一、单项选择
题
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(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（ ）是子群。
A、
B、
C、
D、
2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群
A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法
C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|
4、设
、
、
是三个置换，其中
=（12）（23）（13），
=（24）（14），
=（1324），则
=（ ）
A、
B、
C、
D、
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A、不可能是群 B、不一定是群
C、一定是群 D、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群
中的元素
的阶等于50，则
的阶等于------。
4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=-----。
6、若映射
既是单射又是满射，则称
为-----------------。
7、
叫做域
的一个代数元，如果存在
的-----
使得
。
8、
是代数系统
的元素，对任何
均成立
，则称
为---------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合
作成一个群，如果满足
对于乘法封闭；结合律成立、---------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合，“
”是数的乘法，则“
”是E中的运算，（E，
）是一个代数系统，问（E，
）是不是群，为什么？
3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、若
是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m︱a–b。
近世代数模拟试题三
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶
2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个 B、5个 C、6个 D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）
A、（N,
） B、（Z,
）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),
)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123) D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果
是
与
间的一一映射，
是
的一个元，则
----------。
3、区间[1，2]上的运算
的单位元是-------。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。
5、环Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数----------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的-----------。
9、设群
中元素
的阶为
，如果
，那么
与
存在整除关系为--------。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？
3、设有置换
，
。
1．求
和
；
2．确定置换
和
的奇偶性。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
近世代数模拟试题一 参考答案
一、单项选择题。
1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、
；2、单位元；3、交换环；4、整数环；5、变换群；6、同构;7、零、-a ；8、S=I或S=R ；9、域；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：把
和
写成不相杂轮换的乘积：
可知
为奇置换，
为偶置换。
和
可以写成如下对换的乘积：
2、解：设A是任意方阵，令
，
，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且
。若令有
，这里
和
分别为对称矩阵和反对称矩阵，则
，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：
，
，所以，表示法唯一。
3、答：（
，
）不是群，因为
中有两个不同的单位元素0和m。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、对于G中任意元x，y，由于
，所以
（对每个x，从
可得
）。
2、证明在F里
有意义，作F的子集
显然是R的一个商域 证毕。
近世代数模拟试题二 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)。
1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)。
1、变换群；2、交换环；3、25；4、模n乘余类加群；5、{2}；6、一一映射；7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；10、交换环；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}
H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、答：（E，
）不是群，因为（E，
）中无单位元。
3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式：
a=b+102
b=3×102+85
102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.
所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明 设e是群的幺元。令x＝a－1*b，则a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。
若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合
记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为
，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
近世代数模拟试题三 参考答案
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、唯一、唯一；2、
；3、2；4、24；5、
；6、相等；7、商群；8、特征；9、
；
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、解 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、证 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：
因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，
因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
3、解： 1．
，
；
2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明：假定
是R的一个理想而
不是零理想，那么a
，由理想的定义
，因而R的任意元
这就是说
=R，证毕。
2、证 必要性：将b代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，
所以b=a-1。
浙公网安备 33021202002483