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【doc】n元二次式极值的矩阵求法.doc

【doc】n元二次式极值的矩阵求法

别把本人弄得像个笑话
2017-11-15 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《【doc】n元二次式极值的矩阵求法doc》,可适用于综合领域

【doc】n元二次式极值的矩阵求法n元二次式极值的矩阵求法第卷年第期南都学坛(卣然科学专号)AcademicForumofNnDuvNo一钾n元二次式极值的矩阵求法张诚一ll囊耍:奉文利用T~y(Jt)(j,)型行轫等主蕞,培出了一元二丧式的瓤值判定置木渣关世二次姬脬店j'利用二次鸯理论对n元二次式展开讨论,给出了元二次式q,而而c()掇值存在的判定方法,阅后受益非浅本文在的基础上结合拙文中升绍的改进方法,给出了判定并求出()式投值的矩阵解法不但在计算过程中仅仅依艟于矩阵的初等变换,而且使得计算量大为减少引理n元二次式()存在掇值的充要条件是q,日弓B()存在极值引理设A是对称矩阵,如果A可以表为:AU这里是主对角元垒是的下三角矩阵U一I】*ft刖上,^工=I:证明见文(上三角阵)I(对角矩阵)f给定元二次式,毛而~JIi以为元素,可确定一'称矩阵^=(),构造n×(n)矩阵(^,)一:……d】I:……:l:……我们称()是一元二次式的加到矩阵'显然,给定n元二次式()存在唯一一个加列矩阵(^)与之对应^总可利用(I)()型行韧等变换将A化为上三角矩阵U,刖同样的行韧等变换可以化)为j|,n元二次式极值的矩阵求法l***‰The~cmn元二次式()存在般值的充分岿要条件是t一(^)=一(^,)直,,:…中每肆元商号当(f=I,,"…一),()存在极小值,当(fI,,……一),()存在板大值我们将()式倚记为tX^Xb'X,A=(q),}lD则经可逆线性变换x=LY()式可化为y'DyCy=YL()下面分两步来证明Theorem命题:AX扫X有撮值的充分必要条件是yDYCy有撮值证明:仅证极小值情形":设存在xo,使得对任意的x,都有xAXxX'o^x扫ox则对于任意的y,由x=LY可以确定唯一的x,且有yLALY曲'LYyLALYo扫工即:yDYcyY'oDycy从而yDYCy存在极小值(这里,yo=Lxo)"々,由于工可逆,类似地可证当y'oDYoc为yDYc的掇小值时,X'oAXo扫'x口亦为xAX扫x的掇小值命题:yDYcy存在援值的充要条件是:甜^(D)=ran,(D,c),且D为半正定或半负定矩阵证明若(D)ran(D,c),设rak(D)=,舅jl,所有DJ=o(r)令=(,:…,,,…)'则y'oDCy=ll由^的任意性知,yDYCy无掇值l若r(D)=r(D,c)列yDYC'y:…,(…)(…r()一善等当^半正定,即=,I'一)时,令=(一,…',,…o)则yDYcy取得极小值一l当^半负定,即(f=I,I,)o时,令=(一,…,一,o一',o则y'DYC'Y取得极大值一圣等皇L^L若叫"南都学坛年第期当不定时,不失一般性,可设l'l,,,O,l,…,令一(一l'lCL'',一,…D)其中~Y,t~,由一t的任意性知,yDycy可以小于任意给定的负数令:一(,"o,C~z,…,其中,由的任意性知,yycY叉可以大于任意给定的正数故YDYcY无扳值由命题,命题,我们完成了^c甜一的证明例讨论,()一哥霹豸《如:缸':^一^是否存在极值解构造加列矩阵,)一llll一lll一f州"【JioLflloLOll'r(A,)一r(A),且l'l,,,()存在极小值一(旱等兰)一说明:若需求出极值点及相应的线性变换,只须在(^,)右懊I再置一单位矩阵E即可即当(^,,E)()(J)(u,c,工)时,IYB为所求线性变换一工仍如上饼(,E)=一生l'll即为相应的扳值点lll一llol号(下接页)ll一llOLOOO关手中位定理中间点"的蒲近性质于是()=万(由()与(),有()百干i干而'IJ,由此即得()式证毕推论设函数,(),g(O在扣,上分别具有直至n阶和孵阶连续导数,时谓(f)且lhn,)=,lim,')=l及limI()at一,lira)宣c其中,为常数且c,到()式中的稿足(暑】=注在定理中取埘=便得推论注本文中的极限为无穷()均指或参考文献王向东手t关于唧r^F#中值走理中两点的新霉性驻马店师专()王饥宁t关于枉限的一十走理的完善夏其苴Jll,藏学通报()一一尚叠点t岬潘一曲缸广南阳麓育学晓(理科簟)l妇孛并最t洛曲选潘刖的冀{'夏其曼活应Jl青丰一荒太学()集洪州t关于积分中值走理怔}的一点注{己藏擘通讯()(上接g页)曩t所求线性变换是=扳值点是oooo一号{o(^,毛一,')ffi(一,一,,I)一(一号I,{k,k)yO号o参考文献起扭本t【元二斑式的枉值同意',藏擘逼缸,张鱼一t'关于柜阵夸一生蕞的注{己'藏学逼撮张和毫郜熵斯:南等冉托(第三簟)南等麓育出社,

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