高等代数课程设计报告

        高等代数课程设计 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载                                                       设计题目：最大公因式                                                       院系：理学院                                                                           班级：应数1101                                                                           实验人：裴铮                                                                           学号：13                                                                           指导教师：苏昀                             目录 一.关键词……………………………………………………………………………1 二.引入………………………………………………………………………………1 三.最大公因式定义…………………………………………………………………1 四.最大公因式存在性………………………………………………………………1 五.最大公因式存在的唯一性………………………………………………………3 六.辗转相除法及例题………………………………………………………………3七.互素定义﹑判别及性质…………………………………………………………4 八.推广………………………………………………………………………………6 九.思考题……………………………………………………………………………6                               一.关键词：  最大公因式  辗转相除法 互素 二.引入:  如果多项式（x)既是f（x）的因式，又是g(x)的因式，那么（x)    就称为f（x）与g（x）的一个公因式，而在公因式中占有特殊地位的就是    最大公因式。 三.最大公因式的定义   定义1.  假设f（x），g(x)p[x]，若存在d（x)p[x]满足：           （1）d（x）为f（x）与g(x)的公因式.【即d(x)│f (x) 且        d(x)│g（x）】             （2）f（x）与g(x)的公因式全是d（x）的因式.【(x)        │f(x) 且（x)│g(x)（x)│d(x)】               则称d（x）为f（x）与g(x)的最大公因式。     注：（Ⅰ）对的f（x）p[x]，0与f（x）的最大公因式。       （Ⅱ）0与0 的最大公因式为0.   有了以上定义之后，首先要解决的是最大公因式的存在问题。 四.最大公因式的存在性   引理1. 设f（x）=q（x)g（x）+r（x），则g（x）、r（x）与f（x）、g(x)    有相同的公因式。     证明：①设（x）是g（x）与r（x）的任一公因式               （x）│g（x)且（x）│r(x)               （x）│f(x) 且（x)│g（x）     故 （x）也是f（x）与g（x）的公因式 。           ②设（x）是f（x）与g（x）的任一公因式               （x）│f（x)且（x）│g(x)        而r（x）=f（x）-q（x)g（x）           （x）│r(x) 且（x)│g（x）       故 （x）也是r（x）与g（x）的公因式 。 综上述，g（x）、r（x）与f（x）、g(x)有相同的公因式     引理2. 若f（x）=q（x)g（x）+r（x），则g（x）、r（x）的最大公因式也是f（x）、g(x)的最大公因式。     证明：设d（x）是g（x）﹑r（x）的一个最大公因式             d（x）│g（x)且d（x）│r(x)             d（x）│f（x)且d（x）│g(x)         (x)│f(x)且（x)│g（x）             （x)│d（x）         从而对(x)│f(x)且（x)│g（x），有 （x）│g（x)且（x）│      r(x) 且（x)│d（x）           故有定义可知d（x）是g（x）﹑r（x）的最大公因式 。 定理1.（最大公因式存在定理)  对f（x），g(x)p[x]，则在p[x] 中定存在一        个最大公因式d（x），使得d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),这里u(x),v(x)p[x]。 证明：若f（x）与g（x）中至少有一个为0 ,假如g(x)=0,此时f(x)即为f（x）        与g（x）的一个最大公因式，且f（x）=1·f(x)+1·g（x）           一般的，有f（x）≠0与g（x）≠0，由g（x）≠0及带余除法可得        f（x）=q（x)g（x）+r（x）,           ①若（x）=0,则g(x）为g（x）和0的最大公因式。由引理2得，        g（x）是f（x）和g（x）的最大公因式,g(x)= 1·f(x)+（1-)·g（x）           ②若≠0,一定有（(x))<（g(x)),再用带余除法，g(x)=              (x)(x)+(x)      （g(x))>（(x))>（(x))……如此辗转除下        去所得余式次数会不断降低，再经过有限次除之后，必有一个等式，其余式为0. 于是我们可得由前面的引理2，（x）为f(x）和g（x）的最大公因式，且=，同样的方法逐个消去…，合并得=u（x)f(x)+v(x)g(x) 五.最大公因式存在的唯一性 命题1.  两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是              唯一的 证明：设f(x)﹑g(x)属于p[x]，若（x)﹑均为f(x)﹑g(x)的最大公因            式       所以|且| ，故=c 其中c为非零常数倍 注：（Ⅰ）约定（f，g）表示f(x)与g(x)的首项系数为1的最大公因式。     （Ⅱ）定理证明中用来求最大公因式的这种方法称为辗转相除法。 六.辗转相除法例题     例题：设f（x）=,g(x)=,求（f,g）            且使得（f,g）=u（x)f(x)+v(x)g(x)。     解：用辗转相除法 f(x)=  g(x)(x)+  (x)=(x)(x)+=0 （f，g）=（g,r)=(,)=(,)= （f，g）=x+3  且 [f-]==-+()g=()f+(+)g 七.互素   1.定义2  设f(x)﹑g(x)属于p[x]，若（f，g）=1，则称f(x)与g(x)互素。     注：f(x)与g(x)互素，即f(x)与g(x)除了非零常数外，不再有其他公因式。   2.判别定理     定理2  设f(x)﹑g(x)属于p[x]则f(x)与g(x)互素u(x)、v(x)p[x]则             u(x)f(x)+v(x)g(x)=1     证明：＂＂ 由最大公因式存在定理可得结论           ＂＂ 若u(x)、v(x)p[x]使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1               设为f(x)﹑g(x)的一个最大公因式  则(x)│f(x)且            （x)│g（x）       从而（x)│1  即f(x)与g(x)互素。 3.性质       定理3  若（f，g）=1且f(x)│g(x)h(x)，则f(x)│h(x)       证明：（f，g）=1  u(x)、v(x)p[x]使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1               h(x)=u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)               由f(x)│g(x)h(x)  故f(x)│v(x)g(x)h(x)    所以f(x)│h(x)       推论：如果(x)│g(x),(x)│g(x)且（，）=1则│g(x)       证明：(x)│g(x)  可设g(x)=               又(x)│g(x)  即(x)│               又（，）=1  (x)│即（x)=               g(x)=      │g(x)     4.证明f(x)与g(x)互素的方法         ①证明u(x)f(x)+v(x)g(x)=1         ②证明（f，g）=1         ③利用互素的性质     5.例题：如果f(x),g(x)不全为零，证明：=1.             方法㈠：不全为零    故（f，g）0               （f，g）=，）                       =               消去（f，g）可得  =1             方法㈡：由最大公因式存在定理  （f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)               f(x),g(x)不全为零      故（f，g）0                                 =1           八.推广     1.最大公因式       …p[x],若d(x)p[x]满足：       （1）d(x)|(i=1.2.3…s)         (2)|(i=1.2.3…s) 必有|d(x)  则称为…的一个      最大公因式         （…）表示…的的首项系数为1的最大公因式     （…）=（（…））=……     （…）=…+   ⒉互素     若（…）=1 则称…互素     注:…互素与…两两互素不同 例如：=（x-1)(x-2) =(x-3)(x-2) =(s-3)(x-4)         (,）=x-2  (,）=x-3  （，，）=1 例  a,b,c适合什么条件时有 | 解：  ㈠带余除法  令r(x)=0       ㈡待定系数法 设=()(x+e)                                   =               可得        九.思考题：在最大公因式存在定理里d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x) （f，g）=uf+vg           （这里的u,v为提取首项系数后重新定义的）           若d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)d(x)为f(x）与g(x)的最大公因式   提示：前提是d(x)|f(x)  d(x)|g(x)         具体见本章习题8      文档已经阅读完毕，请返回上一页！