第一讲正交向量组及施密特正交法[新版]

第一讲正交向量组及施密特正交法[新版] 第一讲 ? 授课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目: ?5.1 预备知识:向量的内积 ? 教学目的与要求: 1.了解向量的内积及正交向量组的概念; 1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法; 2.了解正交矩阵概念及性质。 ? 教学重点与难点: 重点:正交向量组及正交矩阵 难点:施密特正交化方法 ? 讲授内容: 一、向量的内积 前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方 面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有维向量 n yx,,,,11,,,,yx,,,,22y,x,，， ,,,,？？,,,,,,,,xynn,,,, ,,令 x,y,xy，xy，？，x， 1122n y称为向量与的内积. ,,x,yx y 内积是向量的一种运算，用矩阵记号 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，当与都是列向量时，有x T . ,,x,y,xy ,x,y,z 内积具有下列性质(其中为n维向量，为实数): ,,,,x,y,y,x? ; ,,,,,x,y,,x,y? ; ,,,,,,x，y,z,x,y，x,z? . 1,3,,,,,,,,20,,,,例1 设有两个四维向量，.求及.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,16,,,,,,,,5,5,,,, 解 ,,,,,,,3，0,6,25,,34 ,,,,,,1，4，1，25,31 维向量的内积是数量积的一种推广，但维向量没有3维向量那样直观的长度和夹nn 角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义维向量的长度和夹角: n 222,,x,x,x，x，？x定义2 令x=，则x称为维向量的长度(或范数).nxn12 向量的长度具有下列性质: x,0x,0x,0x,0? 非负性 当时，，当时，; ,x,,x? 齐次性 ; x，y,x，y? 三角不等式 . 2向量的内积满足施瓦兹不等式 ,,,,,,x,y,x,x,y,y x,y,,x y,0由此可得 (当时) ,1x y 于是有下面的定义: ,,x,y,,arccosx,0y,0当，时， 称为n维向量的夹角.x y 二、正交向量组 x,0y,,x,y,0xx当时，称向量与正交.显然，若，则与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组. 定理1 若维向量是一组两两正交的非零向量组，则线性无关.n,,,,？,,,,,？,12r12r 证明 设有使 ， ,,,,？,,,，,,，？，,,,012r1122rr TT以左乘上式两端，得 ， ,,,,,01111 2T,,,,,0因，故，从而必有.类似可证.于是向,,0,,0,,0,？,,011112r量组线性无关. ,,,,？,12r 注 1.该定理的逆定理不成立. 2.这个结论说明:在维向量空间中，两两正交的向量不能超过个.这个事实的几nn 何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量;空间中找不到四个 两两垂直的非零向量. 正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基.例如个两两正交的维非nn n零向量，可构成向量空间的一个正交基. R 11,,,,,,,,3,,,,2,1例2 已知3维向量空间中两个向量，正交，试求一个非零向量R,,,,21 ,,,,11,,,,，使两两正交. ,,,,,,3123 T,,,111,,1,,,,A,,解 记 ， ,,T,,1,21,,,2,, Ax,0,应满足齐次线性方程，即 3 x,,1,,1110,,,,,,,,x, ， ,,2,,,,1,210,,,,,,x3,, x,,x111101,,,,,13,,,,A~~由 ，得 ， ,,,,,x,00,30010,,,,2, ,1,1,,,,,,,,,0,0从而有基础解系，取即合所求. ,,,,3 ,,,,11,,,, n定义3 设维向量是向量空间的一个基，如果两两ne,e,？,ee,e,？,eV(V,R)12r12r V正交，且都是单位向量，则称是的一个规范正交基. e,e,？,e12r VV若是的一个规范正交基，那么中任一向量应能由线e,e,？,e,e,e,？,e12r12r 性表示，设表示式为 .为求其中的系数，可用,(i,1,？r),,,e，,e，？，,ei1122rr TTTT左乘上式，有 ，即 .,,ee,,,ee,,,,e,,,,eiiiiiiiii VV设是向量空间的一个基，要求的一个规范正交基.这也就是找一组,,,,？,12r 两两正交的单位向量，使与等价.这样一个问题，e,e,？,ee,e,？,e,,,,？,12r12r12r称为把这个基规范正交化. ,,,,？,12r 以下办法可把规范正交化: ,,,,？,12r 取 ; b,,11 b,,,,12bb,,; ,221,,b,b11 …… ,,,bbb,,,,,,,,,1r2rr,1rb,,b,b,？b. ,rr12r,1,,,,,,,,,bbbbbb1122r,1r,1 b,b,？,bb,b,？,b,,,,？,容易验证两两正交，且与等价. 然后只要把它们单12r12r12r bbb12rVe,e,e,位化，即取，，……，，就得的一个规范正交基.上述从12rbbb12r ,,,,？,b,b,？,b线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特(Schimidt)12r12r 正交化过程.它不仅满足与等价，还满足:对任何，b,b,？,b,,,,？,k(1,k,r)12r12r向量组与等价. b,b,？,b,,,,？,12k12k 1,14,,,,,,,,,,,,,,,,2,3,,1例3 设，，，试用施密特正交化过程把这组向量规范,,,,,,123 ,,,,,,,110,,,,,,正交化. 解 取; b,,11 ,11,1,,,,,,,,,,,,,,,,b4521bb,,,3,2,1,; ,,,,,,221263b,,,,,,11,11,,,,,, 1,,,,,,,,,,,,bb3132b,,b,b,20,. ,,331222bb,,121,, 再把它们单位化，取 1,11,,,,,,,,,,,,111eee,2,1,0，，. ,,,,,,123632,,,,,,,111,,,,,, 即合所求. 1,,,,,,1,,,,,,,,例4 已知，求一组非零向量，使两两正交.,,112323,,1,, T,,,x，x，x,0解 应满足方程，即. ,x,0123231 它的基础解系为 10,,,,,,,,,,,0,1 ，. ,,,,12 ,,,,,1,1,,,, 把基础解系正交化，即合所求.亦即取 ,,,,,12 ，. ,,,,,,,,32121,,,,,11 于是得 1,1,,,,,,,,1,,,0,2 ，. ,,,,232,,,,,1,1,,,, 三、正交矩阵 在平面解析几何中，坐标轴的旋转变换为 ,,,,,,xxcosysin, ,,,,，yxsin,ycos,, ,,cossin,10,,,,T,,对应的矩阵 ，显然,,.这样的矩阵称为正交A,AA,,E,,,,sin,cos,01,,,, 矩阵. T,1TAA定义4 如果阶矩阵满足 (即)，称为正交矩阵.AA,EA,An A上式用的列向量表示，既是 T,,,1,,T,,,2，，,,,,？,,,E ， ,,12n？,, ,,T,n,, T，，,,,(,)亦即 ， ijij 2n这也就是个关系式 1, 当i,j,,T,,,,, (). i,j,1,2,？n,ijij当0, i,j, AA这就说明:方阵为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位鲜花量，且两两正 TTAAA,EAA,E交.又与等价，所以上述结论对的行向量亦成立.由此可见，正交 nRn矩阵的个列(行)向量构成向量空间的一个规范正交基. 1111，，,,,,2222,,1111，，21,,,,,,,01，，2222,,22比如:，，都是正交矩阵.,,,,11,,1012,,，，00,,22,,22，，,,11,,00,,22，， 注 正交矩阵的性质:设均为正交矩阵，则 A,B 1.，因此A为满秩矩阵; A,,1 T,1 2.，并且也是正交矩阵; A,A AB 3.也是正交矩阵. P定义5 若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换. y,Px 设为正交变换，则有 y,Px TTTTy,yy,xPPx,xx,x . xy,x按表示向量的长度，相当于线段的长度.说明经正交变换线段长度保持不变，这正是正交变换的优良特性. ? 小结与提问: 小结:1.内积是计算向量的长、夹角的基础，须掌握其计算和运算性质. 2.向量的夹角是对两个非零向量定义的，这个定义的合理性是由施瓦兹不等 ,,,,,,1式保证的，因为对任何非零向量，由施瓦兹不等式有.从而,,,,,, ,,,,,,,arccos才有意义. ,,, 3.把线性无关的向量组正交规范化，须先正交化，后单位化，而不能先单位 化，后正交化. AA 4.正交矩阵是一类重要的矩阵，一个矩阵是正交矩阵的充分必要条件是 的 行(列)向量组是正交规范组，这是实际计算中求正交矩阵的根据. 提问:1.向量空间的规范正交基是否唯一, 2.、均是正交阵，是正交阵吗, ABA，B ? 课外作业: 1.(2)2.(1)3. P161 第二讲 ? 授课题目: ?5.2 方阵的特征值与特征向量 ? 教学目的与要求: 1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念; 2.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。 ? 教学重点与难点: 重点:矩阵的特征值与特征向量的概念 难点:矩阵的特征值与特征向量的性质及求法 ? 讲授内容: 一、特征值与特征向量的定义 ,Ax,,x,A定义1: 设是阶方阵，数和维若非零列向量，使得成立，则称nnx ,AA是方阵的一个特征值,为方阵的对应于特征值的一个特征x 向量。 A注 1.是方阵; 2.特征向量x是非零列向量; ,A3.方阵的与特征值对应的特征向量不唯一; 4.一个特征向量只能属于一个特征值. 二、特征值与特征向量的求法 Ax,,xx,0 ,(A,,x),0或(A,,E)x,0已知，所以 ,A,,E,0齐次线性方程组(A,,E)x,0有非零解 ,定义2 设，为实数，则行列式 A,(a)n，nijn，n ,a,a？a11121n ,aa,？a21222n,A,E, ？？？？ aa？a,,n1n2nn ,是关于的次多项式，称为方阵的特征多项式.方程称为方阵的特AAA,,E,0n 征方程. 显然，矩阵的特征方程在复数域内的个根就是的所有特征值.故求矩阵AAAn的特征值、特征向量的步骤为: ,(1)由求出，即为特征值; A,,E,0 ,(2)把得到的特征值代入齐次线性方程组，求出非零解，即x(A,,E)x,0为所求特征向量. 3,1,,,,例1 求的特征值与特征向量. A,,,,13,, ,3,,12A解 的特征多项式为.,(3,,),1,(4,,)(2,,),13,, A 所以的特征值为. ,,2,,,412 x3,2,10,,,,,,1,,,,,,, 当时，对应的特征向量应满足，,,21,,,,,,x,13,20,,2,,,, 1,,,,p 故特征向量可取为,. 1,,1,, ,1,,,,p,,,4 同理，当时，对应的特征向量可取为. 22,,1,, k,0A,kpp注 若是矩阵的对应于特征值的特征向量，则()也是对应于特征iii 值的特征向量. ,i ,110,,,,A,,430例2 求矩阵的特征值与特征向量. ,, ,,102,, ,,1,10 2A,,E,,43,,0,(2,,)(1,,)解 ， 102,, 所以 . ,,2,,,,,1123 0,,,,p,0 当时，解方程，得基础解系， ,,2(A,2E)x,0,,11,,1,, 所以是对应于的全部特征向量. kp(k,0),,211 ,210x0,,,,,,1,,,,,,(A,E)x,,420x,0 当时，解方程，,,,,1,,,,,,223,,,,,,101x03,,,,,, ,1,,,,p,,2 得基础解系，所以是对应于,,,,1的全部特征向量.kp(k,0),,2232,,1,, ,211,,,,A,020例3 求矩阵的特征值与特征向量. ,, ,,,413,, ,,2,11 2A,,E,02,,0,,(,，1)(,,2)解 ,413,, ,,,,2,,,1 所以，. 231 1,,,,p,0 当时，解方程，得基础解系， ,,,1(A，E)x,0,,11,,1,,所以是对应于的全部特征向量. kp(k,0),,,111 01,,,,,,,,pp,1,0 当时，解方程，得基础解系，，,,,,2(A,2E)x,0,,,,2323,,,,,14,,,, 所以是对应于的全部特征向量.kp，kp(k,k不同时为0),,,,122332323 三、特征值与特征向量的性质 ,AA性质1 若为阶矩阵，为的对应于特征值的特征向量，则nx kAk,k)的特征值为(是任意常数); (1 mm,(2)的特征值为(是正整数); Am 1,1A(3)若可逆，则是A的特征值; , (4)若为的多项式，则是的特征值. xf(x)f(,)f(A) TAA性质2 与有相同的特征值. A(a),,,,？,,定理1 设阶矩阵=的特征值为，则 nij12n ,，,，？，,,a，a，？，a(1); 12n1122nn ,,？,,A(2). 12n 3AA,3A，E例4 设三阶矩阵的特征值为1,2,,3，求行列式的值. 33f(A)解 设f(A) ，则，由定理1可知等于的f(x),x,3x，1f(A),A,3A，E f(A),153f(A)f(1),f(2),f(,3)三个特征值之值.而由性质1得的特征值为，故. 定理2 设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向App,？,p,,,,？,,m1,2m12m 量.如果各不相同，则线性无关. pp,？,p,,,,？,,1,2m12m 证明 设有常数使. x,x,？,xxp，xp，？，xp,012m1122mm 则，即，A(xp，xp，？，xp),0,xp，,xp，？，,xp,01122mm111222mmm kkm类推之，有.(),xp，,xp，？，,xp,0k,1,2,？,m,1111222mmm 把上列各式合写成矩阵形式，得 m,1,,,,1？11,,m,1,,,,1？22 .(xp,xp,？,xp),(0,0,？,0)1122mm,,？？？,,m,1,,,,1？mm,, 上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当各不相等时该行列式不等,i于零，从而该矩阵可逆.于是有.(xp,xp,？,xp),(0,0,？,0)1122mm xp,0(j,1,2,？,m)p,0x,0(j,1,2,？,m)即.但，故.jjjj p,p,？,p所以向量组线性无关. 12m ? 小结与提问: , 小结:1.特征值可能是实数，也可能是复数. Ax,,xk,0kx 2.特征向量是满足方程的非零向量，且对任意非零常数，也 ,A是的属于特征值的特征向量. ,Ax,xkx，kx,0 3.如果都是的属于特征值的特征向量，且当时，121122 ,A它也是的属于的特征向量. A,,,,,,提问:设与,分别是矩阵的属于特征值与的特征向量，而且，问1212 是否是的特征向量, A,，, ? 课外作业: 4.(1)(2) P162