第八章 幂级数
1． 判断下列幂级数的收敛域
（1）
（2）
解：（1）这是不缺项的幂级数，可按公式来做。
，所以收敛半径R=3，收敛区间为
。
在
处，级数为
，收敛。在
处，级数为
，发散。
故收敛域为
（2）这是缺项的幂级数，按数项级数判别法来做。
。
当
，即
时，幂级数收敛。
当
时，
，从而
，幂级数发散。
当
时，原级数成为
，发散。
该幂级数的收敛域为
，收敛半径为
。
2． 将函数
展开成幂级数。
解：
，再逐项积分
但在
处，右边级数收敛，所以和函数在
处连续。
而
在
处连续，于是
所以有
。
注：展开式在开区间内部可以逐项积分，逐项求导。但由此得到的信新的展开式在端点处是否成立？
要检查：若端点处级数收敛，被展开的函数在该端点连续（左端点处右连续，右端点处左连续）。
3． 求幂级数
的收敛域，并求其和函数。
解：
，所以收敛半径R=2。
在
处，
发散，在
处，
收敛，故幂级数
的收敛域为
。
记
，
则
，由逐项求导可得
两边从0到
积分
，
即
，
故
,
其中
时
的值来源于原始级数
。由于幂级数的逐项积分，逐项求导只能在收敛区间（开区间）内进行，所以上述右边的区间写的是开区间。
但是
处原级数收敛，并且
在
连续，故在
亦成立，即有
4． 设
，试将
展开成
的幂级数，并求级数
的和。
解：
在
处，上述级数收敛，
在
处亦连续，
可知
。
于是
但
时，上述右边级数收敛于
，故
。
因此
。
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