2010年高考数学题分类汇编(4)数列
1
4:
:
1．设｛a｝是等比数列，则“a＜a＜a”是数列｛a｝是递n123n
增数列的
（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若已知a
0，解得且，所以数列是递增数列；反之，若数列是递增q>1,aa,,,,1111nn
2数列，则公比a0a1a,,1111123123n
是递增数列的充分必要条件。
【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。 2． aaaa已知各项均为正数的等比数列{}，=5，n123aaaaaa=10，则= 789456
5242 (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A
3【解析】aaaaaaa,,,()5由等比数列的性质知，1231322
133aa,50aaaaaaa,,,()10,所以, 287897988
13336所以 aaaaaaaaa,,,,,()()(50)52456465528
【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，
着重考查了转化与化归的数学思想.
3设等差数列Sa,,11aa，,,6的前n项和为,若,,a,,n146n
则当S取最小值时,n等于 n
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】A
【解析】设该数列的公差为aaadd，,，,，,，,,282(11)86，则，解得， dd,2461
nn(1),22所以S，所以当时，取最小值。 Snnnn,,，，,,,,,11212(6)36n,6nn2
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的
求法及计算能力。
4．设n是任意等比数列，它的前项和，前项和与前2n3na,,n
2
项和分别为XYZ,,，则下列等式中恒成立的是
A、 B、 YYXZZX,,,XZY，,2，，，，
2C、 D、 YXZ,YYXXZX,,,，，，，
4.D
【分析】取等比数列,令得XYZ,,,1,3,7代入验算，只有选项D满足。 1,2,4n,1
【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若
能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续
排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.
5.已知{aSa}是首项为1的等比数列，是{}的前n项和，nnn
,,1且9SS,。则数列的前5项和为 ,,36a,,n
15313115 （A）或5 （B）或5 （C） （D） 816168【答案】C
【解析】设等比数列的公比为a,199327S,，,，则当公比q,1时，由得，，而 q13S,69SS,，两者不相等，故不合题意；当公比q,1时，由及首项为1得： 636
36,,1,q1,q11111319，,，解得，所以数列的前5项和为=，选q,21，，，，,,1,q1,q16a24816,,n
C。
【命题意图】本小考查等比数列的前n项和公式等基础知识，考查同学们分类讨论的数学思
想以及计算能力。
6已知{}aaaa,,2为等比数列，S是它的前n项和。若， nn231
5且aaS与2的等差中项为，则= 4754
A．35 B.33 C.31 D.29
【答案】C
【解析】设{aaaaaa,,,,2a,2}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。qn231414
55由aa与2的等差中项为知，aa，,，22，即474744
15151aa,，,,，,,(2)(22)． 7424244
3
a111337q,,q,a,16 ?，即．，即． aaqa,,，,21411a8284
7已知数列na,0S的首项，其前项的和为，且a,,1nn
anSSa,，2lim,，则 nn，11n,,Sn
1（A）0 （B） （C） 1 （D）2 2
解析：由SSa,，2SSa,，2,且 nn，11nn，，211
作差得a＝2a ＋＋n2n1
又S＝2S＋a，即a＋a＝2a＋a , a＝2a 211211121
故{a}是公比为2的等比数列 n－2n1nS＝a＋2a＋2a＋„„＋2a＝(2－1)a n11111
n,1a2a1n1则 limlim,,nnn,,,,Sa(21)2,n1
答案：B
8对于数列｛a ｝，“a +1＞?a ?（n=1，2„）”是“｛a ｝nnnn
为递增数列”的【B】
(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】当,,a,aa时，?，?，?为递增数列.a,a(n,1,2,？)a,a，n1nnn，1nnn
当,,a为递增数列时，若该数列为,2,0,1，则由不成立，即知：a,an21
不一定成立. a,a(n,1,2,？)n，1n
故综上知，“,,a”是“为递增数列”的充分不必要条件.故选. a,a(n,1,2,？)Bnn，1n
9在等比数列a,1aaaaaa,中，，公比.若，aq,1,,1m12345n
则m=
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12 【答案】C
m,1525【解析】由m,110aqaaq,,()aaaaaa,a,1qq,得，又，所以，解得 131m123451
4
m=11，故选C。
10等比数列{}aa,2a,4中，，，函数n18
,fxxxaxaxa()()()(),,,,，则 f(0),128
6912A． B． C． 222
15 D． 2
【答案】C
11设S为等比数列{a}的前n项和，8a+ a=0, 则S/S= n n2552
（A）11 （B）5 （C）-8 （D）-11
【答案】D
12．设{aS}是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知nn
aS,7S,a=1, ,则 2435
17153133（A） (B) (C) (D) 2244
【答案】B
13(201024如果等差数列
aaa，，,12中，，那么a,,345naaa，，，,... 127
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
7()aa，17【解析】aaaaaaaaa，，,,,？，，，,,,312,4,728 3454412742
13在等比数列{}aaa,8中，，则公比q的值为 n20102007
（A） 2 （B） 3 （C） 4 （D） 8 【答案】A
5
a32010,q,8解析： 。 ？q,2a2007
1．在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该q=4a,,n数列的通项公式a, . n
n-1【答案】 4
n-1【解析】由题意知aaa，，,41621a,1a,，解得，所以通项。 41111n【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。
,2.若数列m满足：对任意的nN,，只有有限个正整数a,,n
,,m()aan＜使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列()a,,nmn
,,是1,2,3,…，n…，则数列是0,1,2,1,…，n,…．已知对任意的n,N，()aa,,,,nn
2,,,()a,an,(())a,，则 ， ． n5n
2【答案】2，n
2,【解析】因为()a,an,a,5，而，所以m=1,2,所以2. n5m
,因为 ()0,a,1
,,, ()1,()1,()1,aaa,,,234 ,,,,, ()2,()2,()2,()2,()2,aaaaa,,,,,56789
,,,,,,, ()3,()3,()3,()3,()3,()3,()3,aaaaaaa,,,,,,,10111213141516
,,,,,,,,所以(())a(())a(())a(())a＝1, ＝4，＝9，＝16， 1234
,,2猜想(())an, n
【命题意图】本题以数列为背景，通过新定义考察学生的自学能力、创新能力、探究能力，
属难题。
223．函数y=x(x>0)的图像在点(a,a)处的切线与x轴交点的横kk坐标为a,k为正整数，a=16，则a+a+a=____?_____ k+11135
【答案】21
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
6
a2k2yaaxa,,,2(),在点(a,a)处的切线方程为：当时，解得， y,0x,kkkkk2
ak所以。 aaaa,，，,，，,,164121，1135k2
112nn4．设n? 2，n，（2 x+）－（3x+）= a+ a x+„,N0123
111n+TTT,将??（0??）的最小值记为，则T=0，=－，T=0，= a xaknnn351243352321T－，„，„ n53
其T=_______. n
0,,,【答案】 11,,,,nn23,
n设a,d为实数，首项为a，公差为d的等差数列{a }的前n11
项和为S,满足SS+15=0,则d的取值范围是 。 n56
【答案】d,,22d,22或
an6．已知数列aaan,,,33,2,满足则的最小值a,,11nn，nn
为__________.
21【答案】 2
1．（本小题满分12分）
7
a,7aa，,26S已知等差数列满足：，，的前n项和为． aa,,,,357nnn（?）求aS及； nn
1*T,（?）令b=(nN)，求数列的前n项和． b,,nnn21a,n
【解析】（?）设等差数列a,7aa，,26的公差为d，因为，，所以有 a,,357n
ad，,27,1ad,,3,2，解得， ,121026ad，,,1
n(n-1)2所以an,，,321)=2n+1（S；==。 3n+2，n+2nnn2
1111111（?）由（?）知,=a,2n+1，所以b===， ,(-)nn221（2n+1)1,4n(n+1)a,4nn+1n
n11111111所以T==， ,,(1-+++-),(1-)=n4(n+1)4223nn+14n+1
n即数列T的前n项和=。 b,,nn4(n+1)
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 2. （22）（本小题满分14分） 在数列a,0aaa,,中，，且对任意，成等差数列，其公差kN,*kN,a,,121221kkk,，n
为d。 k
(?)若daaa,,=2k，
证明
住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问
成等比数列（）； kN,*k21222kkk,，
(?)若对任意aaa,,q，成等比数列，其公比为. kN,*21222kkk,，k
,,1 （i）设,q1.证明是等差数列； ,,11q,k,,
23kn (ii)若a,2，证明 22(2)nn,,,,2,2a,k2k
【命题意图】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、
数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨
论的思想方法。
*【解析】（?）证明：由题设，可得aakkN,,,4,。 2121kk，,
8
所以 aaaaaaaa,,,，,，，,()()...()1312121212123kkkkk，，,,,
= 44(1)...41kk，,，，，
=2k(k+1)
22由a=0，得akkaakkak,，,,,,，2(1),22,2(1).从而 12122122kkkk，，，
aaaakk，，1121222221kkkk，，，，于是,,,,,所以。 akakaa221212kkkk，，
*所以dkkNaaa,,2,,,时，对任意成等比数列。 k22122kkk，，
（?）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成aaa,,aaa,,2k2121kk,，22122kkk，，
aa2121kk,，1等比数列，得2,2aaaq,，,，,， k22121kkk,，aaq221kkk,
*当qq,?1时，可知?1，kN 1k
11111从而 ,,，,,,1,1(2)即kqqqq,,111kkkk,,,,111121,,qk,1
,,,,1所以是等差数列，公差为1。 ,,q,1,,k,,
41（?）证明：a,0a,2a,4，，可得，从而=1.由（?）有 q,,2,1231q,121
*k，11,，,,,,11,,kkqkN得 kqkk,1
2aaa（）*22211221kkkkk，，，，，所以 ,,,,,,从而kN2aakak2122kkk，
因此，
222aaa(1)2kk,2*2221kkk,，4aakaakkkN,,,,,，,...........22..2(1),2222k2212kk，(1)(2)1aaakkk,,22242kk,,
以下分两种情况进行讨论：
*（1） 当n为偶数时，设n=2m(mN,)
9
2nk若m=1,则. n22,,,ak,2k
若m?2，则
2222nmmm,1kkkk(2)(21)4，+ ,，,,,,,2aaak2kkkk,,,,2111kkk221，
22111mmm,,,，，441441111kkkk，，，，，,,,，，,，，,222mm,,,,,,,,,111kkk,,,2(1)2(1)2(1)21kkkkkkkk，，，，,,，，，，
1131,，,，,,,,22(1)(1)2mmn22.mn
22nnkk313所以 2,22,4,6,8...nnn,,，,,,,从而,,ana22kk,,22kk
*(2)当n为奇数时，设n=2m+1（mN,）
2222nm2kkmm(21)31(21)，， ,，,,,，4m,,aaammm222(1)，,,kk22，kkm21
1131,，,,,,42mn22(1)21mn，，
22nnk313k所以从而??? 2,n22,3,5,7nn,,，,,,,,,an212a，k,2k,2kk
2n3k,综合（1）（2）可知，对任意nN,,,有 22nn,2,,,,2ak,2k证法二：（i）证明：由题设，可得daaqaaaq,,,,,,(1), kkkkkkkk212222，
2daaqaqaaqq,,,,,,(1),dqd,所以12221222kkkkkkkkkk，，，kkk，1
aadddq，,1232211kkkkkk，，，，q,,,，,，,，111 k，12aaqaqaq222222kkkkkkk，，
q111k由1q,1qkN,,1,*,,,,可知。可得， 1kqqqq1111,,,,kkkk，1
,,1所以是等差数列，公差为1。 ,,1q,k,,
（ii）证明：因为aa,,0,2,daa,,,2所以。 12121
10
,,11a3,1aad,，,4q,,2所以，从而，。于是，由（i）可知所以是1,,321q,1a1q,21k,,
1k，1公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。 q,11，,,kk，，k1q,kk
dk，1k，1从而,,q。 kdkk
ddddkk,12kkk,12所以d,2,,,................k，由，可得 1ddddkk,,1211121kk,,
dk,2。 k
2于是，由（i）可知 akkakkN,，,,21,2,*，，212kk，
以下同证法一。
3. (本小题满分13分)
3121，，，，，，1aann，1已知数列,满足: , , ；数列满,,,,,aaaba1nnn，,101nn，，11,,2nn，1aa
22足：aa =-（n?1）. n1n，bn
(?)求数列，的通项公式; ,,,,bann
(?)证明:数列中的任意三项不可能成等差数列. ,,bn
11
4.
12
aa,使数列｛｝是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，（?）是否存在 n
请说明理由。
'2222【解析】易知fxxanxnaxaxn()(3)3(3)(),,，，,,, nnnn
'2令fxxaxn()0, 3),得＝，＝ nn
2 (1)若3,an, n
'当时，，单调递增；xafxfx,,3()0() nnn
2'当时，单调递减；3,()0()axnfxfx,,, nnn
2'当时，单调递增；xnfxfx,,,()0() nn
2故xn＝时取得极小值。,fx()在 n
2（2）若仿（）可得，在取得极小值。3,1()3anfxxa,, nnn
2'（3）若＝，无极值。3,()0()anfxfx, nnn
13
5.（本小题满分12分）
设数列aaa,,,,中的每一项都不为0。 12n
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有 n,Na,,n
111n。 ，，，,aaaaaaaa1223111nnn，，
14
6. （22） (本小题满分12分)
．．．．．．．
15
．．
11,aac,,,已知数列中， . a,,11n，nan
51（?）设,cb,,，求数列的通项公式； b,,nn22a,n
（?）求使不等式caa,,3成立的的取值范围 . nn，1
【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础
知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透
了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查. 【解析】
（?）
aacaac,,,,,1,1,2.由得 1221
用数学归纳法证明：当aa,时. c,2nn，1
1（?）当aca,,,时，，命题成立； n,121a1
16
7．（本小题满分12分）
*已知数列{a}满足a＝0，a＝2，且对任意m、n?N都有 n122a＋a＝2a＋2(m－n) －－＋－2m12n1mn1
（?）求a，a； 35*（?）设b＝a－a(n?N)，证明：{b}是等差数列； ＋－n2n12n1n－*n1（?）设c＝(a－a)q(q?0，n?N)，求数列{c}的前n项和S. nn+1nnn
17
8．（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列,,aS2a,a，a的前n项和为，已知，数列是公差为,,Sdnn213n的等差数列。
（1）求数列,,a的通项公式（用n,d表示）； n
（2）设cS，S,cS为实数，对满足的任意正整数m,n,k，不等式m，n,3k且m,nmnk
9c都成立。求证：的最大值为。 2
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分
析及论证的能力。满分16分。
（1）由题意知：， SSndand,，,,，,(1)(1)d,0n11
18
222233()aaaaSSSS,，,,,,,， 3[()](2),adaad，,,，21323213111
22化简，得： aaddadad,,，,,,20,,1111
22， SdndndSnd,，,,,(1),nn
22222当aSSndndnd,,,,,,,(1)(21)时，，适合情形。 n,2n,11nnn,
2故所求and,,(21) n
（2）（方法一）
22mn，222222222c,SScSmdndckdmnck，,,，,,,，,,， 恒成立。 2mnkk
22mn，92222 又2()()9mnmnk，,，,,,，， m，n,3k且m,n2k2
99故c，即的最大值为。 c,22
22（方法二）由Snd,及，得，。 ad,Sand,，,(1)d,0n1n1
于是，对满足题设的m,n,k，，有 mn,
2()99mn，222222SSmndddkS，,，,,,()。 mnk222
9所以c的最大值c,。 max2
933另一方面，任取实数m,n,ka,。设为偶数，令mknk,，,,1,1，则符合条件，k222
33122222222且SSmnddkkdk，,，,，，,,，()[(1)(1)](94)。 mn222
212222于是，只要k,942kak，,，即当时，SSdakaS，,,,。 2mnk29a,2
99所以满足条件的c,，从而c,。 max22
9因此c的最大值为。 2
9.（本小题满分12分）
21n,设数列aaa,,,2,32满足 a,,11nn，n
（1） 求数列的通项公式； a,,n
19
bna,S（2） 令，求数列的前n项和 nnn
（17）解：
（?）由已知，当n?1时，
aaaaaaaa,,，,，，,，[()()()] nnnnn，，,111211
2123nn,,,，，，，3(222)2
2(1)1n，,。 ,2
a,2,而 1
21n,a,2a所以数列{}的通项公式为。 nn
21n,bnan,,,2（?）由知 nn
3521n,Sn,,，,，,，，,1222322 ? n
从而
235721n，21222322,,,，,，,，，,Sn ? n
?-?得
2352121nn,，(12)22222,,,，，，，,,Sn 。 n
121n，即 Sn,,，[(31)22] n9
10．(本小题满分12分) 已知是公差不为零的等差数列, 成等比数列.
求数列的通项; 求数列的前n项和 解由题设知公差
由成等比数列得 解得(舍去)
故的通项
,
由等比数列前n项和公式得
（本小题满分14分）
20
证明以下命题：
222（1）对任一正整数aabc,,，都存在正整数，使得成等差数列； bcbc,(),
222（2）存在无穷多个互不相似的三角形abc,,,abc,,,其边长为正整数且成等差nnnnnnn数列.
22．（本小题满分14分）
222222证明：（1）易知aaa,(5),(7)1,5,7成等差数列，故也成等差数列，
222所以对任一正整数aabc,,，都存在正整数，使得成等差数列． bacabc,,,5,7,()
2222222（2）若abc,,bacb,,,成等差数列，则有， nnnnnnn
即
()()()()babacbcb,，,,， „„ nnnnnnnn
?
2选取关于n4(1)nn,的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于
2224(1)(22)(22)(22)(22)nnnnnnnn,,,，,，,
22,,abnncbnn，,,，,，2222,,nnnn因此令 ,，可得,,bancbn,,，,,,2222nnnn,,,,
2,ann,,,21n,2bnn,，,1(4) „„ ? ,n2,cnn,，,21n,
222易验证abc,,abc,,满足?，因此成等差数列， nnnnnn
2当abcnn，,,,，,410abc,,时，有且 n,4nnnnnn
因此abc,,为边可以构成三角形． nnn
其次，任取正整数,,(,4,)mnmn,,且，假若三角形与相似，则有： mn,mn
222mmmmm,,，，,21121,,，据比例性质有： 222nnnnn,,，，,21121
2222mmmmmmm，，,，,,，,121(21)(1)1,,,2222nnnnnnn，，,，,,，,121(21)(1)1
2222mmmmmmm，,,,,,，，121(21)(1)1,,, 2222nnnnnnn，,,,,,，，121(21)(1)1
21
mm，,11mn,所以，由此可得，与假设矛盾， ,mn,nn，,11
即任两个三角形,,与互不相似， (,4,)mnmn,,mn
222所以存在无穷多个互不相似的三角形abc,,,abc,,,其边长为正整数且成等差数nnnnnnn列．
12．(2010218（本小题满分12分）
2n已知数列nSnn,，()3的前项和． a,,nn
an（?）求lim； n,,Sn
aaann12（?）证明：． ，，，…＞322212n
sn(1),,1【命题意图】本试题主要考查数列基本公式a,的运用，数列极限和数列,nssn,,(2),,nn1不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】
22
【点评】2010年高考数学全国I这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不
等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本
方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、
数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.
13. (本小题满分12分，(?)小问5分，(?)小问7分．)
在数列n，1*acacnnN,，，,(21),(){}aa,1中，，其中实数． c,0nn，1n1
(?) 求{}a的通项公式； n
*(?) 若对一切aa,kN,有，求c的取值范围． 221kk,
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14．
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