排列组合公式 排列定义 从n个不同的元素中取r个不重复的元素按次序排列称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 Pnr
表
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示。排列的个数用Pnr表示。当rn时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 PnrPnr。 组合定义 从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集而不考虑其元素的顺序称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用Cnr表示组合的个数用Cnr表示对应于可重组合 有记号CnrCnr。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一原因在于 1从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型需要较强的抽象思维能力 2限制条件有时比较隐晦需要我们对问题中的关键性词特别是逻辑关联词和量词准确理解 3计算手段简单与旧知识联系少但选择正确合理的计算
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时需要的思维量较大 4计算方案是否正确往往不可用直观方法来检验要求我们搞清概念、原理并具有较强的
分析
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能力。 二、两个基本计数原理及应用 1加法原理和分类计数法 1加法原理 2加法原理的集合形式 3分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务两类不同办法中的具体方法互不相同即分类不重完成此任务的任何一种方法都属于某一类即分类不漏 2乘法原理和分步计数法 1乘法原理 2合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务必须且只须连续完成这n步才能完成此任务各步计数相互独立只要有一步中所采取的方法不同则对应的完成此事的方法也不同 例1用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合SA9 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数等于剩余的3个数的全排列即3 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系则 SASB3 SB9/3 这就是我们用以前的方法求出的P96 例2从编号为1-9的队员中选6人组成一个队问有多少种选法 设不同选法构成的集合为C集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的集合规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集则每个子集都是某6个数的全排列即每个子集有6个元素。这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系则 SBSC6 SC9/3/6 这就是我们用以前的方法求出的C96 以上都是简单的例子似乎不用弄得这么复杂。但是集合的观念才是排列组合公式的来源也是对公式更深刻的认识。大家可能没有意识到在我们平时数物品的数 量时说12345一共有5个这时我们就是在把物品的集合与集合12345建立一一对应的关系正是因为物品数量与集合1 2345的元素个数相等所以我们才说物品共有5个。我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰从而能用它解决更复杂的问题。 例39个人坐成一圈问不同坐法有多少种 9个人排成一排不同排法有9种对应集合为前面的集合A 9个人坐成一圈的不同之处在于没有起点和终点之分。设集合D为坐成一圈的坐法的集合。以任何人为起点把圈展开成直线在集合A中都对应不同元素但在集合D中相当于同一种坐法所以集合D中每个元素对应集合A中9个元素所以SD9/9 我在另一篇帖子中说的方法是先固定一个人再排其他人结果为8。这个方法实际上是找到了一种集合A与集合D之间的对应关系。用集合的思路解决问题的关键就是寻找集合之间的对应关系使一个集合的子集与另一个集合的元素形成一一对应的关系。 例4用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数但要求1排在2前面求符合要求的九位数的个数。 集合A为9个数的全排列把集合A分为两个集合B、C集合B中1排在2前面集合C中1排在2后面。则SBSCSA 在集合B、C之间建立以下对应关系集合B中任一元素1和2位置对调形成的数字对应集合C中相同数字。则这
个对应关系为一一对应。因此SBSC9/2 以同样的思路可解出下题 从1、2、3…9这九个数中选出3个不同的数作为函数yaxxbxc的系数且要求abc问这样的函数共有多少个 例5M个球装入N个盒子的不同装法盒子按顺序排列。 这题我们已经讨论过了我再用更形象的方法说说。 假设我们把M个球用细线连成一排再用N-1把刀去砍断细线就可以把M个球按顺序分为N组。则M个球装入N个盒子的每一种装法都对应一种砍线的方法。而 砍线的方法等于M个球与N-1把刀的排列方式如两把刀排在一起就表示相应的盒子里球数为0。所以方法总数为CMN-1N-1 例67人坐成一排照像 其中甲、乙、丙三人的顺序不能改变且不相邻 则共有________排法. 解甲、乙、丙三人把其他四人分为四部分设四部分人数分别为X1X2X3X4其中X1X4》0X2X3》0 先把其余4人看作一样则不同排法为方程 X1X2X3X44的解的个数令X2Y21X3Y31 化为求X1Y2Y3X42的非负整数解的个数这与把2个球装入4个盒子的方法一一对应个数为C5310 由于其余四人是不同的人所以以上每种排法都对应4个人的全排列4所以不同排法共有C534240种。
浙公网安备 33021202002483