专题-分类讨论思想在解题中的应用

学生姓名        年级        授课时间        教师姓名          课时    课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 专题2： 分类讨论思想在解题中的应用 教学目标   重 点   难 点   分类讨论思想在解题中的应用 分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 试题中占有重要地位。 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”． 1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点 ⑴ 分类讨论的思想具有明显的逻辑特点； ⑵ 分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察； ⑶ 解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧； ⑷ 分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关。 2. 分类讨论的思想的本质 分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略． 3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤 ⑴ 确定讨论对象和确定研究的全域； ⑵ 对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）； ⑶ 逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决； ⑷ 归纳总结，整合得出结论． 作业       4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有： ⑴ 由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、直线斜率、等比数列的前 项和公式 ⑵ 由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、极限计算，圆锥曲线中统一定义中的分类、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘一实数对不等号方向的影响等等； ⑶ 由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； ⑷ 由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论； ⑸ 由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法； ⑹ 其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等。 例 题 精 讲 一、由数学概念引起的分类讨论 例1: 不等式 的解集是( 　) (A) 、               (B) 、 或 (C) 、 或       (D) 、 或 例2：解不等式 例3．已知 ，函数 . (Ⅰ)当 时，求使 成立的 的集合； (Ⅱ)求函数 在区间 上的最小值. 例4：求和 =    　 例5：已知等比数列的前n项之和为 ，前n+1项之和为 ，公比q>0，令 。 二、根据数学中的定理，公式和性质进行分类 例1：解不等式： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例2：解关于 的不等式： 例3.解关于 的方程： 三、由几何元素的形状、位置的变化，排列组合进行分类 例1：.（2009年 高考江西卷）若存在过点 的直线与 曲线 和 都相切，则 等于（    ）          A． 或                     B． 或         C． 或                     D． 或 例2： 例3. 某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工钳工都会，现需选出6人完成一件工作，需要车工，钳工各3人，问有多少种选派 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ？ 四、由参数变化引起的分类讨论 例1：（2009年高考安徽卷）已知函数 ，讨论 的单调性. 例2：已知 为数列 的前 项和，且 ，n=1,2,3… （1）求证: 数列 为等比数列； （2）设 ，求数列 的前 项和 ； 总结提炼 分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略，对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并无死的规定。但可以在解题时不断地总结经验。 如果对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论，另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对某些特殊情形或说较为隐蔽的“个别”情况未必成立。这也是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论。常见的“个别”情形略举以下几例： （1）“方程 有实数解”转化为 时忽略了了个别情形：当a=0时，方程有解不能转化为△≥0； （2）等比数列 的前 项和公式 中有个别情形： 时，公式不再成立，而是Sn=na1。 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但有个别情形：当直线与x轴垂直时，直线无斜率，应另行考虑。 (4)若直线在两轴上的截距相等，常常设直线方程为 ，但有个别情形：a=0时，再不能如此设，应另行考虑。 例题精讲  参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一、由数学概念引起的分类讨论 例1． B    【解析】：(1) 当 时， ，原不等式等价于 。由 ， ，得 ； (2) 当 时， ，原不等式等价于 由 ， ， 得 。 所以原不等式的解集为 或 。 故应选(B) 例2：①当 时    原不等式可变为： 解得   ∴ ②当 时    原不等式可变为：   解得解集为 ③当 时  原不等式可变为：   解得 综合①②③得原不等式的解集为: 例3．解：（Ⅰ）由题意， . 当 时， ，解得 或 ； 当 时， ，解得 . 综上，所求解集为 . （Ⅱ）设此最小值为 . ①当 时，在区间 上， . 因为 ， ， 则 在区间 上是增函数，所以 . ②当 时，在区间 上， ，由 知 . ③当 时，在区间 上， .      . 若 ，在区间 内 ，从而 为区间 上的增函数， 由此得          . 若 ，则 . 当 时， ，从而 为区间 上的增函数； 当 时， ，从而 为区间 上的减函数. 因此，当 时， 或 . 当 时， ，故 ； 当 时， ，故 . 综上所述，所求函数的最小值 例4：【解析】：当 时， ； 当 时，此题为等比数列求和， ①　若 时，则由求和公式， 。 ②　若 时, 。 综合可得　 例5：    分析：对于等比数列的前n项和Sn的计算，需根据q是否为1分为两种情形： 故还需对q再次分类讨论。 解： 二、根据数学中的定理，公式和性质进行分类 例1：    分析：解对数不等式时，需要利用对数函数的单调性，把不等式转化为不含对数符号的不等式。而对数函数的单调性因底数a的取值不同而不同，故需对a进行分类讨论。 解： 例2：分析：观察可以发现不等式可以进行因式分解 ，其对应方程的两要分别为1和 ，因此只需讨论 与1的大小。 当 1时： 当 =1时：方程无解 当 1时： 例3.    解： 综上所述，得原不等式的解集为 ； ； ； ； 。 三、 由几何元素的形状、位置的变化，排列组合进行分类 例：A 例2：        解：（1）当k=4时，方程变为4x2=0，即x=0， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示直线； （2）当k=8时，方程变为4y2=0，即y=0，表示直线； （i）当k<4时，方程表示双曲线；（ii）当48时，方程表示双曲线。 例3.  分析：如果先考虑钳工，因有6人会钳工，故有C63种选法，但此时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的七人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选，还是从六人、五人或四人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题。因此需对全能工人进行分类： （1）选出的6人中不含全能工人；（2）选出的6人中含有一名全能工人；（3）选出的6人中含2名全能工人；（4）选出的6人中含有3名全能工人。 解： 四、由参数变化引起的分类讨论 例1：解：本小题主要考查函数的定义域、利 用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。 的定义域是(0,+ ), 21世纪教育网    设 ,二次方程 的判别式 . 1 当 ，即 时，对一切 都有 ,此时 在 上是增函数。 2 当 ,即 时，仅对 有 ,对其余的 都有 ,此时 在 上也是增函数。        3 当 ，即 时， 方程 有两个不同的实根 , , . + 0 _ 0 + 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增             此时 在 上单调递增, 在 是上单调递减, 在 上单调递增. 例2：解（Ⅰ）解： ， .  . 是以2为公比的等比数列 （Ⅱ） , . .  当 为偶数时， ； 当 为奇数时， n= .  综上，