多元函数微分

多元函数微分 第十章 多元函数微分 多元函数 一、平面区域内平面点集的有关知识： ,,1、邻域：给定平面内P（x，y）点，和某数>0，以P点为圆心，为半径作圆，该圆0000 222内所有点的全体，即，称为P点的邻域，记做：U(P,,){(x,y)(x,x)，(y,y),,}0000简记； U(P)0 2、内点：在平面点集，存在P的一个邻域，使得，则称P为的内U(P)U(P),,,,0000点； 3、开集：平面点集内的所有点都是内点，则称点集为开集； ,, 4、边界点：在平面上，存在某个点P，在P的任何邻域内，都含有点集的点，又含有不,是点集的点，则称点P为点集的边界点。 ,, 注：1、点P可以在点集内，也可以不在；2、点集中孤立在外的点，称为孤立点，规,, 定，孤立点为边界点。3、所有边界点组成的集合称为边界。 5、连通性：如果点集内的任意两点都能用全属于的折线连接起来，则称为连通的。 ,,,6、区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。 7、有界无界区域：对于平面点集,,D，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D，使，则, 称为有界区域，否则称为无界区域。 8、聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集的点，称P为点集的聚点。 ,, 二、二元函数的概念 1 设有变量x，y和z，如果当变量x，y在某一固定的范围内，任意取一对值时，变 量z按照一定的法则f总有唯一的确定的值与之对应，就称z为x，y的二元函数，记作： z,f(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为因变量。自变量x，y的取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。 注：1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数（n?1）； 2、定义1中，当x，y的值取定后，z的取值就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是唯一的，这时我们称z,f(x,y)为单值函数，但有时侯取值不是唯一的，这时我们称 222z,f(x,y)为多值函数。如：。一般情况，我们讨论的函数都是单值函数，z，y，z,9 如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理。 z,f(x,y)3、二元函数的定义域有两种。其一：我们规定的定义域，即中，x，y的 1x,1,y,1,取值范围。如：，，其中的定义域就是z,f(x,y),,1,x,2,1,y,20, 。其二：我们给定的函数z,f(x,y)，使得z有确定取值D,{x,y},{x,y|x,2,y,2} 22的（x，y）的取值范围。如：，其定义域为：D={(x，y)| z,f(x,y),arcsin(x，y)22 }。 x，y,1 4、二元函数的图形由上一章的内容可知是一张曲面。 5、,f(x,y),g(x,y)定义域相等且起对应法则也必须相等。 例 求z,x,y的定义域。 2,,x,y,0y,x, 解：显然要使得上式有意义。必须满足,。 ,,,y,0y,0,, 二重极限 1 设Pz,f(x,y)(x，y)为函数定义域D的聚点，如果当定义域内任意一点P000 （Pf(P),Af(x,y)除外），以任何方式趋近P时，即：，都有，则称在的PP,P0000 二重极限为A。 220,PP,(x,x)，(y,y),,,,,,,,0，,,0 语言表示：，，当000 limf(P),limf(x,y),A时，恒有：，记：。 f(P),A,f(x,y),A,,P,Px,x00y,y0 2、计算二重极限的方法 1、一元函数求极限的方法及运算法则（L.hospital法则除外）对多元函数依旧成立。如： 122xy(x,y)tanxy；（2 ）、lim lim(1，xy)两个重要极限，等价无穷小法则等。 22x0,x0,x，yy,0y0, 例1（1）、xy11xylimx,0tanxy1tanxyxytanxyy,0解：（1）====e lim(1，xy)lim(1，xy)eex0x0,,y0y0,, 222222x,yx,yx，y （2） ,,,1222222x，yx，yx，y 22xy(x,y) ,xy,1,xy ， 因此 limxy,0 22x,0x，yy,0 P,P0定义中提到任意方式趋近，当我们能找到两条不同的路径L1，L2，使得，但是 函数取得的极限却是不同的A，B时，则我们称其函数极限不存在。 xy,22,x，y,022例2 讨论，在（0，0）处的极限。 f(x,y),x，y,22x，y,0,0, 解：取不同路径y=kx，当x趋近0时，y趋近0，但方式不同， 2xykxk limf(x,y),lim,lim,22222,ykx,0,ykx,0,x0x，y(1，k)x1，k 当k取值不同是，极限也不相同。所以函数在（0，0）的极限不存在。 3、二次极限与二重极限的关系 定义：称lim(limf(x,y))lim(limf(x,y))f(x,y)和为函数在点（x,y）的二次极00x,xy,yy,yx,x0000 限。 注：二次极限存在不一定二重极限存在，同理二重极限存在不一定二次极限存在。 11例3（1）显然有：lim(xsin，ysin),0，0,0，但是二次极限不存在。 x,0yxy,0 xy,22,x，y,022（2） 例2说明，在（0，0）处的二重极f(x,y),x，y,22x，y,0,0, 限不存在，但其二次极限lim(limf(x,y))lim(limf(x,y))==0。 x,0y,0y,0x,04、二元函数的连续性 是函数z,f(x,y)定义域D上的聚点，且，如果： P,D00 ，则称函数在点P（x,y）连续，否则称该点z,f(x,y)limf(x,y),f(x,y)000 设P00xx,0y,y0 为不连续点。 xy,22,x，y,022例4 任由上面例题可知，在（0，0）处是不连续的。 f(x,y),x，y,22x，y,0,0, 注（1）等价定义：函数z,f(x,y)在点P（x,y）连续 ,000 limf(x,y),f(x,y),limf(x，,x,y，,y),f(x,y)000000x,x,x,00,y,0y,y0 （2）利用多元函数的连续性来解决极限问题。 xy,1例5 求极限 limx,1xy，1x,1 解：? limxy，1,2lim(xy,1),0，且,? 原极限=0 x,1x,1x,1x,1 1（最值性）若函数z,f(x,y)在有界闭区域D上连续，则函数f在D上有界，并且能取得最大值与最小值。 2（介值性）：设函数z,f(x,y)在有界闭区域D上连续，若P（x，y），P1112 （x，y）D，且f(x,y),f(x,y)，则对任何满足不等式f(x,y),k,f(x,y),2211221122 的实数k，总存在P（x，y）点，使得。 f(x,y),k00000 一、偏导数概念 偏增量： ,z,f(x，,x,y),f(x,y)x0000 ,z,f(x,y，,y),f(x,y)y0000 全增量： ,z,f(x，,x,y，,y),f(x,y)0000 1、设函数z,f(x,y)在P（x，y）的某邻域U(P,,)内有定义，,(x，,x),U(P)。000000 f(x，,x,y),f(x,y)0000lim存在，则称在P（x，y）点关于x的偏导z,f(x,y)000,,x0,x 数存在，且其极限值为其在该点的偏导数。 若 ,z,f 记作、或者、，即： f(x,y)z(x,y)x00x00,x,x(x,y)(x,y)0000 fx，,xy,fxy(,)(,)0000= limf(x,y)x00,x,0,x f(x,y，,y),f(x,y)0000同理：= limf(x,y)y00y0,,,y2()：如果函数z,f(x,y)在D内的每一点（x，y）都有偏导数，则称、f(x,y)y z,f(x,y)为的两个偏导(函)数。 f(x,y)x 3、偏导数的计算 注（1）、求z,f(x,y)z,f(x,y)对x的偏导数时，将y视为常数，对x求导数。求对 y的偏导数时，将x视为常数，对y求导数。 ,zdy,z（2）、偏导数的符号、是一个整体，不像可以看成dy除以dx。 ,xdx,y ,xy,z,y例1 设，则求，， z,x,x,z,y y,zy 解：?，? 视y为常数，则； z,,,2x,xx ,x1y 又?,，?视z为常数，则； x,z,yz ,y 又?y,xz,z，?视x为常数，则。 ,z ,z,x,yy1,z,x,y同时，由上面计算可知,,,,,,z,,1,,1。尤其注意在不2,x,y,zz,x,y,zx ,z,z23等号的左边表达式是错误的。 在点（1，2）处的偏导数。求， z,x,2xy，3y,y,x(1,2)(1,2) 例2 设 ,z,z2解：,,2x，9y,,2，36,34.； ,2x,2y,2,4,,2(1,2),y,x(1,2)(1,2) xy,22,x，y,022例3 设，；求f在（0，0）处的偏导数。 f(x,y),x，y,22x，y,0,0, 解：因为函数在整个定义域内表达形式不一样，所以在这里我们只能根据定义 来求解。 fxf(0，,,0),(0,0)0lim,lim,0= f(0,0)x,x,0,x,0xx,, f(0,0，,y),f(0,0)0lim,lim,0= f(0,0)y,y,0,y,0,y,y3、求z,f(x,y)在P（x，y）的偏导数的方法 000 法一：首先求出其偏导函数、，在代入该点的坐标值（x，y）。 f(x,y)f(x,y)00xy 法二：比如求时。通常我们先代入y=y，得到，在对x求导数得f(x,y)f(x,y)0x000 ，再代入x=x。 f(x,y)0x0 (x,1)2xy例4 z,f(x,y),arctansin(y,)，ecos(y,)，求。 f(1,1)x2 xx解：，， f(1,1),,ef(x,1),,ef(x,1),,exx4、偏导数存在和函数连续的关系 xy,22,x，y,022，在（0，0）处的偏导数存在，但不连续。 f(x,y),x，y,22x，y,0,0,例5 例6 ，在（0，0）处连续，但是偏导数不存在。 f(x,y),x，y 5、偏导数的几何意义 表示：曲面z,f(x,y)与平面y=y相交的曲线C，在平面y=y内在x=xf(x,y)x000x00 处的切线斜率。 6、高阶偏导数 22,z,,z,z,,z 设有函数()z,f(x,y),，称为函数的二阶纯偏导(),22,x,x,x,y,y,y 22,z,,z,z,,z数，而称(,)()(,)()为函数的二阶混合偏fxy,,fxy,xyyx,x,y,y,x,y,x,x,y 导数。 22,z,z,z,z,z,z注：,, ,,2,x,x,x,y,y,x,x 1：若函数z,f(x,y)的两个混合偏导数在区域D内连续，则两者相等。 22,z,zyx例7 设，求，。 z,xy2,x,y,x ,zyylnx，xlnyylnx，xlnyyx解：z,xy,,.[，lny]，?。 ee,xx 2,zyy,zylnx，xlny2,.[,，(，lny)]=； e22,xxx,x 2,11zyxylnx，xlnyyx,[，]，(，ln)(ln，)xyyx。 e,,xyxyxy 例8 z,f(x,y)z,f(x,y)在点（x,y）处的偏导数都存在，是在（x,y）连续的（ ）。 0000 （A）：充要条件 （B）充分非必要条件 （C）非充分非必要条件。 xy,解：由上面可知， 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是（C） 22,x，y,022，，在（0，0）处（ ）。 f(x,y),x，y,22x，y,0,0,例9 （A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在 （C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在 解：由上可知，答案是（C） 2x例10 ,x,z,(,),sinzfxy，求 ey1,x,y(2,), ,1zxx,x,x解：,.sin，cos, ,eexyyy, 2,1zxxxxx,x,x,x ,,cos,(,)，,,cos，(,sin),(,)eee223,,xyyyyyyy 22,,z代入，得=。 2e,x,y1(2,), 二、全微分 1、全微分概念 设z,f(x,y)在P（x，y）的某邻域U内有定义，对，,P(x，,x,y，,y),U(P)1 ,z,f(x，,x,y，,y),f(x,y),A,x，B,Y，O(,)0000若 ，其中 22,,(,x)，（,y）,x,yz,f(x,y)，A，B为与，无关的常数，则称在P（x，y）点的全微分存在，或者称其在该点是可全微分的，记其全微分为dz，且dz,A,x，B,y。 注：同一元函数类似，在这里规定，dx,,xdy,,ydz,Adx，Bdy，，即：。 1 可微函数一定连续。（不连续的函数一定不可微。） z,f(x,y)在P（x，y）处可微分，则：,z,A,x，B,Y，O(,) ?lim,z,lim(A,x，B,y，O(,)),A,0，B,0，0,0 ,x,0,x,0证明：设,y,0,y,0 ?z,f(x,y)在P（x，y）处连续。 ,z,z2 可微函数的偏导数一定存在，且dz,dx，dy,zdx，zdy xy,x,y 证明：设z,f(x,y)在P（x，y）处可微分，则， ,z,f(x，,x,y，,y),f(x,y),A,x，B,Y，O(,)0000，对 ,x,(x，,x,y，,y),U(P)，因为A、B与、,y无关，所以令,y,0，上式依然成立。既 ,z,f(x，,x,y),f(x,y),A,x，0，O(,x) O,x,z,z? limlim()0 ,A，,A，,A,,x,0,x,0,x,x,x ,z同理：令,x,0B,，得到：。 ,y ,z,z? dz,dx，dy ,x,y 注：讨论函数z,f(x,y)在P（x，y）处是否可微的方法： zzxzy,,,,,xy若limz,f(x,y)=0，则在P（x，y）处可微分； z220,,xyy,，,0,, 否则不可微分。 xy,22,x，y,022例1讨论，在（0，0）处是否可微分。 f(x,y),x，y,22x，y,0,0, 解：f(x,y)==0 f(x,y)xy ,x,y? zf(0,0)xf(0,0)y,,,,,,xy22xy,，, ,z,z,x,z,y,,xyxy? ，极限不存在。 ,,,limlim322,x,0,x,0,，,xy22,y,0,y,02(,x，,y) z,f(x,y)在（0，0）处不可微。 注：证明函数不可微的一些特殊方法： ? 1、 函数不连续一定不可微； 2、 如果一个偏导数不存在，则不可微。 上例证法2：因为函数在（0，0）点不连续，所以一定不可微。 3 若函数的偏导数连续，则函数可微分。 注：函数在（x，y）点的关系 1,例22222(x，y)sin()x，y,0,22f(x,y),，，在（0，0）点可微，偏x，y,22x，y,0,0, 导数存在，但是偏导数不连续； 3例3 3在（0，0）点； f(x,y),x，y xy,22,x，y,022例4 ，在（0，0）。 f(x,y),x，y,22x，y,0,0, 22x，y例5 设dzz,，（1）求； （2）求 dz|e(1,2) 1221,xy，222解：z,e,,(x，y),2x x2 1221,xy，222z,e,,(x，y),2y y2 122,xy，222? dz,e,(x，y),(xdx，ydy) 15? dz,(2dx，dy) e(1,2)5 例6 求u,xyz的全微分 ,u,u,u,yz,xz,xy，， 显然这三个函数在空间中任意一点（x，y，z）,x,z,y 解 点军连续，?u,xyz在每一点均可微，其全微分：dz,yzdx，xzdy，xydz。 三、多元复合函数的求导法则 定理1：设u,,(x)，v,,(x)在点x处可导，z,f(u,v)在x对应的点（u，v）处有连续的偏导数。则一元函数z,f(u(x),v(x))在点x处可导，称其为全导数。且dz,zdu,zdvdz,fdu,fdv,,，,,,，,或者……公式（1）。称公式（1）为全导数dx,udx,vdxdx,udx,vdx 公式。 证明：由于z,f(u,v)有连续的偏导数，则z,f(u,v)可微。 ,f,f? ,,dz,du，dvdu,,(x)dxdv,,(x)dx，又u，v关于x可导。从而，。 ,u,v dz,fdu,fdv代入可得：,,，,。 dx,udx,vdx dy2v 例7（1）、，，，求。 v,sinxy,uu,cosxdx ,y,yv,1v 解：,v,u,u,lnu， ,u,v dvdu 且：,,sinx,2sinxcosx,sin2x， dxdx 22dy3,cosxsinx ? ,,sinx(cosx)，sin2x,(cosx),lncosx dx 2复合函数微分法：设函数u,u(x,y)v,v(x,y)， ，在点（x，y）处有偏导数，函数z,f(u,v)z,f(u(x,y),v(x,y))在其对应的点处有连续的偏导数，则在点（x，y）处有对关于x和y的偏导数，且有下列公式： ,f,f,z,z,u,z,v,u,v,,，,,,，, ,x,u,x,v,x,u,x,v,x ,z,z,u,z,v,f,u,f,v,,，,,,，, ,y,u,y,v,y,u,y,v,y 记忆方法：如图连线相乘，分线相加。 ,zv2，u,2x，y，，求 y,uv,x，3y ,x 例8 ,z,z,u,z,vv,1v,,，,,vu,2，ulnu,1解 ,x,u,x,v,x 222x，3y,1x，3y,2(x，3y)(2x，y)，(2x，y)ln(2x，y) ,z,z注：在实际解题过程中，一般习惯用以下记号：,f,f，，其中1，2是根据12,u,v题设z,f(u,v)中，u和v在函数中排在第个来决定，此点务必记清楚。 3设函数u,u(x,y)v,v(x,y)， ，在点（x，y）处有偏导数，函数 z,f(x,y,u,v)z,f(x,y,u,v)，则：函数在点（x，y）处也有偏导数。且： ,z,f,f,u,f,v,，,，,,f，f,u，fv 13141,x,x,u,x,v,x ,z,f,f,u,f,v,，,，,,f，f,u，fv 13242,y,y,u,y,v,y ,f,f,f,u,v其中：,f,f,f,u,v，，，，。 13411,x,u,v,x,x 记忆方法：如图连线相乘，分线相加。 注：（1）、,z,fz,f(x,y,u(x,y),v(x,y))是二元函数关于x的偏导数。而是四元,x,x函数f(x,y,u,v)关于x的偏导数。 例9：w,F(x，y，z)z,f(x,y)y,,(x)f,g,,，，，其中有连续的导数或者 dw dx dudydz 解：令u,x，y，z， ,1，，偏导数。求dxdxdx dydz,f,fdy,f,f又因 ,,,,(x),,1，,,，,(x)， dxdx,x,ydx,x,ydwdu,f,f,,,,,F(u),,F(x，y，z),[1，,(x)，，,(x)]。 dxdx,x,y ,zy,z例10设z,f(x,)，求，。 x,x,y ,z1,zyy解：,f，f(,),f,f,f，同理：。 1212222,x,yxxx 例11 f(x,y)连续偏导数，，， f(1,1),f(1,1),1f(1,1),2xy ,zz,f(f(x,y),f(x,y))， ,x(1,1) 解：令u,f(x,y)v,f(x,y)， ,z,f,u,f,v ? ,,，,z,f(u,v)， ,x,u,x,v,x ,f(f(x,y),f(x,y))f(x,y)，f(f(x,y),f(x,y))f(x,y)1121 其中 f,f,f,f1x2y ,z ? ,1,1，2,1,3,x(1,1) 2,u例12 u,f(x,y,z),z,g(x,y)，求 ,x,y ,udxdy,z,z 解：,f，f，f,f,，f,，f10 123123,xdxdx,x,x ,gdx,gdy =f，f[，],f，f[g，g,0],f，fg 131312131,xdx,ydx 2,u, ,,,f(x,y,z)，f(x,y,z)g(x,y,z),f，fg，gfg，fg 13112132132232,x,y,y = f，gf，ggf，gf122131232123 有连续的偏导数，无论u,v是自变量还是中间变量，都有 z,f(u,v) 3、全微分不变性（形式） dz,f(u,v)du，f(u,v)dvuv设 例13 设函数，其中函数二阶可导，具有z,f(2x,y)，g(x,xy)f(t)g(u,v) 2,z二阶偏导数，求。 ,x,y ,z 解：,,2f(2x,y)，g(x,xy)，yg(x,xy) 12,x 2,z,, ,[2f(2x,y)，g(x,xy)，yg(x,xy)]12,x,y,y ,,。 ,,2f(2x,y)，xg(x,xy)，g(x,xy)，xyg(x,xy)12222 四、 方向导数 1 ,f,ff(x,y)是函数关于x的变化率,即关于x轴的方向导数。 ,x,x ,f,ff(x,y)是函数关于y的变化率，即关于y轴的方向导数。 ,y,y f(x,y) 设z=在P(x,y)某领域u(P)内有定义，以P点为起点引方00000 ,,ll向射线，任取P(x+x,y+y)。 ,00 f(x+ ,x,y+, y)-f(xy)000,0,lim如果存在，(其中=)。 PP00,,, ,flf(x,y)则称此极限为z=在P点沿的方向导数，记为。 0,l f(x+ ,x,y+, y)-f(xy),f000,0lim即= 0,,,,lP0 ,注：若P(0,0),方向为x轴的正向，取定y=0 ,ff(0，,x,0),f(0,0)== f(0,0)limx,x,0,l,x , 若P(0，0)，方向为x轴的负向，取定y=0 ,ff(0，,x,0),f(0,0) == ,f(0,0)limx,x,0,l,,x l 1: 设z=在P(x，y)处可微分,则在P点沿任意方向的方西f(x,y)f(x,y) ,f,ff,拿过导数均存在、且=+其中： cos,sin,,l,xy,PPP,,x,y0l={cos,,sin,}={,}，其中：为x轴到的转角。 l,,, 22y，z例 1求u=ln(x+)在点A(1,0,1)沿A指向B(3,-2,2)的方向导数、 , l解: =={2,-2,1}、 AB 221,u1,u,u10l,{,,,}.则 ,;,1;,AAA333,x2,y,z2 ,u1 ? ,。 A,l2 22x，yl{cos,,sin,}例2 求r=沿=的方向导数， ,rx,ry,,,解：因为：r为向径的模，， ,xr,yr,rxy,,cos,，,sin,,cos,cos,，sin,sin,,cos(,,,) ,lrr 即向径沿本方向时方向导数最大。 222l例3 （1）设是曲面2在点A(1,1,1)处指向外侧的法向量， x，3y，z,6 226，8xyl求u=在A点沿的方向导数； z 222在点A(2,3)处沿曲线的切线且朝x值增大以方（2）求z=3xy,yy,x,1 向导数。 ,解:（1）={}={4x,6y,2z}={4,6,2}、 f,f,fnxyzA 2310cosr,0,故l,{,,} 由于， 141414 ,u,u2,u3,u111,,，,，,, 则 A,l,x,y,z7141414 ,,,3210l若是内侧,则l,{,,}说明： 141414 ,l:y,3,4(x,2),y,4x,5 （2） y,2x,4.xA ,14,AB,{1,4} 取B=(3,7)、则、单位化={}、 1717,z,z1,z4142,,，,,xy,，x,y,6(32) ? AAAA,l,x,y17171717 160(36，24), = 1717 隐函数的微分法 一、隐函数为一个方程的形式 第五节 1设F(x,y)在（x,y）的某个邻域U内有连续的偏导数，且，F(x,y),00000 ，则在U内，方程确定了唯一的具有连续的导数的函数F(x,y),0F(x,y),0y00 Fx,，满足，且。 y,f(x)y,f(x)y,,00xFy Fx证明：这里仅仅证明。 y,,xFy Fx对函数,,F(x,y),0，两边关于x求导数得：。 F，F,y,0,y,,xyxxFy 2dy〖补充〗：如果F(x,y)的二阶偏导数都连续，则也存在，并且有： 2dx 2Fdyddydx， [][],,,2dxdxdxFdxy dFdFyxF,,F,yxFdFdF(x,y)Fddxdxxxxx其中， [],,,,F，F,,xxxy2dxdxFdxFFyyy dFdF(x,y)FyyxF(x,y)，且因为的二阶偏导数都连续， ,,F，F,,yxyydxdxFy 2dy122? 。代入，整理可得结果。 F,F,,,[FF,2FFF，FF]xyyxyxxxyxyxyy23dxFy 1dy【例】方程F(x,y),y,x,siny,0，求。 dx2 11 解：显然F(x,y),y,x,sinyF(x,y),1,cosx，，且，F(x,y),,1yx22 在平面上任意一点都连续，且F(x,y),0，因此依据定理1，确定了一F(x,y),0y Fdy2x个定义在实数域R上的连续可导函数y,f(x)，且有：。 ,,,dxF2,cosxy 2F(x,y,z)在U(P)内有连续的偏导数，且，F(x,y,z),00000 F(x,y,z),0，则由确定唯一的有连续偏导数的函数F(x,y,z),0z000 FF,z,zyx，并满足。且，。 z,f(x,y)z,f(x,y),,,,000,xF,yFzz 2,z33求。 z,3xyz,a,x,y 33 解：令 F(x,y,z),z,3xyz,a 2 F,,3yz,F,,3xz,F,3z,3xyxyz FF,zyz,zxzyx? ， ,,,,,,22,xF,yFz,xyz,xyzz ,z,z2(z，y),(z,xy),yz(2z,x)2,z,y,y? ，代入已求量，得 ,22,x,y(z,xy) 24222,zz(z,2xyz,zy)。 ,22,x,y(z,xy) 【例02-4】：设u,f(x,y,z)z,z(x,y)具有连续的二阶偏导数，且有方程： xyzdu所确定。求 xe,ye,ze zxy解：令 F(x,y,z),ze,xe，ye xxF,z(e，xe)x，1(x,z)x则 ,,,,,ezz,xFz，1e，zez F,zy，1(x,z)x ,,,,e,yFz，1y ,z,z则du(ff)dx(ff)dy,，，， 1323,x,y ，，x1y1(x,z)(y,z)代入：得,，，,du(ffe)dx(ffe)dy。 1323，，z1z1 二、两个方程的方程组 3设在P(x，y，u，v)的某个邻域U内有连续的偏导数，其v,v(x,y)00000000 中，并且F，G的雅可比行列式： F(x,y,u,v),G(x,y,u,v),000000000 ,F,G F(x,y,u,v),0,,u,u，则方程组：确定了两个连续的偏导数：u,u(x,y)，J,,0,,F,GG(x,y,u,v),0, ,v,v ,u,v,u,v,v,v(x,y)，且，，其中，（或者）可由对u,u(x,y)v,v(x,y)000000,x,x,y,y F,0,两边关于x（或y）求偏导数后，建立方程组，得出公式：课本P42。 ,G,0, （证明略）。 22,，,,0xyuv,u,v,22【例】：设，，求。 u，v,0,,22,x,x,,，,0xyuv, 解：由题目要求可知，u、v为x的函数。 xuvuv2，(,,),0,xx所以就题设两个方程对x求偏导数得： ,,yuuvv,2，2,0xx, 4xv，uy4xu,yv，。 u,v,xx22222(u，v)2(u，v) 〖注〗：从上面的解题过程我们发现，在学习本节内容时，不要求死记公式，一定要 掌握本质内容，这样解题更加得心应手。 【例99-1】：设y,y(x),z,z(x)由方程所确定，其z,xf(x，y)和F(x,y,z),0 dz中分别具有一阶的连续导数以及一阶连续的偏导数，求。 f和Fdx 解：z,xf(x，y)两边关于x求导数： dz,,,,z,f，xf（,1＋y） xxdx 对F(x,y,z),0两边关于x求偏导数： ,, F，Fy，Fz,0xyxzx ,,(f，xf)F,xfFdzyx对上面两个方程可以解出,,得：。 z,y,xx,dxF，xfFyz 第六节 偏导数的几何应用 一，空间曲线的切线及法平面。 1，参数方程形式： x,x(t),,,,, ,且 设曲线方程Г：{ x(t),y(t),z(t)},0y,y(t),000 ,z,z(t), 求Г在P{x(t),y(t),z(t)}的切线及法平面（与切线垂直切过P的平面称为00000 Г在P点的法平面） 0 解：求割线 PP的方程。 0 ,,,P(x,y,z),设t对应的增量x,y,z. 0000 且P(x+x,y+y,z+z) 000 y,yx,xz,z000? PP的方程：== 0,z,x,y , 分子分别乘以t，则 x,xy,yz,z000== ,x,y,z ,t,t,t ,t,0令得： x,xy,yz,z000== —— 切线方程 x'(t)y'(t)z'(t)000 称{ x?(t),y?(t),z?(t ) }为Г在对应点的切向量。 ,S000 注：求出切向量即可由点向式方程求出切线方程，再由为法平面的法向量S 写出法平面方程（点法式） Г的法平面：x?(t)(x-x)+y?(t)(y-y)+z?(t )(z-z)=0 000000 2,x,asint ,,【例】：求 在t=处的切线及法平面 y,bsintcost,4,2z,ctcos, ,abcS解：切点：P=(,,),切向量={a,0,-c}. 0222 abcx,y,z,222?切线方程：== a0,c ac法平面：a(x-)-c(z-)=0 22 x,t, ,2【例】 (92-I),曲线的所有切线中，与平面：x+2y+z=4平行的切线y,,t,, ,3z,t, 有（ ） （A）不存在 （B）只有一条 (C)只有二条 (D)三条 ,2,,,解：切向量＝{x(t),y(t),z(t)}＝{１，-2t,3} St,? // S, ,,,n? S 12? 1+2(-2t)+3=0 t=1或t=。 t,3? 满足条件的为二条 y,y(x),,,2、(一般曲线方程)，柱面交线Г：,求它在x对应点{y(x),z(x)},0,000z,z(x), 的切线及法平面。 y,y(x),,,,,解：Г：: 切向量S＝ {1,y(x),z(x)}z,z(x),00 ,x,x, x,xy,yz,z000? 切线方程：＝＝ 1y'(x)z'(x)00 ,,法线方程：（x-x）+(y -y(x))+ (z-z(x))=0 y(x)z(x)00000 FFF(x,y,z),0,(F,G),yz,03、一般方程Г：，J==。 ,GG,(y,z)G(x,y,z),0yz, ,,,则：y=y(x), z=z(x)，则切向量： S,{1,y,z}xx,,其中 可由方程两边对x求导，解出y?（x）,z?（x）即可。 y(x),z(x)xx 222,xyz，，,3【例】:求在（1，1，1）处的切线及法平面方程。 ,xyz2,3，5,4, 2x，2yy'，2zz',3,解：对方程两边求导得：代入：（1，1，1）得到： ,2,3y'，5z,0, yz2'，2',1,xx ,yz,3'，5',,2xx, 91y'(1),,z'(1),,解之得： 1616 ,,91S,{1,,,}且可取切向量为：={ 16,9,-1} S1616 x,1y,1z,1,,? 切线方程： 169,1 ? 法平面方程：16(x-1)+9(y-1)-(z-1)=0 二．曲面的切平面及法线 若曲面上过P点的所有切线都在同一个平面上，则称该平面为曲线在P点的,00 ,切平面，切平面的法向量称为曲面在P点的法向量，称垂直于切平面且过P00 ,点线为曲面在P点法线。 0 1.一般方程：F（x,y,z）=0 设F（x，y，z）=0在P(x,y,z)处有连续导数且， {F(P),F(P),F(P)},00000x0y0z0 ,n,则曲线=F(x，y，z)=0在P的法向量为：= {F(P),F(P),F(P)}0x0y0z0 x,x(t),,解：设：为过向量P点且在上的任意一条曲线，则在P点的法,,00,y,y(t), ,,,,zsx,y向量为：={(t)，(t)，(t)}。又因为在上。 ,000 ?F（x(t)，y(t)，z(t)）=0两边对t求导有： ,,,zxy?(t)+ ?(t)+ F?(t)=0 FFzxy 令t=t得 0 ,,,, F(P)x(t)F(P)y(t)F(P)z(t),，,，,{F(P),F(P),F(P)},S,0,x00y00z00x0x0x0 ,n取= {F(P),F(P),F(P)}x0y0z0 ,,sn ?任一曲线的切向量都垂直于固定向量，且在同一平面上。 ,n,?为在P点法线0 ?切平面方程： F,(x,x)，F,(y,y)，F,(z,z),0x0y0z0 ,,x,xzzyy000法线：== F(P)F(P)F(P)xoz0y0 ,n，连续且不同时为0)则法向量={-，-，2.显函数的曲面：z=f(x，y)，(ffffxxyy 1}或{，，-1} ffxy ff1,,yxn注：取={-，-，}{cos,,cos,,cos,}称cos,,cos,,cos,为的方向n,,,,0nnn ,余弦。且的方向向上。即cos,,0 n0 z【例】：?(94-I)求曲面在点（1，2，0）的切平面方程。 z,e，2xy,3 222?（00-I）求曲面x+2y+3z=21在点（1，-2，2）的法线方程. ,zzn解：?令F（x，y，z）=，则=（2y，2x，）代入（1，2，1,ez,e，2xy,3 ,n0），={4，2，0}切平面：4(x-1)+2(y-2)=0，即2x+y-4=0。 ,222n{2x，4y，6z}?令F（x，y，z）=，则=={2，-8，12}x，2y，3z,21(1,,2,2)又可取n={1，-4，6}得： x,1y，2z,2法线：== 1,46 22【例】：(03-I)求曲面z=x+y与平行于x-y+2z=0的切平面方程 ,nx，y-2z解：令F（x，y，z）=，={2x，2y，-1} ,00xy22,100==x=1，y=2。 ,0 0,124 ,n? ={2,4,-1}，z=5。P(1，2，5) 00 ? 切平面方程：2x+2y-z=0 第七节 多元函数极值 . 不等1、在上学期已知：讨论一元函数极值时：极值点驻点 ,,,, 不等？ 极值点可能是导数为0的点或导数不存在的点，?极值点驻,,,, 3不等点，驻点极值点，y=x在x=0点为驻点但非极值点。 ,,,, 2、二元函数极值（推广）： ,PU（P）。都有f（P）0时（x，y）为极值点，且A<0时为极小值点，A<000 时为极大值点。 2（2） AC-B=0 方程失效 2（3） AC-B>0时 （x，y）不是极值点 00 z,sinx，cosy，cos(x，y)【例】：，00，从而（,,大值点且极大值：z（/3，/6）=3/2 3,, 二、最大值与最小值（最值） 不等我们在高等数学 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf 知道：在一元函数中最大值极大值 ,,,, [（1）当最值在区间内部取得时，一定为极大值，而在端点取得最值一定不 是极值] 二元函数：M，m的求法：先求出区域的内部的所有可能极值(驻点及所有偏 导数不存在的点)并计算函数值，最后比较这些函数值的大小，最大的为M，最 小的为m。 2【例】：（95—IV）时z=xy（4-x-y）D由x轴，y轴，x+y=6所围成，求z在 D上的最大值和最小值（M，m）。 ,z,2,2xy(4,x,y),xy,0,x,2,,x,解：（1）在D的内部： ,,,,zy,122,,xxyxy,(4,,),,0,,y,且z（2，1）=4（不该计算A，B，C） （2）在OA，OB上，有y=0或x=0， ?z=0 0,x,6（3）在线段AB上，y=6-x，且， 32代入z，则z=2x-12x， 2,?=6x—24x=0x=0（舍）或x=4， z,x ? y=2，?z（4，2）=-64 综上：M=4，m=-64。 三、条件极值——拉格朗日数乘法 f(x,y),(x,y),,f(x,y)问：设，有连续的偏导数。，不同时为0，求z=在xy ,(x,y)=0条件下的极值？ ，y）上z=在=0条件下的极值。 解：设（xf(x,y),(x,y)00 则=0，由于，不同时为0， ,(x,y),(x,y),(x,y)00x00y00 ?不妨设0 ,(x,y),y00 则由,(x.,y)=0可唯一确定y,,(x)，则z=f(x,,(x))在点x取得极值，从而 ,(xy)dzx0,0',又(x)=- ,,f(xy)，f(xy),,,00x0,0y0,0dx,(xy)xy0,00 ffyyf,,,,0,, ，令= xx,,yy f(x,y)，,,(x,y),0,x00x00则： ,fxy,,xy(,)，(,),0y00y00, 即：（x,y）必满足： 00 ,f(x,y),,，(x,y),0xx0000,, 〖注意〗：方程组中含有三个未知元x,y, f(x,y)，,,(x,y),0,yy000000 ,(,),0,xy00, ,,(x,y)若令F(x，y，z)=f(x，y)+,则 ,F,0x, F,0,y ,F,0,, ,,,【注】：1、求z=f(x，y)在条件(x，y)=0下的极值方法，令F(x，y，z)=f(x，y)+(x， y) Fx,0,,Fy 由 解得所有可能的极值点。 ,0, ,,0,,, 2、绝对不能用条件极值的判别法判别这些可能的极值点是否是极大（小）值点， 只能用实际问题的性质去判断（最大，最小值一定存在） 【例】：求表面积为2a，体积最大的长方体的体积。 解：令长，宽，高分别为x，y，z，V=xyz 则s=2a=2(xy+yz+xz)令 ,,)=xyz+(xy+yz+xz-a) F(x，y， F,yz,，(y，z),0,x,F,xz，,(x，z),0yzxzxy,,y,,,,, x=y=z ,,,,y，zx，zx，y,F,xy，(x，y),0,z, ,F,xy，yz，xz,a,0,, 3 3x?=a x=y=z=. ,a,,3 33由于最大值一定存在，从而（x,y,z）为最大值点，且最大值为：V=() a0003ex(94-?)在椭圆 x?+4y?=4上求一点，使其到直线2x+3y-6=0的距离最短。 2x，3y,61 解：设p(x，y)为椭圆上一点，则：d(x，y)=，， ,,2x，3y,6 22，3313求d在条件x?+4y?=4的最小值。问题等价与求d=(2x+3y-6)?在x?+4y?-4=0 下的最小值点。 ,取F(x，y)= (2x+3y-6)?+(x?+4y?-4)=0 ，，,,,22，3,6,2，2,0Fxyxx,,，，, F,2x，3y,6,6，8y,0y, ,22,F,x，4y,4,0,, 8583,,,,,,,,解得（xy）=,(x,y)=. ,,,,22115553,,,,