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矩阵可交换成立的条件与性质.doc

矩阵可交换成立的条件与性质

幸福可爱YOYO
2017-12-20 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《矩阵可交换成立的条件与性质doc》,可适用于综合领域

矩阵可交换成立的条件与性质毕业设计,论文题目矩阵可交换成立的条件与性质学院理学院专业数学与应用数学年级级班级姓名吴锦娜学号指导教师李伟职称副教授矩阵可交换成立的条件与性质摘要矩阵是高等数学中一个重要内容在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义(众所周知矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的即在通常情况下AB,BA(但是在某些特殊情况下矩阵的乘法也能满足交换律(可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用(本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用并且介绍了几类特殊的可交换矩阵(关键词矩阵可交换条件性质应用TheConditionsforTheCommutationofMatrixandItsSomePropertiesAbstractMatrix,aimportantcontentinaltitudemathematics,hasagreattheoretic,significanceintheaspectofbothmathematicsandothersciencefieldAsfaraswehaveconcerned,themultiplicationofmatrixcouldnotsatisfytheexchangeruleunderthenormalcondition,thatistosay,normally,ABBAWhereas,insomecertainconditions,themultiplicationofmatrixcouldsatisfytheexchangeruleTheexchangeablematrixhasmanyspecialpropertiesandimportanteffectionThispaperdiscussessomeconditionsofthematrixexchangeandpartofthepropertyoftheexchangeablematrix,andalsointroducesseveralkindsofspecificexchangeablematrixAllofthesearediscussedfromtheconceptofexchangeablematrixandrelativeinformationKeywordsMatrixInterchangeableConditionsPropertyApplication目录引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„矩阵可交换成立的条件„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„矩阵可交换成立的充分条件„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„矩阵可交换成立的充要条件„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„可交换矩阵的性质„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„几类常用的可交换矩阵„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„可交换矩阵的应用„结论„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„致谢语„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„引言矩阵是高等代数以及线性代数的重要内容(由矩阵的理论可知矩阵的乘法不适合矩阵的乘法不满足交换律其原因有以下几点:交换律()AB有意义时BA不一定有意义()AB与BA均有意义时阶数可能不相等ABBAAB,BA()与均有意义且阶数相等时仍可能出现(如果两个矩阵A与B满足但是在某些特殊情况下矩阵的乘法是满足交换律的AB,BAAB则称矩阵与是可交换的这样的矩阵称为可交换矩阵(可交换矩阵有许多良好的性质(本课题从可交换矩阵和各类矩阵的定义出发在指导教师的指导下分析、筛选已有的信息资料在此基础上重点分析书本已有结论成立的条件及证明技巧对可交换矩阵成立的条件做了进一步深入的探讨意图得到一些新的性质和特殊的应用(本课题对矩阵可交换成立的条件与性质这个问题的研究目的在于给出矩阵可交换成立的条件得出一些可交换矩阵的良好性质进一步促进和完善矩阵理论这对矩阵理论的研究具有重要的意义(文中的矩阵如无特别说明均指阶实方阵)(n矩阵可交换成立的条件矩阵可交换成立的充分条件ABAB,E定理设则可交换ABAB,E证明当时均可逆且互为逆矩阵,故BA,E,因此AB,BAAB即可交换(AB,,A,B,AB定理()设其中为非零实数则可交换,mAAB()设其中为正整数为非零实数则可交换αAB,EmαAB,,A,B证明()由可得,,,E,A,,EB,,E即A,,EB,,E,Eαβ故由定理得B,,EA,,E,Eαβ于是BA,,A,,B,,E,,,E,所以BA,,A,B,ABAB得证可交换(mA()由αAB,E得m,,AA,B,E故由定理得m,,A,BA,E所以mA,BA,E因此可得AB,BAAB即可交换(ABAA,ABA,BAAB,O定理()设可逆若或或则可交换A,(A,kE)BABAB()设均可逆若对任意实数均有则可交换(k证明()若由A可逆得AB,O,,B,AAB,AAB,O从而BA,O所以AB,BAA,AB若同理可得,,B,AAB,AAB,E所以AB,BAA,BA若同理可得,,B,BAA,(BA)A,E所以AB,BAAB()证法一:因为均可逆故由得A,A,kEB,AB,A,kE则T,TTT,,,,AB,A,kEBA,kEA,TTTT,,,BA,kEAA,kE,TTTTT,BAA,kAA,kE,TTTT,BAA,kEA,kETT,BAT,(AB)两边取转置可得AB,BAAB即可交换(AB法二:由均可逆可得证,,,,,,,,,AB,A,kEBA,kEA,,,,BA,kEA(A,kE),,,BA,kA(A,kE),,,,,BA,kEA(A,kE),,,BA两边取逆可得AB,BAAB即可交换(矩阵可交换成立的充要条件AB定理以下均是可交换的充要条件:TTT()AB,AB***()AB,ABTTTAB,BA证明()分别由两边取转置可证得AB,AB***AB,BA()分别由两边取伴随可证得(AB,AB,,,AB定理可逆矩阵可交换的充要条件是AB,ABAB,BA证明因为故有,,,,,,BA,AB,BA,AB,,AB即和是可交换的(,,AB反之因和可交换故有,,,,,,BA,AB,BA,AB两边求逆得到AB,BAABAB定理设均为对称矩阵则可交换的充要条件是AB为对称矩阵(ABAB,BA证明设均为对称矩阵由于则TTTAB,BA,BA,ABAB所以是对称的(反之注意到TAB,AB所以TTTAB,AB,BA,BAAB因此可交换(ABABAB定理设为对称矩阵为反对称矩阵则可交换的充要条件是为反对称矩阵TTA,AB,,BAB,BA证明设由于所以TTTAB,BA,,BA,,(AB)AB所以为反对称矩阵反之若AB为反对称矩阵则TTT,AB,AB,BA,,(BA)从而AB,BAABABAB定理设均为反对称矩阵则可交换的充要条件是为对称矩阵(TTA,,AB,,B证明因为AB均为反对称矩阵故有AB又因为可交换故有AB,BA从而TTTAB,BA,,A,B,AB,BAAB为对称矩阵则反之若TTTAB,AB,BA,,B,A,BA,ABAB所以是可交换的ABABAB定理设均为对称正定矩阵则可交换的充要条件均为对称正定矩阵(证明充分性由定理可得下面证明必要性:QABP因为均为对称正定矩阵故有可逆矩阵使得TTA,PPB,BB于是TTAB,PPQQT,TTPABP,PQPQ,PABP所以为对称正定矩阵其特征值全为正数,PABPABAB而与相似从而的特征值也全为正数AB因此为对称正定矩阵可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质(AB性质若可交换则A,B,ABA,B,A,BAB证明因为A,BAB,AAB,BA,BABA,B,A,ABBA,B由已知AB,BA可得A,B,ABA,B,A,BABAB性质若可交换则(A,B,A,ABB证明由矩阵运算法则可得AB,ABAB,AABBAB由已知AB,BA可得,AABBAB同理可得,A,ABBA,BkmmkkAB,BAAB性质若可交换则AB,ABAB,BA证明由已知可得kkkAB,ABAB?AB,AABB?AB,AB同理可得mmAB,ABB?B,BAB?B,BBB?A,BAABBAB性质若可交换则其中是的多项式即与AfB,fBAfB的多项式可交换(mkAB证明因为A与B的任意多项式与相乘展开的每一项都是与的形fAfBkmABkm式其中皆为正整数故要证这个命题只要证与可交换即可kmABAB由性质可得,若可交换与可交换从而可证得A与B的多项式可交换(mmm,m,m,AB性质若可交换则A,B,A,B(AAB?B)m,m,m,,(AAB?B)A,B证明运用数学归纳法(时由性质等式成立()当m,A,B,A,BAB()假设m,k,等式成立即有k,k,k,k,k,A,B,A,B(AAB?B)AB,BA()当时由已知有m,kkkk,k,k,k,A,B,A,BAB,ABBAk,k,k,k,k,,A,B(AAB?B)AB,ABBAkk,k,k,k,k,AAB?AB,BA,BA,?,Bk,k,,ABBA由性质有k,k,mmk,k,BA,ABAB,BAAB,BA因此上式可以转化为kk,k,k,k,kk,k,kkA,B,AAB?AB,BA,BA,?,B,ABBAkk,k,k,k,k,k,AAB?ABAB,BA,BA,?,Bk,k,k,,AA,BABA,B?BA,Bk,k,k,,(AAB?B)A,B即mmm,m,m,A,B,(AAB?B)A,B由性质可得m,m,m,m,m,m,(A,B)A,B(AAB?B),(AAB?B)即可证得mmm,m,m,A,B,A,B(AAB?B)m,m,m,,(AAB?B)A,Bmmmkkk,AB(矩阵二项式定理)若可交换则性质AB,CAB,mk,证明对用数学归纳法同性质即可证得(mAB性质设可交换则有:ABAB()若均为对合矩阵则也为对合矩阵ABABAB,AB()若均为幂等矩阵则也为幂等矩阵kkA,EB,EABAB()若均为幂幺矩阵且使则也为幂幺矩阵ABABAB()若均为幂零矩阵则均为幂零矩阵AB证明()因为都是对合矩阵故A,EB,EAB又可交换则AB,BA所以AB,ABAB,EAB故是对合矩阵(AB()因为皆为幂等矩阵故A,AB,BAB,BA当时有AB,ABAB,ABBA,ABA,AAB,ABAB故也是幂等矩阵同理可得,(AB,AB)(AB,AB)(AB,AB),ABA,ABAABB,AB,AB,BABABAB,ABA,AABABB,AB,AB,ABBAABB,AAB,ABABB,AB,AB,ABAB,AB,ABkkA,E,EAB)因为且可交换(B所以kAB,(AB)(AB)?(AB),(AA?A)(BB?B)kk,AB,EE,EAB得证是幂幺矩阵ll,kl,,O,O,O,Ol,k,()设()AABBh,min(lk)令则hhh,,OABAB令m,lk则mmkm,kk=,OAB,CABmk,证毕(,A,BABA性质若可交换且是可逆的则也可交换,AAB,BAA证明因为可逆存在故,,,AAB,ABAB,ABA,,,,BA,(ABA)A,AB,A,B即可交换(TAB性质若可交换且是正交阵则也可交换AAB证明因为AB,BAA是正交阵故TTABA,AAB,EB,BTTTTBA,ABAA,ABT得证也可交换ABaa性质形如且=的二阶上三角阵的交换阵仍是二阶上A,aa,,abbAB三角阵且=其中为任意实数则可B,i,j,abbbijij,,b交换(证明aabbabababAB=,,,,,,,ababbbaaababab=BA,,,,,,,abab又==所以aabbAB,BA几类常用的可交换矩阵定理ABAB()设至少有一个为零矩阵则可交换ABAB()设至少有一个为单位矩阵则可交换ABAB()设至少有一个为数量矩阵则可交换ABAB()设均为对角矩阵则可交换ABAB()设均为准对角矩阵则可交换**AA()设是A的伴随矩阵则与A可交换,A()设A可逆则与A可交换证明:()对任意的矩阵A均有:表示零矩阵AO,OAO()对任意的矩阵A均有:AE,EAE表示单位矩阵()对任意的矩阵A均有:为任意实数kAkE,AkE()、()显然成立**)AA,AA,AE(,,AA,AA,E()可交换矩阵的应用A例阶数量矩阵能与所有的阶矩阵可交换即对任意一个阶矩阵都有nnn(kE)A,A(kE)E其中为阶单位矩阵为一常数kn证明由矩阵的数量乘法的运算律可得(kE)A,k(EA),k(AE),A(kE)AA例如果矩阵与所有的n阶矩阵可交换则一定是数量矩阵即A,kEE其中为阶单位矩阵k为一常数njA,aE证明记用将第行第列的元素表示为而其余元素为零的innijijnn矩阵AA因为与任何的矩阵均可交换所以必与可交换Eij由定理()得AE,EAijija,所以以及i,j,?ni,jij,?nija,aiijj故是数量矩阵AABmAnBAB例若矩阵都与可交换则也都与可交换CC证明已知AC,CABC,CB那么mAnBC,mACnBC,mCAnCBABC,ABC,ACB,CABmAnBAB得证都与可交换Ci,j例()由已知设矩阵为对角矩阵其中时a,aA,diaga,a?aijnABB则可交换的充要条件是为对角矩阵ij,?ni,j()由已知设为准对角矩阵其中时a,aA,diagaE,aE?aEijrrrABB是阶单位矩阵则可交换的充要条件是为准En,nij,?n,niiii,对角矩阵(ABAB证明()若皆为对角矩阵则由定理()知可交换i,jB若与可交换时a,aA,diaga,a?aij,?nijnB,bAB,cBA,d设ijijijnnnnnnA因为为对角矩阵所以,,ij,?ncabdabijiijijjijAB,BA因为可得,ij,?ncdijij得a,ab,ijiji,ja,a而时ij,?nij故ij,?nb,ijB所以为对角矩阵()仿()不难证()(利用矩阵的可交换性我们还可以使一些矩阵的运算简化尤其是求矩阵的次幂n下面举例说明n,,,,例计算是正整数n,,,,n,,,,,,,,,,,,解设A,,,EB,,,,,,,,,,,,则,,,,,,,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,EB因为可交换所以由二项式定理可得nnnn,n,nA,EB,ECEBCEB?Bnn,EnEB,EnB,,,,,,,,,n,,,,,,,,n,,,,,,,,,nn,,,,,,即,,,,,,,,,,,n,,,,例计算是正整数n,,,,,,,,,,解设,,,,,,A,,,EB,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,,,E,,,,,,,,,,,,B,BB,EB,BB,BB,EE,EEB又,可交换所以由二项式定理可得nnnn,n,nnA,EB,CECEBCEB?CBnnnnn,n,CC?CECC?CBnnnnnnn,n,,EB,,,,n,n,,,,,,,,,,,,,,n,n,,,,,,n,n,,,,,nn,n,,,,,,,,,即,,,n,n,,,,,,,注意到以上两个例子的求解过程中都是把较复杂的矩阵变成两个矩阵的和再利用二项式定理求出最后的和这里必须指出一点在把一个矩阵变成两个矩阵合的时候这两个矩阵一定要满足可交换的条件才能运用二项式定理否则会得到错误的结果例如例如果设,,,,,,,,,,,,A,,,BD,,,,,,,,,,,,则,,,,,,nB,B,B„,,,,,,,,B,,,,,,,,,,,,,,,,,,nD,D,D„,,,,,,,,,D,,,,,,,,,,,,nnnn,n,nnA,BD,CBCBDCBD?CDnnnnn,,BCBD?CBDDnnn,,BCC?CBDDnnn,,,,,,n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,nn,,,,,,,,,即,,,,,,,,,结论本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明两方面的应用进行了总结分析在证明方面涉及了矩阵的相关问题在计算方面利用可交换矩阵这一工具我们主要解决了矩阵运算的简化问题通过本文的论述充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论所以在应用的完整性上还有待改进并可以继续进行研究探讨致谢语本文是在导师李伟副教授的细心指导下完成的导师在学业上的谆谆教诲和身体力行、在生活上的默默关心和无私帮助将使我受益终身在此谨向导师表示衷心的感谢~导师对科学事业的献身精神以及高度的敬业精神为学生们树立了良好的风范也是我今后所追求的目标“登泰山始懂尊冠五岳遇导师才知德高智睿”师恩浩瀚溢于言表!课题的顺利进行还得益于四年来各位同门的支持和帮助在此特别感谢在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助为研究工作的顺利进行奠定了基础感谢本课题组的兄弟姐妹提供的友好合作和无私帮助永远难忘在一起拼搏的日日夜夜最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意参考文献北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等代数(第三版)M北京:高等教育出版社PlemmonsRJandBerrmanANormegativeMatricesintheMathematicalJSciencesSIAMPressPhiladelhiaABBA,成立的两个充要条件与一个充分条件J工科数学:韩锦扬矩阵乘法,张斌关于矩阵可交换的研究D电子科技大学CharlesRJohnsonandMariaDaGracaMarquesPatternsofcommutativity:thecommutantofthefullpatternJLinearAlgebraanditsApplications:,陈景良陈向辉特殊矩阵M(北京:清华大学出版社曾梅兰线形变换及矩阵可交换的性质与应用J孝感学院学报():,戴立辉颜七笙刘龙章矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质J华东地质学院学报():,俞争光刘坤林谭泽光葛余博线性代数通用辅导讲义M北京:清华大学出版社李师正高等代数解题方法与技巧M北京:高等教育出版社

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