极差、方差和标准差
教案
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1.理解极差、方差与标准差的概念及应用.
2.学会用极差、方差与标准差来处理数据.
3.学会用计算器求标准差。
1.学生通过主动思考与探索,发现方差计算的合理性.
2.培养学生的探索知识的能力.
学生在经历独立思考、合作探索与发现的过程中,初步体验极差、方差与标
准差来分析数据,然后作出决策;体验用现代算工具处理数据的作用。
重点:方差计算式的导出过程.
难点:方差概念的引入.
课型:新授课.
教学思路:从复习旧知入手(平均数、中位数和众数的概念)-观察导图-研究
用什么数据来表示数据高低起伏的变化大小-得出极差、方差和标准差的概念-
导出方差的计算式—利用计算器或计算机求标准差。
4课时。
1.理解极差的概念及应用.
2.明确极差是刻画数据离散程度的一个统计量.
3.能够举出一些利用极差进行比较的例子.
1.情境导入
播放多媒体—教材中的导图“你喜欢住在哪个城市?”(或用投影幻灯片或
由教学挂图展示).观察导图,讨论用什么样的数来反映数据的高低起伏的变化
大小比较合适
2、课前热身
刻画数据平均水平的统计量有哪些,它们有什么作用?举例说明。 3、合作探究
(1)整体感知
从观察导图、复习旧知入手,引导学生自主探索,理解极差的概念及其应用,明
确极差是刻画数据离散程度的一个统计量。
(2)四边互动
互动1:
师:用平均数、中位数、众数代表数有什么不同?
生:思考、交流。
明确:通过复习旧知,导入本节课的内容。
互动2:
师:在导图中,为什么说北京“四季分明”而新加坡“四季温差不大”。 生:观察,思考,交流。
明确:通过讨论,学生初步感知:最大值与最小值的差可以用来表示数据高低起
伏的变化大小。
出示投影:课本么135页表20.1.1 上海每日最高气温统计表(单位:?)
20.2.1
互动3:
师:表20.2.1显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温.从
表上看,2002年和2001年2月下旬的气温相比,有4天的温度相对高些,有3
天的温度相对低些,还有1天的温度相同.我们是否可以由此认为2002年2月
下旬的气温比2001年高呢?
生:小组交流、发表意见.
师:比较两段时间气温的高低,求平均气温是一种常用的方法.请你计算其平均
数。
生:动手、交流(12?)
师:这是不是说,两个时候的气温情况没有什么差异呢?
生:思考、讨论。
明确:平均气温(即平均数)是比较两组数据平均水平的一种常用的方法,但
它反映不出一组数据的离散程度,由此引入极差的概念.(板书:1.表示一组数
据离散程度的指标-极差.)
互动4:
师:根据两段时间的气温情况绘成折线图.请同学们观察,它们有差别吗?
互动4:
生:小组讨论、交流看法.归纳出:(a)中的折线高低起伏较大;(b)中的折线高低起伏较小.
师:那么,用什么样的数来反映这种特征比较合适呢? 生:探索、讨论、交流.归纳出:可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的
差来反映这种变化范围.
明确:极差=最大值一最小值
互动5:
师:在生活中,我们常常与极差打交道,如:班级里个子最高的学生比个子最矮
的学生高多少?一次单元测验的最高分比最低分高多少?等等,这都是求极差的
例子,你能找到其他例子吗?
生:思考、交流.
明确:通过举例,极差概念的理解,,同时感受统计的应用就在自己身边。 4、达标反馈
请你结合实际,编一道极差的题目,小组交流.同桌交换解题.(也可以补充3-5分钟的练习)
5、学习小结
(1)内容总结
?极差可以反映一组数据变化范围的大小.
?极差二最大值一最小值.
(2)方法归纳
观察导图,发展学生的直觉思维能力,培养学生的探索知识的能力. 6、实践活动:两人一组,在安静的环境中,一人估计1min的时间,另一人记下实际时间,将结果
记录
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下来;在吵闹的环境中,再做一次这样的实验;将全班的
结果汇总起来,并分别计算安静状态和吵闹坏境中估计结果的平均值和极差。 7、巩固练习:第138页练习第1题。
【板书设计】
1、表示一组数据离散程度的指标-极差
? 极差是刻画数据离散程度的一个统计量
? 极差=最大值-最小值
投影
1.理解方差的概念。
2.学会运用方差来处理数据。
3.通过主动搜索,发现方差计算的合理性,体会方差的实际意义。
1.情境导入
提问:
(1) 极差与数据变化范围大小的关系是什么?
(2) 为什么说本章导图中的两个城市,一个“四季温差不大”,一个“四
季分明”?
2.课前热身
比较下列两组数据的极差:
A组:2,10,5,5,5,5,5,5,5,5.
B组:4,6,3,7,2,8,1,9,5,5.
试问:A组与B组,哪个组的数据离散程度较大? 3.合作探究
(1)整体感知
从复习旧知入手(极差的概念),引导学生发现极差的局限性,通过探索活动,
在讨论交流的过程中,导出方差的计算式,发现方差计算的合理性,体会方差的
实际意义.
(2)四边互动:
互动1:
师:在“课前热身”提出的问题中,A组与B组的极差分别是多少?
生:回答略。
师:我们发现:A组与B组的极差相等.这说明极差虽能反映这两组数据的波动
情况,但能判断其离散程度的大小吗?
生:思考、讨论、交流.
明确:引导学生发现:极差只能反映一组数据中两个极端值之间的差异情况,对
其他数据的波动情况不敏感,因此,有必要重新找一个对整组数据波动情况更敏
感的指标.
演示
课件
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:“谁的成绩较为稳定”,即课本136页的“问题2 小明和小兵两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,谁的成绩较稳定?为什么?
互动2: 表20.2.2
师:请你计算两人的平均成绩.
生:操作、交流.
师:通过计算,我们发现两人测试成绩的平均值都是13分.我们画出两人测试成绩的折线图,如图20.2.2所示.观察发现了什么? 生:思考、讨论、交流.
明确:小明的成绩大部蝶中在平均成绩13分的附近,而小兵的成绩与其平 均值的离散程度较大。
互动3:
师:通常,如果一组数据与其平均值的离散程度较小,我们就说它比较稳定.那
么什么样的数据反映一组数据与其平均值的离散程度?(电脑显示表20.2.3)
表20.2.3
生:思考、交流.
师:我们已经看出,小兵的测试成绩与其平均值的偏差大,而小明的较小.那么
如何加以说明呢?可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗? 生:动手操作.
师:通过计算,依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗?
生:比较、思考、交流.
师:如果不行,请你提出一个可行的
方案
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,在表20.2.4的红色格子中写上新的计算方案,并将计算结果填入表中.(电脑显示表20.2.4)
表20.2.4
生:自主探索、动手操作、合作交流.
生:可以用“先平均,再求差,然后平方,最后求和”,得到的结果表示一组数
据偏离平均值的情况.
生:为什么要“平方,’?取绝对值行吗?
生:如果两组数据不一样多,那么“求和”对数据多的那组就不公平了。 生:可以解决这具问题,改为“求平均数”更合理。
明确:重点在于引导学生导出方差和概念的理解,关注学生的交流过程。 互动4:
师:求绝对值和求平方都可以解决“作差有正负”的问题,但求绝对值往往计算
不便,因而求平方相对常用一些.至于最后是“求和”还是“求平均数”,个别
同学可能还没有弄明白,清同学们观察表20.2.5,将你的方法与数据填入表中。
表20.2.5
生:动手操作、小组交流,总结方法与结果.达成共识:“求平均数”比“求和”
更合理.
明确:我们可以用“先平均,再求值,然后平方,最后再平均,得到的结果表示
一组数据偏离平均值的情况,这个结果通常称为方差.(板书:方差—计算离差
的平方的均值.)
4、达标反馈
课本第138页练习第1题(只求方差)
5、学习小结
(1)内容总结
?方差是刻画数据离散程度的重要指标之一
?方差即计算离差的平方的均值.
(2)方法归纳
通过思考一系列问题,进行合作探索活动,理解导出方差计算式的合理性,
强调学生学习理解的过程,避免单纯的数学运算练习,突出能力的培养。
6、实践活动:某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,现从甲、乙两名跳
高运动员中进行挑选,请你设计一个合理的挑选方案。
7、巩固练习:课本习题20.2第1、3题。
【板书设计】
略 投影
1.理解标准筹的概含.
2.理解方差与标准差的区别和联系.
3.进一步体会方差的实际意义。
1.情境导入
某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛.在最近的10次
选拔赛中,他们的成绩(单位:cm)如下:
甲:585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
乙:613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
(1)他们的平均成绩分别是多少?
(2)他们的极差分别是多少?
(3)甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少?
(4)这两名运动员的运动成绩各有什么特点?
理解题意,互相交流,形成共识。
2.课前热身
提问:(1)什么是极差?什么是方差?
(2)极差与方差反映了一组数据的什么?
3.合作探究
(1)整体感知
从复习旧知入手,由情境导入初步感知不同的统计图表的优劣,指出我们这
节课的目的是解决如何根据不同问题选择适当的统计图描述数据。 (2)四边互动:
互动1:
师:你能解决“情境导入“中的问题吗?
生:动手操作,全班交流。
明确:通过提问和练习巩固旧知。
互动2:
师:打开课件:“谁的成绩较为稳定”.观察理解,探索归纳出方差的计算
公式
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.
生:四人合作,演示课件.(在小组充分讨论的基础上,组织全班交流.) 师:参与讨论,点评分析.
明确:通过创设愉悦轻松的氛围.引起学生的学习兴趣,再次经历方差计算式的
导出过程.
互动3:
师:回顾我们上节课所学的内容,请你归纳出方差的计算过程. 生:先平均,再求差,然后平方,最后再平均.(教师板书) 师:我们通常用
2sxx表示一组数据的方差,用x表示一组数据的平均数、„12
表示各个数据,那么如何用一个计算式来表示这n个数据的方差呢?
生:思考,达成共识
1 222222,,S= (x,x),(x,x),(x,x),(x,x),(x,x)123455 2师:观察的数量单位与原数据单位一致吗?如何使其一致呢? S
生:思考、讨论.
师:从方差的计算过程,可以看出梦的数量单位与原数据的不一致了,因此在实
际应用时常常将求出的方差再开平方,这就是标准差(板书).请你计算一下小
明与小兵5次测试成绩的标准差是多少?
生:动手操作,完成后全班交流.
师:从标准差看,谁的成绩较为稳定?与前面依据方差所得到的结论一样吗?
生:独立思考,全班交流.
明确:标准差也是反映数据波动情况的一个重要指标 互动4:
师:我们已经得出:标准差也能刻画数据的波动情况.请你计算一下“情境导入”
中甲、乙两人比赛成绩的标准差,看是否与依据方差得出的结果一致?
生:动手操作,完成后全班交流.
师:由此我们可以得出什么结论?
生:独立思考,合作交流.
明确:通过实例,了解标准差的应用及其计算方法,即:方差=标准差的平方.(板
书)
互动5:
师:反思和发表对本节课的体验.
生:互相质疑,同伴互助,自主评价.
明确:通过这种开放式的约5分钟的交流,提高学生的自主评价能力,同时教
师对自身的教学行为进行反思与评价。
4、达标反馈
课本138页练习第2题。
5、学习小结
(1)内容总结
?
1 222222,,(x,x),(x,x),(x,x),(x,x),(x,x)S= 123455
? 方差=标准差的平方
? 标准差也是反映数据离散程度的一个统计量。
(2)方法归纳
经历方差与标准差的计算式的导出过程,体验解决问题的策略的多样性,发展自
主评价能力。
6、实践活动:选择一个适当的课题(如:吸烟的危害),组成合作小组,制定一
个调查方案,展开调查,并对调查数据进行处理.
7、巩固练习:课本习题20.2第2题。 【板书设计】
略 投影
1.字会用计算器求标准差。
2.鼓励学生使用计算机中的求标准差的功能。 3.体验用现代计算工具处理数据的作用。
1.情境导入
我们知道,利用Microsoft office软件中的Excel可以很方便地制作统计图,计算出一组数据的平均数、中位数和众数.其实,利用Excel还可以很方便地求出一组数据的方差和标准差,同学们不妨试一试。 2.课前热身
(出示投影)
提问:
(1)什么是极差?什么是方差与标准差?
(2)极差、方差与标准差反映了一组数据的什么?
(3)八(1)班在一次单元测验中的数学成绩如下:
83 74 81 50 87 92 75 94 87 92 83 77 74 70 80 91
78 66 92 89 93 89 87 86 78 89 75 86 78 49 86 75 92
79 90 75 72 99 80 76 88 84 79 80 82 84 85 99 83 90
82 88 70 90 79 88 63 73 91 63 68
请你计算出该班数学成绩的平均分、方差与标准差. 3.合作探究
(1)整体感知
从复习旧知入手,在解决“课前热身”的问题过程中,体验用笔算的方法计
算标准差之繁琐,感受到利用计算器或计算机的必要性.本节课主要通过课本第
139页练习的操作熟悉计算器求标准差的操作过程,并通过多媒体演示,了解计
算机中求标准差的功能。
(2)四边互动:
互动1:
师:你能回答投影中的问题吗?
生:思考、逐个回答、动手操作.
师:在“课前热身”提出的第3个问题中,你算出方差和标准差吗?
生:动手操作.(有的不知所措而停下来,期待老师帮助) 师:请在你自己使用的计算器上探索一下如何求标准差. 生:独自探索、小组讨论、全班交流.
明确:方差的计算往往计算量很大,可以借助计算器完成 互动2:
师:教材中介绍的计算器求标准差,所用的计算器与你自己使用的计算器相同
吗?具体操作步骤相同吗?请你以计算2002年2月下旬的上海最高气温的标准差为例,进行比较.
生:比较、操作、全班交流.归纳出大致步骤是:进入统计计算状态,输入数据,
按键得出标准差.(教师板书)
师:你能在计算器直接得到方差吗?
生:操作发现:计算器一般不具有求方差的功能,可以先求出标准差,再平方即
可求出方差.(教师板书)
明确:通过学生自主探索,熟悉计算器求标准差的大致步骤。 互动3:
师:我们也可以利用计算机求一组数据的标准差与方差.(打开课件“借助计算
机求方差与标准差”),请大家自己试一试. 生:观察、操作.(教师巡视并给学生一些建议,如:不熟练的同学如果遇到困
难,别忘了点击“帮助”菜单)
师:请你仍以计算2002年2月下旬的上海最高气温的标准差为例,利用计算机
求它的标准差.
生:操作、全班交流.
明确:通过学生的自主操作和合作交流,培养学生的自学能力. 互动4:
师:请你分别利用计算器和计算机求“课前热身”中第3个问题的方差和标准差.
生:动手操作、全班交流.
明确:通过实例巩固新知〃
4、达标反馈
课本139练习第2题(用计算器和计算机分别完成)。 5、学习小结
(1)内容总结
?使用计算器可以很方便地计算一组数据的标准差,其大致步骤是:进人统
计计算状态,输入数据,按键得出标准差.
?计算器一般不具有求方差的功能,可以先求出标准差,再平方即可求出方
差.
(2)方法归纳
通过学生自主操作和合作交流,归纳出使用计算器求标准差的大致步骤;重
在培养学生的自学能力.
6、实践活动:甲、乙两台包装机同时分装质量为400g的奶粉,从它们各自分装的奶粉中随机抽取了10袋,测得它们的实际质量(单位:8)如下:
甲:401 400 408 406 410 409 400 393 394 394
乙:403 404 396 399 402 401 405 397 402 399
试问:哪台包装机包装的奶粉质量比较稳定? 7、巩固练习:课本习题20.2第2题。
【板书设计】
2.用计算器求标准差 投影
?大致步骤:进人统计计算状态,输人数据,按键 得出标准差.
?可以间接求方差