即a,a. 11111
因为a?0，所以a,1. 11
令n,2，得2a,1,S,1，a. 222
解得a,2. 2
当n?2时，由2a,1,S2a,1,S两式相减得2a,2a,a. ,,,nn,n1n1nn1n即a,2a. ,nn1
于是数列{a}是首项为1，公比为2的等比数列( n
n,1因此，a,. 2n
n,1所以数列{a}的通项公式为a,2. nn
n,1(2)由(1)知，na,n?2. n
n,1记数列{n?2}的前n项和为B，于是 n
2n,1B,1，2×2，3×2，…，n×2，? n
23n2B,1×2，2×2，3×2，…，n×2.? n
?,?得
2n,1n,B,1，2，2，…，2,n?2 n
nn,2,1,n?2.
n从而B,1，(n,1)?2. n
11. 【 2012湖南文20】某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金
2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50,.预计以后每年资金年增长率与第一年的相
同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设
第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a万元. n
a(?)用d表示a，a，并写出与a的关系式; 12nn，1
(?)若公司希望经过m(m?3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d
的值(用m表示).
add,，,,,2000(150%)3000【解析】(?)由题意得， 1
3aadad,，,,,(150%)， 2112
3aadad,，,,,(150%). nnn，12
3aad,,(?)由(?)得 nn,12
332,,,()add 2n,22
33,,,()add n,222
,？
3333，，nn,,122. ad,,，，，，？()1()()1,,2222，，
33，，nn,,11整理得 add,,,,()(3000)2()1n,,22，，
3n,1,,，()(30003)2dd. 2
3n,1add,？,，,4000,()(30003)24000,由题意， n2
3，，n,，()21000，1nn,,1000(32),2，，. 解得d,,nn3,32n()1,2
nn，11000(32),dmm(3),故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为,,,nn32,
,元.
【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际
3aad,,a问题的能力.第一问建立数学模型，得出与a的关系式，第二问，只要把第一nnn，1n，12
3aad,,问中的迭代，即可以解决. nn，12
12. 【 2011湖南文20】某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过
程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7年开始，每年
初M的价值为上年初的75%(
a(I)求第n年初M的价值的表达式; n
aaa，，，？12nA,,A(II)设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，nnn
证明:须在第9年初对M更新(
【解析】(I)当时，数列是首项为120，公差为的等差数列( n,6,10{}an
ann,,,,,12010(1)13010;n
33n,6a,，70();当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以 n,6{}aaa,70nn6644
12010(1)13010,6,,,,,nnn,,因此，第年初，M的价值的表达式为 aa,n,3nnn,6an,，,70(),7n,,4(II)设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得 S{}annn
当16,,n时， SnnnAnn,,,,,,,,1205(1),1205(1)1255;nn
333nn,,66SSaaa,，，，，,，，，，,,,，()570704[1()]780210()？nn678444n,7当时， 3n,6780210(),，4A,.nn
因为是递减数列，所以是递减数列，又{}a{}Ann
338696,,,，,，780210()780210()477944 ,,,,,,AA8280,7680,89864996
所以须在第9年初对M更新(
13. 【2015高考湖南，文19】(本小题满分13分)设数列的前项和为，已知，{}aSaa,,1,2n12nn
*,，,SnN3,()且aS,3， nn，1n，1
(I)证明:aa,3; nn，2
(II)求S。 n
n,2,3*2nkkN(531),(21,)，,,，,,,2【答案】(I)略;(II) S ,,nn3*,2nkkN(31),(2,),,,,2,
【解析】
**,，,SnN3,()aS,3试题分析:(I)当时，由题可得，nNn,,,2nn，2n，1
*,，,SnN3,()aS,3aaaa,,,3aan,,3,(2)，两式子相减可得，即，nn，,11nnnn，，，211nn，2n
{}a然后验证当n=1时，命题成立即可; (II)通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应n
前n项和的通项公式.
**试题解析:(I)由条件，对任意，有， nN,,，,SnN3,()aS,3nn，2n，1
**因而对任意，有， ,，,SnN3,()aS,3nNn,,,2nn，,11n
两式相减，得，即， aaaa,,,3aan,,3,(2)nnnn，，，211nn，2
又，所以， aa,,1,2aSSaaaa,,，,,，，,333()33123121121
*nN,故对一切，。 aa,3nn，2
an，2,3(II)由(I)知，，所以，于是数列是首项，公比为3的等比数列，a,0{}aa,1n121n,an
nn,,11数列是首项，公比为3的等比数列，所以， aa,,，3,23{}aa,22n1212nn,于是 Saaaaaaaaa,，，，,，，，，，，，？？？()()21221321242nnnn,
n3(31),111nnn,,, ,，，，，，,，，,(133)2(133)3(133)？？？2
n3(31)3,,,12nnSSa从而， ,,,,，,，,23(531)2122,nnn22
n,2,3*2nkkN(531),(21,)，,,，,,,2综上所述，。 S,,nn3*,2nkkN(31),(2,),,,,2,
【考点定位】数列递推关系、数列求和
214.x 【2015高考湖南，文21】 (本小题满分13分)函数，记为fxaexx()cos([0,),,，,n
*fx()的从小到大的第个极值点。 nnN(),
{()}fx(I)证明:数列是等比数列; n
*(II)若对一切nNxfx,,,()恒成立，求的取值范围。 ann
,,2,2，,[,)e【答案】(I)略;(II) 4
【解析】
,x,,fxaex()2cos(),，fx()0,试题分析:(I)由题 ，令 ，求出函数的极值点，根据等比数4
3,n,,t4e2e列定义即可得到结果;(II)由题意问题等价于恒成立问题，设，然()(0)gtt,,,3,atn,,4
,,,,542后运用导数知识得到，所以gxgxgxggge,,,,[()]min[(),()]min[(),()]()nmin12444,
,,,242,22，求得，得到的取值范围; ,ae,ea4,a
,xxx,fxaexaexaex()cossin2cos(),,,，试题解析:(I) 4
,,3,*,，,,xmmN,,,,xmx,0 令，由，得，即， fx()0,,,424
,cos()x， 而对于kZ,，当时， 4
,,,3,,,22kxk,,，,，22kxk,,,，cos()0x，,若，即，则; ,,,,242444,,,3,,5,22kxk，,,，22kxk，,，,，cos()0x，,若，即，则; ,,,,242444
3,3,,,,,(,)mm,，((1),)mm与,,上，的符号总相反，于是当因此，在区间,,fx()444
3,3,**xmmN,,,,xnnN,,,,,时，fx()取得极值，所以,，此时， n44
33,,nn,,,,32,n，144fxaenae,,,,()cos()(1)，易知，而 fx()0,,nn42
3,(1)n，,,2n，24(1),aefx()n，12,,,,e是常数， 3,n,fx()2,1n，n4(1),ae2
,2,4fxae(),,e{()}fx故数列是首项为，公比为的等比数列。 1n2
3,n,,32,*4nae,,(II)对一切nNxfx,,,()恒成立，即恒成立，亦即 ,nn42
3,n,,42e,恒成立， 3,an,,4
tteet(1),,,t,1()(0)gtt,,gt()0,gt(), 设，则，令得， 2tt
,当时，，所以在区间上单调递减; 01,,tgt()0,gt()(0,1)
,当时，，所以在区间上单调递增; t,1gt()0,gt()(1,)，,
因为，且当时，所以 n,2x,(0,1)xxx,，,,(1,),,nnnn，1
,,,,542 gxgxgxggge,,,,[()]min[(),()]min[(),()]()nmin12444,
,,,242,*22因此，恒成立，当且仅当,，解得ae,， enNxfx,,,()nn4,a
,,2,2，,故实数的取值范围是。 [,)ea4
【考点定位】恒成立问题;等比数列的性质 15. 【2014山东.文19】 (本小题满分12分)
d,2在等差数列中，已知公差，是与的等比中项. {}aaaa24n1(1)求数列的通项公式; {}an
nba,(2)设，记，求. TTbbbbb,,，,，，，,？(1)nnn(1)，n1234nn2
2,(1)n，,,n为奇数,,2T,【答案】(1).(2). an,2,nnnn(2)，,，为偶数n,,2
【解析】
2()(3)adaad，,，试题分析:(1)由题意知， 111
a,2解得，即得所求. 1
bann,,，(1)(2)由题意知. nnn(1)，
2
nTnn,,，，，,，，，,，，122334(1)(1)？从而得到. n
bbn,,，2(1)由于.因此应分n为偶数、n为奇数讨论求和 nn，1
具体的，当n为偶数时，
Tbbbbbb,,，，,，，，,，()()()？ nnn12341,
,，，，，48122？n
nn(2)，, 2
当n为奇数时，
TTb,，,()nnn,1
2(1)n，. ,,2
2试题解析:(1)由题意知， ()(3)adaad，,，111
2即， (2)(6)aaa，,，111
解得， a,21
所以数列的通项公式为. {}aan,2nn
(2)由题意知. bann,,，(1)nnn(1)，
2
n所以. Tnn,,，，，,，，，,，，122334(1)(1)？n
. 因为bbn,,，2(1)nn，1
可得，当n为偶数时，
Tbbbbbb,,，，,，，，,，()()()？nnn12341,
,，，，，48122？n n(42)，n2 ,2
nn(2)，, 2
当n为奇数时，
TTb,，,() nnn,1
(1)(1)nn,，,,，nn(1) 2
2(1)n，,, 2
2,(1)n，,,n为奇数,,2T,所以. ,nnn(2)，,，为偶数n,,2
考点:等差数列、等比数列，数列的求和，分类讨论思想.
16. 【2013山东，文20】(本小题满分12分)设等差数列{a}的前n项和为S，且S,4S，a,nn422n
2a，1. n
(1)求数列{a}的通项公式; n
bbb1*n12(2)若数列{b}满足，n?N，求{b}的前n项和T. ，，，,,？1nnnnaaa212n
23n，*3,【答案】(1) a,2n,1～n?N. (2) T,. nnn2
【解析】解:(1)设等差数列{a}的首项为a～公差为d～ n1
由S,4S～a,2a，1得: 422nn
4684,adad，,，,11 ,andand，，,，,，，,，，212211,11,
解得a,1～d,2. 1*因此a,2n,1～n?N. n
bbb1*n12，，，,,？1(2)由已知～n?N～ naaa212n
b11,当n,1时～, a21
b111,,n当n?2时～. ,,,,,11,,,1nnna222,,n
b1*n,所以～n?N. na2n*由(1)知a,2n,1～n?N～ n
21n,*所以b,～n?N. nn2
13521n,，，，，？又T,～ n23n2222
1132321nn,,T,，，，，？～ n231nn，22222
两式相减得
1122221n,,,T,，，，，,？ n,,231nn，222222,,
3121n,,,,～ nn,，11222
23n，3,所以T,. nn2
17. 【2012山东.文20】(本小题满分12分) 已知等差数列{}a的前5项和为105，且aa,2. n205(?)求数列{}a的通项公式; n
*2mm,N7(?)对任意{}ab{}b，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和 nmm
7m491S,,an,7【答案】(?); (?) ，，mn48
510105,ad，,,1【解析】(1)由已知得: ,adad，,，92(4),11,
解得, ad,,7,71
所以通项公式为. ann,，,,,7(1)77n
21m,2m(II)由，得， n,7an,,77n
21m，b721m,k，1即. ?， ,,49b,7m21m,b7k
?是公比为49的等比数列， {}bm
m,7(149)7m?. S,,,(491)m,14948
18. 【2011山东.文20】(本小题满分12分)
等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何aaaa,,aaa,,,,n123123
两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
a(?)求数列的通项公式; ,,n
2nbb(?)若数列满足:，求数列的前项和. baa,，,(1)lnS,,,,nnnnn2n
,,1a19. 【2015高考山东，文19】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前n,,,,naa,nn，1,,
n项和为. 21n，
a(I)求数列的通项公式; ,,n
anTba,，,12b(II)设，求数列的前项和. n，，,,nnnn
n，14(31)4，,,n【答案】(I) (II) an,,21.T,.nn9【解析】
(I)设数列的公差为， da,,n
11令得,，所以. n,1,aa,312aa312
112，,令得，所以. n,2,aa,1523aaaa51223
解得，所以 ad,,1,2an,,21.1n
24nn,12n(II)由(I)知所以 bnn,,,,224,Tn,,，,，，,1424......4,nn
231nn，所以 41424......(1)44,Tnn,,，,，，,,，,n
121nn，两式相减，得 ,,，，，,,344......44Tnn
n4(14)134,,n，，11nn ,,,,，,n44,1433,
n，13144(31)4nn,，,,n，1所以 T,，，,4.n999
【考点定位】1.等差数列的通项公式;2.数列的求和、“错位相减法”.
1q,,20. 【2012高考陕西版文第16题】已知等比数列的公比为( a,,n2
1a,(?)若，求数列的前项和; an,,3n4
aaakN,(?)证明:对任意，，，成等差数列( kk，2k，1，
1，，n1,1n11，,,()2()，,,,2，，2【答案】(?);(?)详见解析. S,,n13,,1()2
【解析】
112q,,aaq,,a,1试题分析:(?)由及，得， 31142
所以数列的前项和an,,1
1，，n1n,111，,,()2()，,,,2，，2( S,,n13,,1()2
(?)证明:对任意， kN,，
kkkk，,,1112 ， 2()2()(21)aaaaqaqaqaqqq,，,,，,,,kkk，，211111
12q,, 由得=0，故=0( 2()aaa,，21qq,,kkk，，212
所以，对任意，，，成等差数列( aaakN,kk，2k，1，
考点:等比数列、等差数列.
x21. 【2011高考陕西版文第19题】如图，从点做x轴的垂线交曲线于点P(0,0)Q(0,1),ye,11
曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程QPPQ2122得到一系列点:记点的坐标为. PQPQPQ,;,......;,,P(,0)(1,2,...,)xkn,1122nnkk
(?)试求与的关系(2),,kn xx1k,1
( ?)求( PQPQPQPQ，，，，...112233nn【答案】(?)。 xxkn,,,,1(2)kk,1
1,nee,,( ?) SPQPQPQPQ,，，，，...nnn1122331e,【解析】
xxk,1,Qxe(,)试题分析:(?)设Px(,0)，由得点处切线方程为 ye,kk,,11,,11kk
xxkk,,11yeexx,,,() ,1k
y,0xxkn,,,,1(2)由得。 kk,1
xxx,,,,0,1xk,,,(1)( ?)，得， 11kk,k
x,,(1)kkPQee,, kk
SPQPQPQPQ,，，，，... nnn112233
,,nn11,,eee,,,,12(1)n,，，，，,,1...eee ,111,,ee
考点:数列求和.
22. 【2013高考陕西版文第17题】设S表示数列{a}的前n项和( nn
(1)若{a}是等差数列，推导S的计算公式; nnn1,q(2)若a,1，q?0，且对所有正整数n，有.判断{a}是否为等比数列，并证明你的S,1nn1,q结论(
naa，，，1nS,【答案】(1) ; (2){a}是等比数列 . nn2
【解析】
试题分析:(1)解法一:设{a}的公差为d，则 n
S,a，a，…，a,a，(a，d)，…，[a，(n,1)d]， n12n111
又S,a，(a,d)，…，[a,(n,1)d]， nnnn
?2S,n(a，a)， n1n
naa，，，1nS,?. n2
解法二:设{a}的公差为d，则 n
S,a，a，…，a,a，(a，d)，…，[a，(n,1)d]， n12n111
又S,a，a，…，a ,nnn11
,[a，(n,1)d]，[a，(n,2)d]，…，a， 111
?2S,[2a，(n,1)d]，[2a，(n,1)d]，…，[2a，(n,1)d] n111
,2na，n(n,1)d， 1
nn，,，1?S,na，d. n12
(2){a}是等比数列，证明如下: nnnnn，11,q111,,，,，qqqqn?，?a,S,S,. ，，,,,qS,n1n1nn111,,,qqq1,q
?a,1，q?0， 1naqn，1?当n?1时，有， ,,qn,1aqn
因此，{a}是首项为1且公比为q的等比数列( n
考点:等差数列、等比数列.
2nfxxxxnNn()1,,2.,，，，,,,？23. 【2015高考陕西，文21】设 n
,f(2)(I)求; n
n2112,,,,0,fx()a(II)证明:在内有且仅有一个零点(记为)，且. ,,,a0n,,n,,n3233,,,,
n,fn(2)(1)21,,，【答案】(I) ;(II)证明略，详见解析. n
【解析】
n,1n,1,,fxxnx()12,，，，？fn(2)1222,，，，，？试题分析:(I)由题设，所以，此式等价于nn
nn,1,fn(2)(1)21,,，数列{2}n,的前项和，由错位相减法求得; nn
n22222,,,,(0,) (II)因为，，所以在内至f(0)10,,,fx()f,,，,,，,()12120n,,,,n3333,,,,
2n,1,(0,)少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，fxxnx()120,，，，,？fx()nn3
n21,x(0,)在内有且只有一个零点，由于，所以fx()1,,fx()annn31,x
n111121,an，1naa,，,,,a，由此可得，故，继而得0()1,,,fannnnn232221,an
nn，1111212,,,,n，1. aa,,,,，,，0,,,,nn222333,,,,
n,1,试题解析:(I)由题设， fxxnx()12,，，，？n
n,1,所以 ? fn(2)1222,，，，，？n
2n,由 ? 2(2)12222fn,，，，，，？n
21nn,,??得 ,,，，，，,fn(2)12222？,n
2,12nn,,,,,,nn ， 2(1)21,12
n,所以 fn(2)(1)21,,， n
f(0)10,,, (II)因为
n,,22,,,1,,,,2n,,33,,222,,,,,,f,,,,，,,，,， ()112120,,,,n2333,,,,,13
2(0,)fx()所以在内至少存在一个零点， n3
n,1,fxxnx()120,，，，,？又 n
2(0,)fx()所以在内单调递增， n3
2(0,)fx()a因此，在内有且只有一个零点， nn3
n1,xfx()1,,由于， n1,x
n1,an所以 0()1,,,fann1,an
111n，1aa,，,由此可得 nn222
12,,a故 n23
nn，1111212,,,,n，1所以 aa,,,,，,，0,,,,nn222333,,,,
【考点定位】1.错位相减法;2.零点存在性定理;3.函数与数列.
24. 【2013课标全国?，文17】(本小题满分12分)已知等差数列{a}的公差不为零，a,25，n1
且a，a，a成等比数列( 11113
(1)求{a}的通项公式; n
(2)求a，a，a，„，a. 1473n,2【解析】:(1)设{}的公差为. adn
2由题意，,aa， a11311
2即(a，10d),a(a，12d)( 111
于是，25d(2ad),0. 1
又a,25，所以d,0(舍去)，d,,2. 1
故a,,2n，27. n
(2)令S,a，a，a，„，a. n1473n,2由(1)知a,,6n，31，故{a}是首项为25，公差为,6的等差数列( 3n,23n,2
nn2从而S,(a，a),(,6n，56),,3n，28n. ,n13n22225. 【2015高考四川，文16】设数列{a}(n,1，2，3…)的前n项和S满足S,2a,a，且a，nnnn31
a，1，a成等差数列. 23
(?)求数列的通项公式;
1{}(?)设数列的前n项和为T，求T. nnan
【解析】(?) 由已知S,2a,a，有 nn1a,S,S,2a,2a(n?2) ,,nnn1nn1
即a,2a(n?2) ,nn1
从而a,2a，a,2a,4a， 21321又因为a，a，1，a成等差数列 123
即a，a,2(a，1) 132
所以a，4a,2(2a，1)，解得a,2 1111
所以，数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列 n
n故a,2. n
11n,[1()]11111122(?)由(?)得所以T, ,，，，,,,......1nn2nn12a2222n,12【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识，考
查运算求解能力.
26. 【2011四川，文20】(本小题共12分)
已知是以a为首项，q为公比的等比数列，为它的前n项和( {}aSnn
(?)当、、成等差数列时，求q的值; SSS134
(?)当、、成等差数列时，求证:对任意自然数k，、、也成等差数列( aSSSaamnlmk，nk，lk，
15,?)q,;(?)证明略. 【答案】(2
n,1223【解析】(?)由已知，，因此Sa,，，( aaq,Saqq,，，(1)Saqqq,，，，(1)1n43
32当SSS，,2S、S、S成等差数列时，，可得( aqaqaq,，134143
15,2q,化简得(解得( qq,,,102
aa,a{}aaa(?)若q,1，则的每项，此时、、显然成等差数列( nnmk，nk，lk，
mlnaqaqaq(1)(1)2(1),,,，,SSS，,2SSS若q,1，由、、成等差数列可得，即( mnlmlnqqq,,,111
mlnkmlnk,，,11整理得(因此，( qqq，,2aaaqqqaqa，,，,,()22mklknk，，，
aaa所以，、、也成等差数列( mk，nk，lk，
27. 【2011四川，文22】(本小题共14分)
21已知函数，( fxx(),，hxx(),32
22(?)设函数F(x),18f(x),x[h(x)]，求F(x)的单调区间与极值;
33a,R(?)设，解关于x的方程; lg[(1)]2lg()2lg(4)fxhaxhx,,,,,,24
1*n,N(?)设，证明:( fnhnhhhn()()[(1)(2)()],，，，,？6
x,2x,[0,2)Fx()x,，,[2,)Fx()Fx()【答案】(?)时，为增函数;当时，为减函数;为的极大
14,,a45,,a值点，且;(?)?当时，原方程有一解;?当时，原方xa,,,35F(2)25,
a,5x,3a,1a,5程有二解;?当时，原方程有一解;?当或时，原方程无解;(?)xa,,,35
证明略.
223【解析】(?)， Fxfxxhxxxx()18()[()]129(0),,,,，，,
2,( ？,,，Fxx()312
x,2x,,2,令，得(舍去)( ？,Fx()0
,,当时(;当时，， x,(0,2)Fx()0,x,，,(2,)Fx()0,故当时，为增函数;当时，为减函数( x,[0,2)Fx()x,，,[2,)Fx()x,2为的极大值点，且( Fx()F(2)824925,,，，,
33(?)方法一:原方程可化为， log[(1)]log()log(4)fxhaxhx,,,,,,42224
xa,,ax,,log(1)loglog4logxaxx,,,,,,即为，且 ,422214,,,x4,x,
ax,214,,a1,,xaxxa,，，,640时，，则，即， ?当x,,14,x
6204,,a1,,xaxa,,,,35，此时，?， ,,,，,,,364(4)2040aa2
xa,,,35此时方程仅有一解(
ax,2a,414,,xxxa,，，,640?当时，，由，得，， ,,,，,,364(4)204aax,,14,x
45,,a,,0xa,,,35若，则，方程有两解; a,5,,0x,3若时，则，方程有一解; a,1a,5若或，原方程无解(
log(1)log(4)log()xhxhax,，,,,方法二:原方程可化为， 422
x,,10,,,14,,x,40,,,x1,,即， ,log(1)log4logxxax,，,,,,,xa,,,222ax,,0,2,,2ax,,,，(3)5.,,(1)(4).xxax,,,,,
14,,a?当时，原方程有一解xa,,,35; 45,,axa,,,35?当时，原方程有二解; a,5x,3?当时，原方程有一解;
a,1a,5?当或时，原方程无解(
1431n，(?)由已知得，( hhhnn(1)(2)()]12，，，,，，，？？fnhnn()(),,,666
1*n,N设数列的前n项和为，且() {}aSSfnhn,,()()nnn6
4341kk，,2100,,k从而有，当时，( aS,,1aSSkk,,,,,111kkk,166
2211(43)(41)(1)kkkk，,,,又 akkkkk,,，,,,[(43)(41)1],,k66(43)(41)1kkkk，，,,
11,,,0( 6(43)(41)1kkkk，，,,
k,2即对任意时，有，又因为，所以( ak,a,,11aaan，，，,，，，？？12k112n
Shhhn,，，，(1)(2)()？则，故原不等式成立( n
28. 【2012四川，文20】(本小题满分12分)
,,0已知数列{}aS,aaSS,，的前项和为，常数，且对一切正整数都成立. nn11nnnn
{}a(?)求数列的通项公式; n
1{lg},,100a,0(?)设，.当为何值时，数列的前项和最大, nn1an
29. 【2013四川，文16】(本小题满分12分)
{}aaa,,22a3aa{}a在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前n1n2123n项和.
n31,S,a,1【答案】首项，公比，前n项和. q,3n12
q【解析】设该数列的公比为，由已知，可得，
aqa,,2,11 ， ,243aqaaq,，,111
xd30. 【2014四川，文19】设等差数列的公差为，点在函数的图象上{}a(,)abfx()2,nnn
*nN,().
(1)证明:数列是等比数列; {}bn
122,(2)若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列fx(){}aba,1(,)abx122nnln2的前项和. Snn
n，1(31)44n,，)详见解析;(2). 【答案】(1T,n9
【解析】
ann,1试题分析:据题设可得，b,2.(1)当时，将相除，可得商为常数，从而证得其为bb,nn，1n
ax2等比数列.(2)首先可求出在处的切线为ybxa,,,2ln2()，令y,0得(,)abfx()2,2222
1an2n2,,，,,,？,bxaxaa(2ln2)(),,2b,2abn,,4，由此可求出an,，.所以，2222nnnnln2
这个数列用错位相消法可得前 项和T. nn
an,0b,2试题解析:(1)由已知，.. n
baa,dn，1nn，1n,1,,22当时，. bn
ad122所以，数列是首项为，公比为的等比数列.
xxx,(,)ab(2)求导得，所以在处的切线为fx()2,fx()2ln2,fx()2,22
1aa22,,，,,,？,bxaxaa(2ln2)(),,2ybxa,,,2ln2()y,0，令得， 222222ln2
n2nb,2abn,,4dan,,,？,211,所以，.所以， nnnn
231nn,Tnn,,，,，,，，,,，,142434(1)44？其前项和:…………………………? nn
2341nn，4142434(1)44Tnn,,，,，,，，,,，,？两边乘以4得:…………………………? n
n，1n，144,(31)44n,，2311nnn，，?,?得:，所以. TTnn,,，，，，,,,,,4444444？T,nnn39
【考点定位】等差数列与等比数列及其前前项和，导数的几何意义. n
231. 【2014全国1，文17】已知是递增的等差数列，，是方程的根。 xx,，,560aaa,,24n
(I)求的通项公式; a,,n
a,,n(II)求数列的前项和. n,,n2,,
2【解析】(1)方程xx,，,560的两根为2,3，由题意得. aa,,2,324
13d,a,设数列的公差为d，则，故，从而. {}aaad,,21n4222
1an,，1所以的通项公式为. {}ann2
aan，2nn{},(2)设的前n项和为，由(1)知，则 Snnnn，1222
3412nn，，S,，，，，？， n231nn，2222
13412nn，，S,，，，，？. n3412nn，，22222
131112n，S,，，，，,()？两式相减得 n23412nn，，222222
3112n，,，,,(1) nn，，124422
n，4S,,2所以. nn，12
n，2Sa,32. 【2012全国1，文18】已知数列{a}中，a,1，前n项和. n1nn3(1)求a，a; 23
(2)求{a}的通项公式( n
4Sa,【解析】:(1)由得3(a，a),4a，解得a,3a,3; 12221223
53Sa,由得3(a，a，a),5a，解得a,(a，a),6. 12333123332
(2)由题设知a,1. 1
nn，，21aa,当n,1时有a,S,S,， nnn,1nn,133
n，1aa,整理得. nn,1n,1
34于是a,1，a,a，a,a，„ 1213212
n，1na,a，a,a. n,1n,2nn,1n,2n,1
nn(1)，a,将以上n个等式两端分别相乘，整理得. n2
nn(1)，a,综上，{a}的通项公式. nn2
33. 【2011全国1，文17】
34. 【2013课标全国?，文17】(本小题满分12分)已知等差数列{a}的前n项和S满足S,0，nn3
S,,5. 5
(1)求{a}的通项公式; n
,,1(2)求数列的前n项和( ,,aa2121nn,，,,
nn(1),nad，【解析】:(1)设{a}的公差为d，则S,. nn12
330,ad，,,1由已知可得 ,5105,ad，,,1
解得a,1，d,,1. 1
故{a}的通项公式为a,2,n. nn
11111,,,,(2)由(1)知,， ,,aa，,，，,，,,321222321nnnn,,2121nn,，
,,1从而数列的前n项和为 ,,aa2121nn,，,,
n1111111,,,. ,，,，，,？,,12,n211132321,,,nn,,
35. 【2011新课标，文17】
【解析】
36. 【2015高考浙江，文17】(本题满分15分)已知数列a和b满足，{}{}nn
*abaa,,,,2,1,2(nN), 111nn，
111*bbbbb，，，，,,,？1(nN). nn，1231n23
ba(1)求与; nn
TTab(2)记数列的前n项和为，求. {}nnnn
nn，1*abn,,2;TnnN,,，,(1)22()【答案】(1);(2) nnn
【解析】
(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式;(2)根据(1)问得到新的数列的通
项公式，利用错位相减法进行数列求和.
n试题解析:(1)由，得. a,2aaa,,2,211nn，n
当时，，故. n,1bb,,1b,2122
1bn，1n，1当n,2时，bbb,,，整理得， ,nnn，1nbnn
所以. bn,n
n(2)由(1)知， abn,,2nn
23n所以 Tn,，,，,，，,222322？n
2341nn， 222232(1)22Tnn,，,，,，，,,，,？n
2311nnn，， 所以TTTnn,,,,，，，，,,,,,222222(1)22？nnn
n，1所以. Tn,,，(1)22n
【考点定位】1.等差等比数列的通项公式;2.数列的递推关系式;3.错位相减法求和.
37. 【2014年.浙江卷.文19】(本小题满分14分)
d,0{}a{}aa,1SS,,36S已知等差数列的公差，设的前项和为，， nnnn123(1)求及; dSn
*mkN,,aaaa，，，，,？65(2)求()的值，使得. mk,mmmmk，，，12
,2n,Nd,2m,5k,4S,n【答案】(1)，();(2)，. n
【解析】
d,0dSS,,36{a}a试题分析:(1)根据求出，再由，求出数列的通项公式，用等差数列的23nn
kaaaa，，，，,？65S求和公式求;(2)由(1)的结论，把表示为与的等式，由mmmmmk，，，12n
,条件 m,k,N
2m，k,1,13,得出，解方程组求得结论. ,k，1,5,
试题解析:(1)由题意，， (2a，d)(3a，3d),3611
将代入上式得d,2或d,,5， a,11
,2因为d,0，所以d,2，从而，(n,N). S,na,2n,1nn
(2)由(1)知，， a，a，,,,，a,(2m，k,1)(k，1)nn，1n，k
所以， (2m，k,1)(k，1),65
,由知，， (2m，k,1)(k，1),1m,k,N
2m，k,1,13m,5,,所以，所以. ,,k,4k，1,5,,
考点:数列的概念，通项公式，求和公式.
38. 【2013年.浙江卷.文19】(本题满分14分)在公差为d的等差数列{a}中，已知a,10，且n1
a2a，2,5a成等比数列( 1,23
(1)求d，a; n
(2)若d,0，求|a|，|a|，|a|，„，|a|. 123n
121,2,，,nnn,11,,d,,1d,4,,,22【答案】(1) 或 (2) ,,,an,,，11an,，46121nn,,2,nnn,，,110,12.,,222【解析】:(1)由题意得5a?a,(2a，2)～ 3122即d,3d,4,0.
故d,,1或d,4. **所以a,,n，11～n?N或a,4n，6～n?N. nn
(2)设数列{a}的前n项和为S～因为d,0～由(1)得d,,1～a,,n，11.则当n?11时～|a|nnn1
1212,，nn，|a|，|a|，„，|a|,S,. 23nn22
1212nn,当n?12时～|a|，|a|，|a|，„，|a|,,S，2S,，110. 123nn1122
121,2,，,nnn,11,,,22综上所述～|a|，|a|，|a|，„，|a|, 123n,1212,nnn,，,110,12.,,22
2*39. 【2012年.浙江卷.文19】已知数列{a}的前n项和为S，且S,2n，n，n?N，数列nnn*{b}满足a,4logb，3，n?N( nn2n
(1)求a，b; nn
(2)求数列{a?b}的前n项和T( nnn,n*【答案】(1)a,4n,1～n?N(2) T,(4n,5)2，5～n?N( nn2【解析】解:(1)由S,2n，n～得当n,1时～a,S,3, n11
当n?2时～a,S,S,4n,1( ,nnn1*所以a,4n,1～n?N( nn,1*由4n,1,a,4logb，3～得b,2～n?N( n2nn
n,1*～n?N( (2)由(1)知ab,(4n,1)?2nn2n,1,2n,1所以T,3，7×2，11×2，„，(4n,1)?22T,3×2，7×2，„，(4n,5)?2，(4n,nnn1)?2～ n2n,1n所以2T,T,(4n,1)2,,3，4(2，2，„，2),,(4n,5)2，5( nn
n*故T,(4n,5)2，5～n?N( n
40. 【2011年.浙江卷.文19】(本题满分14分)已知公差不为0的等差数列的首项 为 {}aaan1
111aR,(),且，，成等比数列. aaa124
(?)求数列的通项公式. {}an
1111*(?)对，试比较 与的大小. ，，，...nN,aaaa2n1222
1111【答案】(?)(?) > ana,，，，...naaaa2n1222
11122【解析】:(?) ,,,daa,,,,,，,，aaaadaad()(3)12141112aaa214
数列的通项公式 {}aaandanana,，,,，,,(1)(1)n111n
11n,[1()]1111n221111aa,2(?)记因为，所以,T,，，，...nn2T,，，，(...)1n2naaaa2n2a22222,1 2
11n11a,0a,0,,[1()]从而当时，;当时， T,T,nna2aa1141. 【2011高考重庆文第16题】(13分)
n设a,2aa,，4是公比为正数的等比数列，，. {}a321
{}a (?)求的通项公式; n
{}b{}ab，s (?)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和. nnnnn
2aaaqq,,，,，2,4224得{}a【答案】(I)设q为等比数列的公比，则由， n132
2q,2.即，解得(舍去)，因此 qq,,,20qq,,,21或
nn,1*anN,,,,222().{}a所以的通项为 nn
n2(12)(1),,nn (II) Sn,，，，，12.n122,
n，12 ,，,22.n
42. 【2012高考重庆文第16题】(本小题满分13分，(?)小问6分，(?)小问7分))已知{}an为等差数列，且(?)求数列的通项公式;(?)记的前项和aaaa，,，,8,12,{}a{}an1324nn为，若成等比数列，求正整数k的值。 SaaS,,n12kk，
2nk,6【答案】(?)(?) a,n
228ad，,,1【解析】::(?)设数列 的公差为d,由题意知 解得 {}aad,,2,2,n12412ad，,1,
所以 aandnn,，,,，,,(1)22(1)2n1
()aan，(22)，nn1nSnn,,,，(1)(?)由(?)可得 因 成等比数列，所以aaS,,n12kk，22
222kk,,,560 从而 ，即 aaS,(2)2(2)(3)kkk,，，，kk12
k,6k,,1k,6解得 或(舍去)，因此 。
43. 【2013高考重庆文第16题】(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分()设数列{a}n满足:a,1，a,3a，n?N. 1n，1n，
(1)求{a}的通项公式及前n项和S; nn
(2)已知{b}是等差数列，T为其前n项和，且b,a，b,a，a，a，求T. nn12312320【答案】解:(1)由题设知{a}是首项为1，公比为3的等比数列， n
n113,n,1n所以a,3，S,,(3,1)( nn213,
(2)b,a,3，b,1，3，9,13，b,b,10,2d， 12331
所以公差d,5，
2019，故T,20×3，×5,1 010. 202
44. 【2014高考重庆文第16题】(本小题满分13分.(I)小问6分，(II)小问7分)
,,,,Saa已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和. nnnn
aS(I)求及; nn
2,,,,bb(II)设是首项为2的等比数列，公比满足，，，求的通项公式q,a，1q，S,0qnn44
及其前项和. Tnn
221nn,2bT,,,2,41【答案】(I);(II). anSn,,,21,，，nnnn3【解析】
试题分析:(I)已知等差数列的首项和公差，可直接利有公式
nn,1，，求解. aandSnad,，,,，1,，，nn112
2q(II)利用(I)的结果求出，解方程得出等比数列的公比的值，,,baS,，，q,a，1q，S,0n4444
nbq,1,，，1,n,1n从而可直接由公式求的通项公式及其前项和. ,,bTbbqT,,,,nbq1,,nnnn1，，1q,1，，,1,q,
试题解析:
d,2解:(I)因为是首项，公差的等差数列，所以 ,,aa,1n1
aandn,，,,,121，，n1
naann，，,121，，，，1n2故 ,13(21)Snn,，，，,,,,？n22
22(II)由(I)得，因为，即 aS,,7,16.，，q,a，1q，S,0qq,，,81604444
2q,,40所以，从而q,4. ，，
nnn,,,1121q,4bbq,,,,242又因b,2，是公比的等比数列，所以 b,,1nn1
nbq1,，，21n从而的前项和 bT,,,41n,,，，nn13,q
考点:1、等差数列的通项公式与前项和公式;2、等比数列的通项公式与前项和公式 nn
9aS45. 【2015高考重庆，文16】已知等差数列a满足=2，前3项和=. ,,33n2
(?)求a的通项公式， ,,n
babaTbb(?)设等比数列满足=，=，求前n项和. ,,,,1n1415nn
n+1na=T=-21【答案】(?)，(?). nn2
【解析】
试题分析:(?)由已知及等差数列的通项公式和前n项和公式可得关于数列的首项a和公式d的1
二元一次方程组，解此方程组可求得首项及公差的值，从而可写出此数列的通项公式，
(?)由(?)的结果可求出b和b的值，进而就可求出等比数列的公比，再由等比数列的前n14
nbq(1)-1项和公式即可求得数列前n项和( TbT=,,nnn1-q
试题解析: (1)设的公差为d，则由已知条件得 a{}n
329?adad+=+=22,3, 1122
3adad+=+=22,,化简得 112
1ad=1,，=解得 12
n-1n+1a=1+a=故通项公式，即. nn22
15+1bba=1==8，=(2)由(1)得. 14152
b34q8==设的公比为q,则,从而. q=2b{}nb1
的前n项和 故b{}n
nnbq(1)1(12)-?n1. T===-21n112--q
【考点定位】1. 等差数列，2. 等比数列. 46. 【2015高考安徽，文18】已知数列是递增的等比数列，且aaaa，,,9,8. a,,1423n(?)求数列的通项公式; a,,n
an，1b,(?)设ST为数列的前n项和，，求数列的前n项和. ab,,,,nnnnnSSnn，1
n，122,n,1a,2【答案】(?)(?) nn，121,【解析】
a,a,a,a,8(?)由题设可知， 1423
a,1a,8,,11又， 可解的或(舍去) a，a,9,,14aa,8,144,,
n,1n,13q,2a,aq,2由得公比，故. a,aqn141
nnaq(1,)1,2n1(?) S,,,2,1nq1,1,2
aSS,11nnn，，11又 b,,,,nSSSSSSnnnnnn，，，111
,,,,,,11111111,,,,,,所以 Tbbb,，，，,,，,，，,,,......n12n,,,,,,SSSSSSSS1223nn，11n，1,,,,,,
1,1,. n，12,1
【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n项和，以及利用裂项相消
法求和.
47. 【2014，安徽文18】(本小题满分12分)
，数列满足 {}aananannnN,,，，，,1,(1)(1),n11nn，
an(I)证明:数列是等差数列; {}
n
n{}b(II)设，求数列的前项和S ba,,3nnnnn
n，1(21)33n,,，an【答案】(I)数列是等差数列;(II)( {}S,nn4【解析】
aaaann，1nn，1,，1,,1试题分析:(I)证明:在原等式两边同除以，得，即，所nn(1)，nnnn，1，1
aaan1n{},11(1)1,，,,,nn以是以为首项，为公差的等差数列((2)由(I)得，所以1n1n
2n，从而( an,bn,,3nn
n，1(21)33n,,，用错位相减法求得( S,n4
aaaaaannn，1nn，11{},1,，1,,1试题解析:(I)证明:由已知可得，，即，所以是以为nnnnn1，1，1
a2nn1(1)1,，,,,nn首项，为公差的等差数列((2)由(I)得，所以，从而( an,bn,,31nnn
123n ? Sn,,，,，,，，,1323333？n
2341n， ? 31323333Sn,,，,，,，，,？n
?,?得
nn，13(13)(12)33,,,,,nn，1121nn，( ,,,,n3,,，，，,,23333Sn？n132,
n，1(21)33n,,，所以( S,n4
考点:1(等差数列的证明;2(错位相减法求和(
nN,*48. 【2013，安徽文19】设数列满足，，且对任意，函数aa,2aa，,8,,n124
,f'()0,满足 fxaaaxaxax()()cos-sin,,，，,,nnnnn，，，，12122
(?)求数列a的通项公式; ,,n
1ba,，()(?)若2b，求数列的前项和( Sn,,nnnnan2
【答案】(I)((II)详见解析( an,，1n
【命题立意】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和计算等基础知识和基本技
能，考查逻辑推理能力和运算求解能力(
【解析】由a,2，， ， aa，,8fxaaaxaxax()()cos-sin,,，，,,124nnnnn，，，，1212
,,faaaa'()--0,，,，， ?fxaaaaxax(),，,,--sin-cosnnnn，，，121nnnnn，，，，12122
d,1a,2a,42aaa,，，是等差数列(而，，，？,，,,，ann2-111()( ？a,,13nnn，，12nn
111bann,，,，，,，，()()()22121(2)，nnann，1n222
11(),1n()，，nn22111222( Snnnn,，，，,,，，,()=3131nnn1222,12
n【考点】1(函数的求导法则和求导公式;2(等差等比数列通项公式及前项和公式(
【举一反三】函数与导数的综合题是常见题型，这类问题基本都是利用函数作为载体，关键还是数
列问题(
xsinxf(x)49. 【2012，安徽文21】设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为2
{x}( n
{x}(?)求数列的通项公式; n
(?)设的前项和为，求( {x}SsinSnnnn
2,**xn,,2【答案】(?);(?)当时，;当时，,sin0S,nkkN,,3()nkkN,,,31()nn3
33*;当时，( sinS,S,,sinnkkN,,,32()nn22
【解析】(I)
x12,,fxxfxxxkkZ()sin()cos02(),，,,，,,,,,(,223
22,,,fxkxkkZ()022(),,,,,，,，,,33
24,,2,,fxkxkkZ()022(),,，,,，,xkkZ,,,2()，得:当时，取极小,,,fx()333
2,？,,xn2值，( ,n3
2,xn,,2(II)由(I)得:，,n3
22nn,,*Sxxxxnnn,，，，，,，，，，,,，,？？2(123)(1)(当,,nkkN,,3()nn12333
23,*S,,sinsin时，;当时，;当sinsin(2)0Sk,,,,nkkN,,,31()nn32
43,**S,,,sinsin时，(综上:当时，;当sin0S,nkkN,,,32()nkkN,,3()nn32
33**sinS,S,,sin时，;当时，( nkkN,,,31()nkkN,,,32()nn22
ab50. 【2015高考天津，文18】(本小题满分13分)已知是各项均为正数的等比数列,是{}{}nn等差数列,且abbba==+=1,2ab-=37,. 1123352
ab(I)求和的通项公式; {}{}nn
*c(II)设,求数列的前n项和. cabn= ,N{}nnnn
nn,,1,Sn,,，2323【答案】(I),bnn,,,21,N;(II) an,,2,N，，nnn
【解析】
(I)列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项;(II)用错位相减法求和.
2,232,qd,,abq,0试题解析:(I)设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d{}{},nn4qd,,310,,
n,,142得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公abqd,,2,2an,,2,Nqq,,,280,{}{}nnn
,式为. bnn,,,21,Nn
n,1(II)由(I)有 ,设的前n项和为 ,则 cn,,212cS{}，，nnn
0121n, Sn,，，，，，，，,，123252212,？，，n
123n 2123252212,Sn,，，，，，，，,，？，，n
23nnn两式相减得 ,,，，，，,,，,,,，,Snn12222122323,？，，，，n
n所以 . Sn,,，2323，，n
【考点定位】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及错位相减法求和,考查基本运算能力.
51. 【2012天津，文18】已知{a}是等差数列，其前n项和为S，{b}是等比数列，且a,b,nnn11
2，a，b,27，S,b,10( 4444
(1)求数列{a}与{b}的通项公式; nn**(2)记T,ab，ab，„，ab，n?N，证明T,8,ab(n?N，n,2)( ,，n1122nnnn1n1【答案】(?)an,3n,1，bn,2n;(?)详见解析
【解析】解:(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(由a1,b1,2，得a4,2
，3d，b4,2q3，S4,8，6d(
3d,3,,23227,，，,dq,由条件，得方程组解得 ,,3q,2.86210,，,,dq,,
所以an,3n,1，bn,2n，n?N*(
(2证明:由(1)得
Tn,2×2，5×22，8×23，„，(3n,1)×2n，?
2Tn,2×22，5×23，„，(3n,4)×2n，(3n,1)×2n，1(? 由?,?，得
Tn,2×2，3×22，3×23，„，3×2n,(3n,1)×2n，1 ,
n6(12)，,,,(3n,1)×2n，1,2,,(3n,4)×2n，1,8，
12,
即Tn,8,(3n,4)×2n，1，
而当n,2时，an,1bn，1,(3n,4)×2n，1(
所以，Tn,8,an,1bn，1，n?N*，n,2(
ab52. 【2011天津，文20】已知数列与满足,,,,nn
n,13(1)，,n,,且. bnNbaba，,,，(2)1a,2,,,,，，111nnnnn2(?)求的值; aa,23
(?)设,,证明是等比数列; nN,,caa,,c,,nnn2121，,n
SSSS1,212nn,12(?)设为的前n项和,证明，，，，,,,？. nnN()Sa,,nnaaaa312212nn,
3aa,,,,8,【答案】(1) (2)详见解析，(3)详见解析 232
3*53. 【2013天津，文19】已知首项为的等比数列{a}的前n项和为S(n?N)，且,2S，S4Snn23,42
成等差数列(
(1)求数列{a}的通项公式; n
113*(2)证明(n?N)( S，,nS6n
n,1313,,n,1【答案】(?);(?)详见解析 a,，,,,,(1)n,,n222,,
【解析】(1)解:设等比数列{an}的公比为q，因为,2S2，S3,4S4成等差数列，
a14q,,,所以S3，2S2,4S4,S3，即S4,S3,S2,S4，可得2a4,,a3，于是. a23
n,13313,,n,1又a1,，所以等比数列{an}的通项公式为. a,，,,,,(1)n,,n2222,,
n1,,(2)证明， S,,,1,,n2,,
1,n，，为奇数，n2111,,nn，1,22，，1S，,,,，,n,,n, S2,,,1,,n11,,,,,n2.，，为偶数2nn,,,221，,，,
11131S，SS，,，=当n为奇数时，随n的增大而减小，所以. n1nSSS6nn1
11251S，SS，,，=当n为偶数时，随n的增大而减小，所以. n2nSS12Snn2
113S，,n6Sn故对于n?N*，有.
q54. 【2014天津，文20】已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，n,,M,0,1,2？q,1
n,1,,A,xx,x，xq，？xq,x,M,i,1,2,？n集合， ni12
q,2,n,3(1)当时，用列举法表示集合A;
n,1n,1s,t,A,s,a，aq，？，aq,t,b，bq，？bq,a,b,M,i,1,2,？n,(2)设其中证ii12n12n
a,b,明:若则. s,tnn
A,0,1,2,3,4,5,6,7,,【答案】(1) ， (2) 详见解析. 【解析】
M,0,1q,2,n,3,,试题分析:(1)本题实质是具体理解新定义，当时，，AxxxxxxMi,,，，,,24,,1,2,3(,,)xxx，再分别对取,,123i123(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(1,1,1),A,0,1,2,3,4,5,6,7,, 得到 (2)证明大小不
nn,,21stababqabqabq,,,，,，，,，,()()()()？等式，一般利用作差法. ,根据新定义:112211nnnn,,abqabin,,,,,,,,1,1,(1,2,,1)？，所以iinn
n,1(1)(1)qq,,nnn,,,211stqqqqqqq,,,，,，，,,,,,,,(1)(1)(1)10？s,t，即. 1,q试题解析:
M,0,1AxxxxxxMi,,，，,,24,,1,2,3q,2,n,3,,解:当时，，，可得，,,123iA,0,1,2,3,4,5,6,7,,
n,1n,1a,b,M,i,1,2,？n,证明:由及s,t,A,s,a，aq，？，aq,t,b，bq，？bq,ii12n12n
nn,,21a,b,stababqabqabq,,,，,，，,，,()()()()？可得 nn112211nnnn,,
n,1(1)(1)qq,,nnn,,,211,,，,，，,,,,,,,(1)(1)(1)10qqqqqqq？ 1,q
s,t所以.
考点:新定义，作差证明不等式，等比数列求和
55. 【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】成等差数列的三个正数的和等于15，
bbb{b}并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列的、、( 345n
{b}(?)求数列的通项公式; n
5nS{b}(?)数列的前项和为，求证:数列{S，}是等比数列( nnn4【解析】(?)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d( 依题意，得a-d+a+a+d=15，解得a=5(
{}b7,10,18,，ddbbb,,所以中的依次为( n345
d,2d,,13(7)(18)100,，,dd依题意，有，解得或(舍去)(
故的第3项为5，公比为2( {}bn
522由，即，解得( bb,,252,,bb,11314
55nn,,13252b,,,,所以是以为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为( {}bnn44
5n,(12)55n,2,2n452S，,, (?)数列的前n项和，即( {}bS,,,,52nnn4,124
5S，n,1n，15552,4S，,所以，( ,,21n,2542,52S，n4
55{}S，因此数列是以为首项，公比为2的等比数列( n42
【考点定位】考查数列的综合运用，属于中档题.
{}a56. 【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】已知等差数列前三项的和为，,3n
. 前三项的积为8
{}a(?)求等差数列的通项公式; n
aaan{||}a(?)若，，成等比数列，求数列的前项和. 231n
{}aaad,，aad,，2【解析】(?)设等差数列的公差为，则，， dn2131
333,ad，,,a,2,a,,4,,,,111由题意得 解得或 ,,,d,,3,d,3.aadad()(2)8.，，,,,111,
所以由等差数列通项公式可得
ann,,,,,，23(1)35ann,,，,,,43(1)37，或. nn
an,,，35an,,37故，或. nn
aaaan,,，35(?)当时，，，分别为，，，不成等比数列; 2,1,4231n
aaaan,,37当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件. 2,1,4231n
,，,37,1,2,nn,故 |||37|an,,,,n37,3.nn,,,
nS{||}a记数列的前项和为. nn
Sa,,||4Saa,，,||||5当n,1时，;当n,2时，; 11212
SSaaa,，，，，||||||？,，，,，，,，，,5(337)(347)(37)？n当n,3时， nn234
(2)[2(37)]311nn,，,2n,2. 当时，满足此式. ,，,,，510nn222
4,1,n,,,综上， S,,311n2nnn,，,10,1.,,22
考点:本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解;有时需要利用等差数列的aand,，,1，，n1
an,c'c'0,定义:(为常数)或等比数列的定义:(为常数，)来判断该数aac,,cc'nn,1an,1
列是等差数列或等比数列，然后再求解通项;有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.
nSS{}a57. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷19】已知是等比数列的前项和，，n4nSS，成等差数列，且. aaa，，,,1823234
{}a(?)求数列的通项公式; n
nn(?)是否存在正整数，使得S,2013,若存在，求出符合条件的所有的集合; n
若不存在，说明理由(
?0，【解析】(1)设数列{a}的公比为q，则aq?0. 1n
SSSS,,,,,2432由题意得 ,aaa，，,,18,234,
232a,3,,,,,aqaqaq,,1111即解得 ,,2q,,2.aqqq，，，，,,118,,,1
n,1故数列{a}的通项公式为a,3(,2). nn
n3[12],,，,，n(2)由(1)有S,,1,(,2). n12,，,，
若存在n，使得S?2 013， n
n则1,(,2)?2 013，
n即(,2)?,2 012.
n当n为偶数时，(,2),0，上式不成立;
nnn当n为奇数时，(,2),,2?,2 012，即2?2 012，则n?11.
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n,2k，1，k?N，k?5}(
{a}a,258. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷18】已知等差数列满足:，且、an11
a、成等比数列. a52
{a}，?，求数列的通项公式. n
，?，记S为数列{a}的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最nnnS,60n，800?nnn小值;若不存在，说明理由.
{a}【解析】，?，设数列的公差为，依题意，成等比数列， 2,2，d,2，4ddn
2所以，解得或， (2，d),2(2，4d)d,0d,4
当时，;当时，， a,2a,2，(n,1)，4,4n,2d,0d,4nn
{a}所以数列的通项公式为a,2或. a,4n,2nnn
2n,60n，800(?)当a,2时，S,2n，显然，不存在正整数，使得. nS,60n，800nnn
n[2，(4n,2)]2当时，， a,4n,2S,,2nnn2
222n,60n，800n,30n,400,0令，即，
解得或(舍去) n,40n,,10
n，使得成立，n的最小值为41. 此时存在正整数S,60n，800n
a,2n综上所述，当时，不存在正整数; n
nn当a,4n,2S,60n，800时，存在正整数，使得成立，的最小值为41. nn
考点:等差数列、等比数列的性质，等差数列的求和公式.
{}aS{}b59. 【2015高考湖北，文19】设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比nnn
ba,S,100b,2为q(已知，，qd,，( 11210
{}a{}b(?)求数列，的通项公式; nn
and,1c,{}cT(?)当时，记，求数列的前n项和( nnnbn
1,(279),an,，n,an,,21,,23n，,,n9【答案】(?)或;(?). T,,6,,nn,1,1n22b,2.n,1,,n,9().b,,n,9,
a,9,,11045100,ad，,2920,ad，,a,1,,,,,111【解析】(?)由题意有， 即，解得 或 ,,,,2ad,2,d,2,ad,2,d,.1,,1,,9,
1,an,，(279),n,an,,21,,,,n9故或. ,,,1n2b,2.n,1,,n,b,,9().n,9,
21n,n,1d,1(?)由，知，，故，于是 an,,21b,2c,nnnn,12
357921n,， ? T,，，，，，，1？n2341n,22222
11357921n,. ? T,，，，，，，？n2345n2222222
?-?可得
11112123nn,，， T,，，，，,,,23？n22nnn,222222
23n，故. T,,6nn,12
【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.
60. 【2014上海,文23】(本题满分18分)本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分
6分，第3小题满分9分.
1aaanNa,,,,3,*,1已知数列满足. {}annn，11n3
1)若，求的取值范围; (aaxa,,,2,,9x234
1a,(2)若是等比数列，且，正整数的最小值，以及取最小值时相应的仅{}a{}ammmnn1000
比;
(3)若成等差数列，求数列的公差的取值范围. aaa,,,？aaa,,,？1210012100
11[,2]d,,k[3,6]【答案】(1);(2);(3)的最大值为1999，此时公差为. 31999
【解析】
1,aaa,,3232,,3试题分析:(1)比较容易，只要根据已知列出不等式组，即可解得;(2)首先由,1,aaa,,3343,3,
1,n,1qq()0,,11,nnn,,11qqq,,3,,q3已知得不等式，即，可解得。又由条件3,33n,1,qq(3)0,,,
111,3111m,1m,m,11aq,,,,,lg3lg3,,q,()()3，，于是，取常用对数得，m1000m,1100031000
3m,8m,，1，所以，即最小值为8;(3)由已知可得?mlg3
dn(21)2，,,1,[1(1)]13[1(1)]，,,，,，,ndndnd，?，，这样我们可以(1,2,,99)n,？,3dn(23)2,,,,
2[,2],计算出的取值范围是( d199
2,,,x6,,3试题解析:(1)由题得， ,,x[3,6],x,,,93x,3,
1aaa,,3(2)由题得，?，且数列是等比数列，， {}aa,1nnn，1n13
1,n,1qq()0,,11,nnn,,11q,[,3]qqq,,3?，?，?. 3,33n,1,qq(3)0,,,
111m,1,aq,,m,，,，mN,m,81log1log又由已知，?，又?，? mq11000100010003
117log7,?的最小值为8，此时，即。 q,mq10001000
1aaa,,3(3)由题得，?，且数列数列成等差数列，， aaa,,？a,1nnn，11210013
dn(21)2，,,12,d,,[,2][1(1)]13[1(1)]，,,，,，,ndndnd?，?，? ,1993dn(23)2,,,,
【考点】解不等式(组)，数列的单调性，分类讨论，等差(比)数列的前项和. n
*61. 【2013上海,文22】已知函数f(x),2,|x|，无穷数列{a}满足a,f(a)，nN. ,，nn1n(1)若a,0，求a，a，a; 1234
(2)若a,0，且a，a，a成等比数列，求a的值; 11231
(3)是否存在a，使得a，a，„，a，„成等差数列,若存在，求出所有这样的a;若不存在，112n1说明理由(
22,22，【答案】(1) a,2，a,0，a,2 ;(2) a,(舍去)或a,; (3) 当且仅当a,1时，234111a，a，a，„构成等差数列 123
【解析】(1)a,2，a,0，a,2. 234
|,2,a，a,2,|a|,2,|2,a|. (2)a,2,|a113212
22?当0,a?2时，a,2,(2,a),a，所以,(2,a)，得a,1. a1311111
2?当a,2时，a,2,(a,2),4,a，所以a(4,a),(2,a)， 1311111
得a,(舍去)或a,. 22,22，11
综合??得a,1或a,. 22，11
(3)假设这样的等差数列存在，那么a,2,|a|，a,2,|2,|a||. 2131
由2a,a，a得2,a，|2,|a||,2|a| (*)( 213111
以下分情况讨论:
?当a,2时，由(*)得a,0，与a,2矛盾; 111
?当0,a?2时，由(*)得a,1，从而a,1(n,1,2，„)， 11n
所以{a}是一个等差数列; n
?当a?0时，则公差d,a,a,(a，2),a,2,0，因此存在m?2使得a,a，2(m,1)12111m1
,2.此时d,a,a,2,|a|,a,0，矛盾( ，m1mmm
综合???可知，当且仅当a,1时，a，a，a，„构成等差数列( 1123
62. 【2012上海,文23】对于项数为m的有穷数列{a}，记b,max{a，a，„，a}(k,1,2，„，nk12k
m)，即b为a，a，„，a中的最大值，并称数列{b}是{a}的控制数列(如1,3,2,5,5的控制数列k12knn是1,3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列{a}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{a}; nn
(2)设{b}是{a}的控制数列，满足a，b,C(C为常数，k,1,2，„，m)，求证:b,a(k,，nnkmk1kk
,1,2，„，m);
nn(1)，122(3)设m,100，常数a?(，1)，若，{b}是{a}的控制数列，求(b,aann,,,(1)nn1n2
a)，(b,a)，„，(b,a)( 122100100
【答案】(1) 参考解析;(2) 参考解析;(3) 2 525(1,a)
【解析】(1)数列{a}为:2,3,4,5,1,2,3,4,5,2,2,3,4,5,3,2,3,4,5,4,2,3,4,5,5. n
(2)因为b,max{a～a～„～a}～ k12k
b,max{a～a～„～a～a}～所以b?b. ，，，k112kk1k1k
因为a，b,C～a，b,C～ ,，，,kmk1k1mk
所以a,a,b,b?0～即a?a.因此～b,a. ，,，,，k1kmk1mkk1kkk
(3)对k,1,2～„～25～
2a,a(4k,3)，(4k,3), ,4k3
2a,a(4k,2)，(4k,2), ,4k2
2a,a(4k,1),(4k,1), ,4k1
2a,a(4k),(4k)( 4k
. 比较大小～可得a,a,,4k34k2
1因为,a,1～ 2
所以a,a,(a,1)(8k,3),0～ ,,4k14k2
即a,a, ,,4k24k1
a,a,2(2a,1)(4k,1),0～即a,a. ,,4k4k24k4k2
又a,a～ ，4k14k
从而b,a～b,a～b,a～b,a. ,,,,,,4k34k34k24k24k14k24k4k因此(b,a)，(b,a)，„，(b,a) 1122100100
,(a,a)，(a,a)，„，(a,a) 23679899
25
,(a,a) ,,4k24k1,k,1
25
,(1,a)(8k,3),2 525(1,a)( ,k,1
*63. 【2011上海,文23】已知数列{a}和{b}的通项公式分别为a,3n，6，b,2n，7(n?N)(将nnnn
**集合{x|x,a，n?N}?{x|x,b，n?N}中的元素从小到大依次排列，构成数列c，c，c，„c，„. nn123n
(1)求三个最小的数，使它们既是数列{a}中的项又是数列{b}中的项; nn(2) c，c，c，„，c中有多少项不是数列{b}中的项,请说明理由; 12340n
*(3)求数列{a}的前4n项和S(n?N)( n4n
2【答案】(1)9,15,21; (2)10; (3)Snn,，1233 n4
【解析】? 三项分别为. 9,15,21
? cccc,,,,？分别为 12340
9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37,
39,41,42,43,45,47,48,49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67
bkka,,，,，,2(32)763bk,，65ak,，66bk,，67? ，，， 3221kk,,31k,3k2k
63656667kkkk，,，,，,，?
63(43)knk，,,,
,65(42)knk，,,,*cccck，，，,，2421? ckN,,,。 ,4342414kkkk,,,n66(41)knk，,,,
,67(4)knk，,,
nn(1)，2 Sccccccccnnn,，，，，，，，，,，，,，()()24211233？nnnnn,,,4123443424142
64. 【2015高考福建，文17】等差数列中，，( a,4aa，,15a,,247n(?)求数列的通项公式; a,,n
a,2n(?)设，求的值( bn,，2bbbb，，，,,,，12310n
【答案】(?);(?)2101( an,，2n
d【解析】(I)设等差数列的公差为( a,,n
ad，,4,,1由已知得， ,adad，，，,3615，，，，,11,
a,3,1解得( ,d,1,
所以( aandn,，,,，12，，n1
n(II)由(I)可得( bn,，2n
2310bbbb，，，,,,，,，，，，，，,,,，，212223210所以 ，，，，，，，，12310
2310,，，，,,,，，，，，,,,，222212310 ，，，，
10212,，，11010，，，， ,，122,
11,,，2255 ，，
11,，,2532101(
【考点定位】1、等差数列通项公式;2、分组求和法(
65. 【2014福建,文17】((本小题满分12分)
{}aaa,,3,81在等比数列中，. n25
a(1)求; n
Sba,log{}b(2)设，求数列的前项和. nnnnn3
2nn,n,1a,3S,【答案】(1) .(2). nn2
【解析】
aq,3,1试题分析:(1)设的公比为q，依题意得方程组， {}a,4naq,811,
a,1,1解得，即可写出通项公式. ,q,3,
(2)因为，利用等差数列的求和公式即得. ban,,,log1nn3
试题解析:(1)设的公比为q，依题意得 {}an
aq,3,1， ,4aq,811,
a,1,1解得， ,q,3,
n,1因此，. a,3n
(2)因为， ban,,,log1nn3
2nbb()，nn,n1所以数列的前n项和. {}bS,,nn22
考点:等比数列、等差数列.
66. (2013福建，文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a}的公差d,1，前n项和为S. nn
(1)若1，a，a成等比数列，求a; 131
(2)若S,aa，求a的取值范围( 5191
【答案】(1) a,,1或a,2 ;(2) ,5,a,2 111
【解析】(1)因为数列{a}的公差d,1～且1～a～a成等比数列～ n13
22所以a,1×(a，2)～即a,a,2,0～解得a,,1或a,2. 111111
(2)因为数列{a}的公差d,1～且S,aa～ n519
22所以5a，10,a，8a～即a，3a,10,0～解得,5,a,2. 11111167. 【2012福建,文17】(本小题满分12分)
{a}{b}{a}S,55 在等差数列和等比数列中，，的前10项和. a,b,1,b,8nnn10114
ab(?)求和; nn
{a}{b}(?)现分别从和的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的nn
值相等的概率.
2n,1【答案】(I) (II)anb,,,2nn;9
分析:本题考查的知识点为演绎推理，等差等比数列的定义和通项公式，前项和公式和古典概n
型，直接应用。
【解析】(?)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q d{a}{b}nn
则 Saddaandn,，,,,,,,,,1045551(1)1011n
31nn, bbqqbbq,,,,,,，,822411n
n,1 得: anb,,,2nn
(?)，各随机抽取一项写出相应的基本事件有 aaabbb,,,,,,1,2,3,1,2,4123123
9 共个 (1,1),(1,2)(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)
2 符合题意有共个 (1,1),(2,2)
2 这两项的值相等的概率为 9
68. 【2011福建,文17】(本小题满分12分)
已知等差数列{a}中，a=1，a=-3. n13
(I)求数列{a}的通项公式; n
(II)若数列{a}的前k项和S=-35，求k的值. nk
【答案】(I)an,,32.(II)7 n
【解析】(I)设等差数列{}a的公差为d，则aand,，,(1). n1n
由aad,,,，,,1,3123.可得 12
解得d=-2。
ann,，,，,,,1(1)(2)32.从而， n
an,,32(II)由(I)可知， n
nn[1(32)]，,2Snn,,,2.所以 n2
2Skk,,,,,35235,可得进而由 1
2kk,,,2350kk,,,75.或即，解得
*又为所求 kNk,,,7故
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