初中数学《二次函数》单元教学设计以及思维导图

初中数学《二次函数》单元教学 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 以及思维导图 二次函数 适用年级 九年级 所需时间 课内9课时，课外2课时 主题单元学习概述 《二次函数》是初中数学教材中函数中的一部分，内容包括“二次函数及其图象”、“ 用函数观点看一元二次方程”、“ 实际问题与二次函数”三个方面。在整套教材中，初中学生已经学习了一次函数、反比例函数等与函数有关的基础知识;这些为学生学习本单元的内容提供了坚实的基础。二次函数是初中函数的重要部分，在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活中常常涉及函数的问题。 在本主题单元中，我们把内容设计成三个专题来组织学习活动。专题一:学习二次函数及其图象。专题二:用函数观点看一元二次方程。专题三:实际问题与二次函数。通过学生进行研究性学习，体会利用二次函数解决实际问题，体验数学的应用价值。学生可以经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，应用已有知识解决问题的过程，从而加深对相关知识的理解，提高思维能力。这三个专题的确定是源于教材，其覆盖了教材的全部要求，又不拘泥于教材，适当进行了拓展和延伸，充分体现了学科服务于生活的理念。 主题单元规划思维导图 主题单元学习目标 知识与技能: 能用 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 、 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式、图像表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考能力和语言表达能力，能根据具体问题，选取适当的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 表示变量之间的二次函数关系。会做二次函数的图像，并能根据图像对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。能根据二次函数的表达式确定二次函数图形的开口方向、对称轴和定点坐标。能根据已知条件确定二次函数的表达式。能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测。 过程与方法: 经历建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步理解函数的意义，并会求简单函数的自变量的取值范围及函数值。经历探索、分析和建 立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描叙变量之间的数量关系。理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。 情感态度与价值观: 从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用。通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识。 对应课标 了解二次函数的定义以及二次函数的图象和性质; 了解二次函数与一元二次方程的关系; 3、二次函数在实际问题中的应用。 什么是二次函数,二次函数关系的一般形式是什 么, 主题单元问题 2、二次函数的图像有哪些性质, 设计 3、二次函数的对称轴和顶点坐标是什么, 4、一元二次方程与二次函数的关系有哪些, 5、怎样利用二次函数解决实际问题, 专题1:二次函数及其图象( 6 课时) 专题2:用函数观点看一元二次方程( 2 课时) 专题划分 专题3:实际问题与二次函数(课内1课时+ 课外 研究性学习) 专题一 二次函数及其图象 所需课时 (6课时) 专题一概述 本专题是二次函数这一主题的起始专题，进一步学习整个主题的基础。本专题的内容包括二次函数的相关概念，二次函数的解析式，二次函数的图像性质等基础知识( 本专题的重点是二次函数的图像性质，难点是二次函数的图像性质的理解和应用( 本专题的主要学习活动包括在学生已有知识和经验的基础上，在老师指导下系统准确地提炼二次函数的定义;理解并掌握二次函数等概念;画出并探索二次函数的图像性质( 学生的主要学习成果包括:理解并掌握二次函数的定义及相关概念，会借助工具(纸、笔、三角尺、几何画板软件等)画出二次函数的图像( 专题学习目标 知识与技能: 能用表格、表达式、图像表示变量之间的二次函数关系，发展有条理 的思考能力和语言表达能力，能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系。会做二次函数的图像，并能根据图像对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验。能根据二次函数的表达式确定二次函数图形的开口方向、对称轴和定点坐标。能根据已知条件确定二次函数的表达式。 过程与方法: 经历建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步理解函数的意义，并会求简单函数的自变量的取值范围及函数值。经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描叙变量之间的数量关系。 情感态度与价值观: 从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲。通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识。 什么是二次函数,二次函数关系的一般形式是什 么, 专题问题设计 2、二次函数的图像有哪些性质, 3、二次函数的对称轴和顶点坐标是什么, 所需教学材料和资源 信息化资源 几何画板课件 常规资源 作图工具(直尺，三角尺，坐标纸等) 学生每人一台计算机的网络教室或多媒体教室，几教学支撑环境 何画板软件 其 他 纸笔坐标纸等 学习活动设计 第一课时:二次函数 活动一:情境导入 1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2(试将计算结果填写在下表的空格中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AB长x(m) 12 BC长(m) 48 面积y(m2) 2(x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3(我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少? y=x(20,2x) 活动二:探究新知 y=6x2 d= n /2 (n,3) y= 20 (1,x)2 以上 函数关系式有什么共同特点? (都是含有二次项) 观察 概括:二次函数定义:形如y=ax2，bx，c (a、b、、c是常数，a?0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项( 第二课时:二次函数y=ax2的图象 活动一:复习巩固 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2(我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3(一次函数的图象是什么, 活动二:动手操作 画二次函数y=2x2 与y=2x2的图象。(让学生自己完成) 观察这个函数的图象，它有什么特点? (让学生观察，思考、讨论、交流，) 活动三:归纳小结: 抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点(顶点坐标(0，0) 活动四:运用新知 (1)(观察并比较两个图象，你发现有什么共同点,又有什么区别? (2)(课件出示:在同一直角坐标系中， y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 (3)(将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?(课件出示) 让学生观察y,x2、y,2x2的图象，填空; 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______;在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______;当X,______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______ 第三课时二次函数y,ax2，b的图象 活动一:复习导入 1(二次函数y,2x2的图象具有哪些性质, 2(猜想二次函数y,2x2，1的图象与二次函数y,2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同? 活动二:探究新知 问题1:画出函数y,2x2和函数y,2x2，1的图象，并加以比较 问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y,2x2与y,2x2，1的图象吗? 同学试一试，教师点评。 问题3:当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值(既y)之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么 关系? 让学生观察两个函数图象，说出函数y,2x2，1与y,2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y,2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y,2x2，1的图象的顶点坐标是(0，1)。 活动三:归纳 小组汇报:分组讨论这个函数的性质并归纳:当x,0时，函数值y随x的增大而减小;当x,0时，函数值y随x的增大而增大，当x,0时，函数取得最小值，最小值y,1。 第四课时二次函数y,a(x—h)2的图象 活动一:提出问题 1(在同一直角坐标系内，画出二次函数y,,x2，y,,x2,1的图象，并回答: (1)两条抛物线的位置关系。 (2)说出它们所具有的公共性质。 2(二次函数y,2(x,1)2的图象与二次函数y,2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系? 学生画出二次函数y,2(x,1)2和y,2x2的图象，并加以观察 (教师巡视、指导。分组讨论，交流合作) 活动二:成果汇报 函数y,2(x,1)2与y,2x2的图象，开口方向、对称轴和顶点坐标;函数y,2(x一1)2的图象可以看作是函数y,2x2的图象怎样平移得 到的。 师:由函数y,2x2的性质总结函数y,2(x,1)2的性质 活动三:问题巩固 在同一直角坐标系中画出函数y,2(x，1)2与函数y,2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗? 让学生讨论、交流，举手发言，归纳:在y,2(x，1)2中，当x,,1时，函数值y随x的增大而减小;当x,,1时，函数值y随x的增大而增大;当x,一1时，函数取得最小值，最小值y,0。 第五课时二次函数y=a(x,h)2，k的图象 活动一:1(函数y=2x2，1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2，1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2(函数y=2(x,1)2，1图象与函数y=2(x,1)2图象有什么关系?函数y=2(x,1)2，1有哪些性质? 活动二:1、画图:在同一直角坐标系中画出函数y=2(x,1)2与y=2x2 y=2(x,1)2，1的图象，看看它们之间有何的关系? 在学生画函数图象时，教师巡视指导 活动三: 教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言， 函数y,2(x,1)2，1的图象可以看成是将函数y=2(x,1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移 1个单位再向上平移1个单位得到的。 当x,1时，函数值y随x的增大而减小，当x,1时，函数值y随x的增大而增大;当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。 第六课时y,ax2，bx，c的图象 活动一:1(你能说出函数y,,4(x,2)2，1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗,具有哪些性质? 2(函数y,,4(x,2)2，1图象与函数y,,4x2的图象有什么关系? 3(不画出图象，你能直接说出函数y,-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 活动二:合作探索: y,-1/2x2-6x+21 变成 y=a(x,h)2，k的过程 (1)( 通过配方变形，说出函数y,,2x2，8x,8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少? 在学生做题时，教师巡视、指导; 让学生总结配方的方法;思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系? 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y,ax2，bx，c(a?0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗? 教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，汇报结果: y,ax2，bx，c(配方变形的过程略) 当a,0时，开口向上，当a,0时，开口向下。 对称轴是x,,b/2a，顶点坐标是(,，) 活动三总结巩固 二次函数y,ax2，bx，c图像性质、开口方向、顶点坐标、增减性分别是什么? 1(能否用严格的数学语言二次函数的概念( 评价要点 2(能否借助工具准确画出二次函数的图像( 3(能否描述二次函数图像的性质( 专题二 用函数观点看一元二次方程 所需课时 课内2课时 专题二概述 本专题是用函数观点看一元二次方程，难点是进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想。使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。 本专题的主要学习活动包括在学生已经掌握了二次函数概念及图像性质的基础上，在老师指导下探索出函数与一元二次方程的关系( 学生的主要学习成果包括:理解并掌握二次函数与一元二次方程的关系，会用数形结合思想解决有关问题( 专题学习目标 知识与技能: 理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。复习巩固用函数y,ax2，bx，c的图象求方程ax2，bx，c,0的解。 过程与方法: 经历建立探究二次函数与一元二次方程关系的过程，理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根。让学生体验函数y,x2和y,bx，c的交点的横坐标是方程x2,bx，c的解的探索过程，掌握用函数y,x2和y,bx，c图象交点的方法求方程ax2,bx，c的解。 情感态度与价值观: 提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识。 1、一元二次方程与二次函数的关系有哪些, 专题问题设计 2、二次函数图像与x轴的交点与一元二次方程的根 有什么关系, 所需教学材料和资源 信息化资源 几何画板课件 常规资源 作图工具(直尺，三角尺，坐标纸等) 学生每人一台计算机的网络教室或多媒体教室，几何教学支撑环境 画板软件 其 他 纸笔坐标纸等 学习活动设计: 第1课时26.2 用函数的观点看一元二次方程(1) 活动一:导入新课 像 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 中这样的问题，我们常常会遇到，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，我和同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。 活动二、探索问题，学习新知 1、问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。 根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是 y,,x2，2x，45。 (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内? 思路如下: (1)(让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y,,x2，2x，45最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标; (2)学生解答，教师巡视指导;一两位同学板演，教师点评。 2、出示例题:画出函数y,x2,x,34的图象。 如图(4)所示。 教师引导学生观察函数图象，得到图象与x轴交点的坐标分别是(,12，0)和(32，0)。 让学生完成解答。教师巡视指导并讲评。 教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，从“形”的方面看，函数y,x2,x,34的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2,x,34,0的解;从“数”的方面看，当二次函数y,x2,x,34的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2,x,34,0的解。更一般地，函数y,ax2，bx，c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2，bx，c,0的解;当二次函数y,ax2，bx，c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2，bx，c,0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。 活动三:应用新知 根据图(4)象回答下列问题。 (1)当x取何值时，y,0?当x取何值时y,0，? (当,12,x,32时，;当x,,12或x,32时，y,0) y,0 即x2,x,34,0的解集是什么? y,0 即x2,x,34,0的解集是什么?) 想一想:二次函数与一元二次不等式有什么关系? 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流: (1)从“形”的方面看，二次函数y,ax2，bJ，c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2，bx，c,0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标(即为一元二次不等式ax2，bx，c,0的解。 (2)从“数”的方面看，当二次函数y,ax2，bx，c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2，bx，c,0的解;当二次函数y,ax2，bx，c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2，bc，c,0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。 活动四:归纳小结 1(通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑? 2(若二次函数y,ax2，bx，c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程 ax2，bx，c,0和一元二次不等式ax2，bx，c,0、ax2，bx，c,0的解的情况。 活动五:作业: 1. 二次函数y,x2,3x,18的图象与x轴有两交点，求两交点间的距离。 2(已知函数y,x2,x,2。 (1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象 (2)观察图象确定:x取什么值时，?y,0，?y,0;?y,0。 第2课时:26.2 用函数的观点看一元二次方程(2) 活动一、复习巩固 导入新课 1(如何运用函数y,ax2，bx，c的图象求方程ax2，bx，c的解? 2.画出函数y,2x2,3x,2的图象，求方程2x2,3x,2,0的解。 学生练习的同时，教师巡视指导，根据学生情况进行讲评。 (解:略) 活动二、探索问题 学习新知 1、问题1:初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论:求方程x2,12x十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2,12x,3,0，画出函数y,x2,12x,3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y,x2和y,12x，2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A、B的横坐标,32和2就是原方程的解( 思考: (1). 这两种解法的结果一样吗? 小刘解法的理由是什么? (让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。) (2)(函数y,x2和y,bx，c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明? (3)函数y,x2和y,bx，c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2,bx，c的解吗? (4)(如果函数y,x2和y,bx，c图象没有交点，一元二次方程x2,bx，c的解怎样? 2、做一做(验证一下问题1的思路是否正确) 利用图像解下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。 (1)x2，x,1,0(精确到0.1); (2)2x2,3x,2,0。 注意:?要把(1)的方程转化为x2,,x，1，画函数y,x2和y,,x，1的图象; ?要把(2)的方程转化为x2,32x，1，画函数y,x2和y,32x，1的图象; 3、运用新知 已知抛物线y1,2x2,8x，k，8和直线y2,mx，1相交于点P(3，4m)。 (1)求这两个函数的关系式; (2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。 解:(1)因为点P(3，4m)在直线y2,mx，1上，所以有4m,3m，1，解得m,1 所以y1,x，1，P(3，4)。 因为点P(3，4)在抛物线y1,2x2,8x，k，8上，所以有 4,18,24，k，8 解得 k,2 所以y1,2x2,8x，10 (2)依题意，得y,x，1y,2x2,8x，10 解这个方程组，得x1,3y1,4 ，x2,1.5y2,2.5 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。 活动三、小结: 1(如何用画函数图象的方法求方程韵解? 2(你能根据方程组:y,x2y,bx，c的解的情况，来判定函数y,x2与y,bx，c图象交点个数吗?请说说你的看法。 活动四、作业: 1. 利用函数的图象求下列方程的解: (1)x2，x,6,0;， (2) y,x2，xy,5x,4 2(填空。 (1)抛物线y,x2,x,2与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______。 (2)抛物线y,2x2,5x，3与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是______。 4(已知抛物线y1,x2，x,k与直线y,,2x，1的交点的纵坐标为3。 (1)求抛物线的关系式; (2)求抛物线y,x2，x,k与直线y,,2x，1的另一个交点坐标(