第十四讲 对数与对数运算(三)

第十四讲  对数与对数运算（三） 【教学目标】 （一） 教学 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 1． 了解对数的换底公式及其推导；2．能应用对数换底公式进行化简、求值、证明； 3．运用对数的知识解决实际问题。 （二） 能力训练要求 会用 ， 等变形公式进行化简． 【教学重点】对数换底公式的应用． 【教学难点】对数换底公式的证明及应用．对数知识的运用。 【学习探究】 一，复习引入： 对数的运算法则 如果 a＞0，a 1，M＞0， N＞0  有： 二、新授内容： 1.对数换底公式：   ( a＞0 ,a 1 ，m＞0 ,m 1,N＞0)． 证明：设 N = x , 则 = N． 两边取以m 为底的对数： 从而得：   ∴ ． 2.两个常用的推论: ① ，  ． ② （a,b＞0且均不为1）． 证：① ； ② ． 三、【典型例题】 例1 (1)设3x＝4y＝36，求 ＋ 的值 (1)由已知分别求出x和y. ∵3x＝36,4y＝36， ∴x＝log336，y＝log436， 由换底公式得： x＝ ＝ ，y＝ ＝ ， ∴ ＝log363， ＝log364， ∴ ＋ ＝2log363＋log364 （2） ∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. ∴log3645＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 练 1. 已知 ， ,  用 a, b 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 ． 解：因为 3 = a，则   , 又∵ 7 = b, ∴ . 例2　计算： (1)log535－2log5 ＋log57－log51.8； (2)2(lg )2＋lg ·lg5＋ ； (3) ； (4)(lg5)2＋lg2·lg50. 变式迁移2　求下列各式的值： (1)log535＋2log －log5 －log514； (2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64. 解　(1)原式 ＝log5(5×7)－2log22 ＋log5(52×2)－log5(2×7) ＝1＋log57－1＋2＋log52－log52－log57＝2. (2)原式＝[log 2＋log62·log6(3×6)]÷log622 ＝log62(log62＋log63＋1)÷(2log62)＝1. 例3．设 ，求m的值． 解：∵ ，    ∴ ，即m＝9． 例4．计算：① ,        ② ． 解：①原式 = ． ②∵ ， ，  ∴原式＝ ． 例5．P67例6 生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占76.7%， 试推算马王堆古墓的年代. 例6．已知 x= ，求x． 分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将 c移到等式左端，或者将b变为对数形式． 解法一： 由对数定义可知： ． 解法二： 由已知移项可得   ，即 ． 由对数定义知：   ． 解法三：     ． . 练习：教材P68第4题 三、课堂小结  换底公式及其推论 1．对于同底的对数的化简常用方法是： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值． 【课堂练习】 已知log1227＝a，求log616的值． 【课堂跟踪】 一、选择题 1．lg8＋3lg5的值为(  ) A．－3  B．－1  C．1  D．3 答案　D 解析　lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36等于(  ) A.   B. C.   D. 答案　B 解析　log36＝ ＝ ＝ . 3．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 2的值等于(  ) A．2  B.   C．4  D. 答案　A 解析　由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝ ， ∴ 2＝(lga－lgb)2 ＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb ＝22－4× ＝2. 4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则 － 等于(  ) A.   B．3  C．－   D．－3 答案　A 解析　由指数式转化为对数式： x＝log2.51 000，y＝log0.251 000， 则 － ＝log1 0002.5－log1 0000.25＝log1 00010＝ . 5．设函数f(x)＝logax (a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 005)＝8，则f(x )＋f(x )＋…＋f(x )的值等于(  ) A．4  B．8  C．16  D．2loga8 答案　C 解析　因为f(x)＝logax，f(x1x2…x2 005)＝8， 所以f(x )＋f(x )＋…＋f(x ) ＝logax ＋logax ＋…＋logax ＝2loga|x1|＋2loga|x2|＋…＋2loga|x2 005| ＝2loga|x1x2…x2 005| ＝2f(x1x2…x2 005)＝2×8＝16. 二、填空题 6．设lg2＝a，lg3＝b，那么lg ＝__________. 答案　 解析　lg ＝ lg1.8＝ lg ＝ lg ＝ (lg2＋lg9－1)＝ (a＋2b－1)． 7．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为____． 答案　1 解析　logabcx＝ ＝ ∵logax＝2，logbx＝3，logcx＝6 ∴logxa＝ ，logxb＝ ，logxc＝ ， ∴logabcx＝ ＝ ＝1. 8．已知log63＝0.613 1，log6x＝0.386 9，则x＝________. 答案　2 解析　由log63＋log6x＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log6(3x)＝1.故3x＝6，x＝2. 三、解答题 9．求下列各式的值： (1) lg － lg ＋lg ； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2. 解　(1)方法一　原式＝ (5lg2－2lg7)－ · lg2 ＋ (2lg7＋lg5) ＝ lg2－lg7－2lg2＋lg7＋ lg5 ＝ lg2＋ lg5＝ (lg2＋lg5) ＝ lg10＝ . 方法二　原式＝lg －lg4＋lg7 ＝lg ＝lg( · )＝lg ＝ . (2)方法一　原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10·lg ＋lg4＝lg ＝lg10＝1. 方法二　原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg22 ＝1－2lg2＋lg22＋2lg2－lg22＝1. 10．若26a＝33b＝62c，求证： ＋ ＝ . 证明　设26a＝33b＝62c＝k (k>0)，那么 ∴ ∴ ＋ ＝6·logk2＋2×3logk3 ＝logk(26×36)＝6logk6＝3×2logk6＝ ， 即 ＋ ＝ .