河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷
2009 —2010 学年第二学期 2008 级 信管 专业（类）
考核科目 数学模型 课程类别 必修 考核类型 考查 考核方式 开卷 卷别 A
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、（11’）填空题
（1） 1948年，美国数学家 香农 发
表
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了题为“通信的数学理论”的长篇
论文
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，从而创立了信息论。
（2） 必然事件的自信息是 0 。
（3） 离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的 N倍 。
（4） 对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为__信源符号等概分布_。
（5） 若一离散无记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进行等长的无失真二进制编码，则编码长度至少为 3 。
（6） 对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是 香农编码 。
（7） 已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，最多能纠正___1__个码元错误。
（8） 设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__小于___C（大于、小于或者等于），
则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。
（9） 平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码方法___有关
二、（9）判断题
（1） 信息就是一种消息。 （ ）
（2） 信息论研究的主要问题是在通信系统
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
中如何实现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。 （ ）
（3） 概率大的事件自信息量大。 （ ）
（4） 互信息量可正、可负亦可为零。 （ ）
（5） 信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。
（ ）
（6） 对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。 （ ）
（7） 非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。 （ ）
（8） 信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。
（ ）
（9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数. ( )
3、（5）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。
假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则
P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （2分）
故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分）
I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）
四、（5）证明：平均互信息量同信息熵之间满足
I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)
证明：
（2分）
同理
（1分）
则
因为
（1分）
故
即
（1分）
五、（18’）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：
1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵
；
2） 假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为
，
，
，
，求其熵
。
3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。
解：1）信源模型为 （1分）
（2分）
2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。 （2分）
由
（4分）
得极限状态概率
（2分）
（3分）
3）
（1分）
（1分）
。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分）
六、（18’）.信源空间为
，试分别构造二元香农码和二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。
七（6’）.设有一离散信道，其信道传递矩阵为
，并设
，试分别按最大后验概率准则与最大似然译码准则确定译码规则，
并计算相应的平均错误概率。
1）（3分）最小似然译码准则下，有，
2）（3分）最大后验概率准则下，有，
八（10）.二元对称信道如图。
1）若
，
，求
、
和
；
2）求该信道的信道容量。
解：1）共6分
2）， （3分）此时输入概率分布为等概率分布。（1分）
九、（18）设一线性分组码具有一致监督矩阵
1）求此分组码n=?,k=?共有多少码字？
2）求此分组码的生成矩阵G。
3）写出此分组码的所有码字。
4）若接收到码字（101001），求出伴随式并给出翻译结果。
解：1）n=6,k=3,共有8个码字。（3分）
2）设码字
由
得
（3分）
令监督位为
，则有
（3分）
生成矩阵为
（2分）
3）所有码字为000000，001101，010011，011110，100110，101011，110101，111000。（4分）
4）由
得
，（2分）该码字在第5位发生错误，（101001）纠正为（101011），即译码为（101001）（1分）
浙公网安备 33021202002483