高职高等数学-Ch2导数与微分

第二章    导数与微分 §2-1    导数的概念 一、引例 1．变速直线运动的速度 问题：设某一物体作非匀速运动 时刻 物体的坐标为 ， 与 的函数关系为 ，求物体在时刻 的速度 分析：物体在时间间隔 内的平均速度为 如果 较短，这个比值在实践中也可用来说明物体在 时刻的速度，但这样做是不精确的，更准确地应当令 取比值 的极限，即   这时就把这个极限值v称为物体在 时刻的速度。 2．曲线的切线问题 设在曲线 上有一点M及点M外另一点N，作割线MN。当点N沿曲线移动而趋近于点M时，如果割线MN趋于极限位置MT，直线MT就称为曲线在点M处的切线。 割线MN的斜率为 ，其中 为割线MN的倾角。当点N沿曲线趋于点M时，即 时，上式的极限存在，则 存在，则此极限是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。 二、导数的概念 1．函数在某点处的导数 定义：设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量取得增量 时，相应地因变量y取得增量 ，如果 存在，则称函数在点 处可导，并称这个极限为函数在点 处的导数，记为 或 ，即 如果极限 不存在，就说函数在点 处不可导。不可导的原因是由于 ，也往往说函数在点 处的导数为无穷大。 2.导函数 定义：如果函数 在开区间 内的每点处都可导，则称函数 在开区间 内可导，对于任一 都有确定的导数值与之对应，这样就构成了一个新的函数，此函数称为原来函数 的导函数，记作 ， ， 或 。 3. 与 之间的关系 函数 在点 处的导数 就是导函数 在点 处的函数值，即 4.可导的充要条件 在 的左导数： 在 的右导数: 可导的充要条件： 三、导数公式 求导数的步骤：1.求 2.求 3.求 例1：求 （C为常数）的导数 解： 即 例2：求 (n为正整数)的导数 解： 即 例3：求 的导数 解： 即 ，同理可得 例4：求 的导数 解： 即 ，也可推得 例5：求 的导数 解： 即 ，特殊情况 四、函数的可导性与连续性的关系 定理：若函数 在点 处可导，则它在点 处一定连续。 例：求 在 处的导数 解： 由于 ，则函数在 不可导 注：一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。 §2-2    函数的求导法则 如果函数 及 在点 处可导，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点 具有导数，且 例1： 求 解： 例2： ，求 解： 即 ，同理可得 例3： ，求 解： 即 ，同理可得 §2-3    导数运算 一、反函数的导数 定理：设函数 在 处有不等于零的导数 ，且反函数 在相应点处连续，则反函数的导数 存在，且 或 例： ，求 解： 为反函数 即 ，同理可得 例2： ，求 解： 为反函数 即 ，同理可得 二、复合函数的求导法则 定理：如果函数 在点 可导， 在点 可导，则复合函数 在点 可导，且其导数为 或 例1： ，求 解：函数 可看作是由 和 复合而成的，因此 例2： ，求 解：函数 是由 和 复合而成的，因此 注：复合函数的导数熟练后，可不必写出复合结构 例3： ，求 解： 例4： ，求 解： 注：复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情况，设 ，则 例5： ，求 解： 例6： ，求 解： 注：复合函数组合成的函数，求导时应先用四则运算法则，后用复合函数求导法则。 例7： ，求 解： 例8： ，求 解： 注：复合函数中包含抽象函数，求导时仍逐层求导，将其看成其中的层即可。 三、隐函数的导数 1.隐函数求导法 显函数：形如 的函数称为显函数。例如： 隐函数：由方程 所确定的函数称为隐函数。例如： 隐函数的显化：把一个隐函数化成显函数。 隐函数的显化有时是有困难的 甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数。因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。 隐函数求导法：求 的导数，一般将方程两边同时对自变量 求导数，遇到 时就将其看成关于 的函数，利用复合函数求导法则求导，最后从所得关系式中解处 例1：求由方程 所确定的隐函数的导数 解：方程两边对 求导： ，则 例2：求由方程 所确定的隐函数的导数 解：方程两边分别对 求导： 则 例3：求椭圆 在 处的切线方程 解：把椭圆方程的两边分别对 求导： 则 切线的斜率： 所求的切线方程： ，即 2.对数求导法 方法：先在 的两边取对数，然后再求出y的导数。 使用范围：适用于求幂指函数 的导数及多因子之积和商的导数 例1：求 的导数 解：两边取对数： 上式两边对 求导： 则 例2：求函数 的导数 解：先在两边取对数： 上式两边对 求导： 则 四、由参数方程所确定的函数的导数 设y与x的函数关系是由参数方程 确定的，则称此函数关系所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达的函数为由参数方程所确定的函数。 方法：设 为 的反函数，原参数方程可看做 的复合函数，则 例1：函数由参数方程 确定，求 解： 例2：计算由摆线的参数方程 所确定的函数的导数 解： 五、高阶导数 一般地，函数 的导数 仍然是 的函数，我们把 的导数称为函数 的二阶导数，记作 ， 或 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数；三阶导数的导数叫做四阶导数。一般地，(n1)阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作 ， ， 或 ， ， 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 例1： ，求 解： ， ， ， 例2： ，求 解： ， ， ， 例3： ，求 解： 同理可得： 例4： ，求 解： ， ， ， §2-4    微分 一、微分的概念 引例：一个正方形其边长由 变到 ，问其面积改变了多少？ 解：设此正方形的面积为 ，显然 面积的改变量为 当 时， 是 高阶的无穷小，即 ，则 由于 ，则 定义：设 在点 处有导数 ，则称 为 在点 处的微分，记作 或 ，即 ，此时称 在点 处可微。 特别地，对于函数 ，有 ，即自变量的微分就是它的增量，则 ，进一步有 ，则导数也是函数的微分与自变量微分之商，即导数的微商。 二、微分的几何意义 当 是曲线 上的点的纵坐标的增量时， 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量，当 时， 近似等于 ，即微分 表示曲线在一点处切线纵坐标的该变量。 三、微分的运算 1．基本初等函数的微分公式 ， ， ， ， ， ， ， 2．运算法则 例： ，求 解： 3．复合函数的微分法则 设 ， 都可微，则复合函数 可微， 且 由此可见，无论 是自变量还是中间变量，微分形式保持不变。这一性质称为微分形式不变性。 例1： ，求 解： 例2： ，求 解： 四、微分的应用 如果函数 在点 处的导数 ，且 时，有 由于 ，则 例1：计算 的近似值 解：设 ， 由公式可得： 例2：有一个半径为1cm的球，要在其表面镀上一层厚度为0 01cm铜，试估算一下需用多少克铜(铜的密度是8. 9g/cm 3)？ 解：已知球体体积为 ， 镀层的体积为 则需用的铜约为 2．误差估计 绝对误差与相对误差：如果某个量的精确值为A，它的近似值为a，那么|Aa|叫做a的绝对误差，而绝对误差|Aa|与|a|的比值 叫做a的相对误差。