高考复数知识点学生复数
复 数
1(复数的概念:
,1,虚数单位i,
,2,复数的代数形式z=a+bi～(a, b?R),
,3,复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2(复数集
,,,整 数有 理 数,,,实数(0)b,分 数,,,
,,复 数abiabR，,(,)无理数(无限不循环小数),,
,,纯 虚 数(0)a,,虚 数(0)b, ,,3非 纯 虚 数(0)a,(复数a+bi(a, b?R)由两部分组成～实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部～1与i,,
分别是实数单位和虚数单位～当b=0时～a+bi就是实数～当b?0时～a+bi是虚数～其中a=0
且b?0时称为纯虚数。
应特别注意～a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件～若a=b=0～则a+bi=0是实数。
4(复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i～z2=a2+b2i～
,1,加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i,
2,减法:z1,z2=(a1,a2)+(b1,b2)i, ,
,3,乘法:z1〃z2=(a1a2,b1b2)+(a1b2+a2b1)i,
zaabbababi()()，，,112122112,22zab，222,4,除法:,
,5,四则运算的交换率、结合率,分配率都适合于复数的情况。 ,6,特殊复数的运算:
n2i? (n为整数)的周期性运算, ?(1?i) =?2i,
13
22? 若ω=-+i～则ω3=1～1+ω+ω2=0.
5(共轭复数与复数的模
zabi,,zz，zz,,1,若z=a+bi～则～为实数～为纯虚数(b?0).
22222zzz,,||ab，2,复数z=a+bi的模|Z|=,, 且=a+b. 6.根据两个复数相等的定义～设a, b, c, d?R～两个复数a+bi和c+di相等规定为
ac,a,0,,,,,b,0bd,,,,a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0. 两个复数不能比较大小～只能由定义判断它们相等或不相等。 4(复数a+bi的共轭复数是a,bi～若两复数是共轭复数～则它们所表示的点关于实轴对称。
若b=0～则实数a与实数a共轭～表示点落在实轴上。
25(复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别～最主要的是在运算中将i=
,1结合到实际运算过程中去。 22如(a+bi)(a,bi)= a+b
6(复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi?0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。
由于两个共轭复数的积是实数～因此复数的除法可以通过将分母实化得到～即abiabicdiacbdbcadi，，,，，,()()(),,22cdicdicdicd，，,，()().
7(复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。
,二,典型例题讲解
1(复数的概念
例1(实数m取什么数值时～复数z=m+1+(m,1)i是,1,实数,,2,虚数,,3,纯虚数,,4,对应的点Z在第三象限,
例2(已知(2x,1)+i=y,(3,y)i～其中x, y?R～求x, y.
2232mm,,
2m,25例4(当m为何实数时～复数z,+(m2+3m,10)i,,1,是实数,,2,是虚数,,3,是纯虚数(
诠释:本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件～还应特别注意分母不为零这一
要求
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(
例5(计算:i，i2，i3+……+i2005.
诠释:本题应抓住in的周期及合理分组(
例8(使不等式m2,(m2,3m)i,(m2,4m，3)i，10成立的实数m, .
诠释:本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
xy，2log8(1log)，,,,ixyi22例9(已知z=x，yi(x～y?R)～且 ～求z(
诠释:本题应抓住复数相等的充要条件这一关键～正确、熟练地解方程,指数～对数方程,
例10(已知x为纯虚数～y是实数～且2x,1，i,y,(3,y)i～求x、y的值(
2(复数的四则运算
例1(计算:
2n(1)，i
,2(1)n(1),i,1,～n?N+,
133，,，ii366()()，2222,2,若ω=,+i～ω3=1～计算,
2(32)(52)(53)，，，iii
(23)(25),,ii,3,,
,4,S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99.
4
z例2(已知复数z满足|z,2|=2～z+?R～求z.
1
z例3(设z为虚数～求证:z+为实数的充要条件是|z|=1.
z,1
z，1zz例4(复数z满足(z+1)(+1)=||2～且为纯虚数～求z.
z例5(复数z满足(1+2i)z+(3,10i)=4,34i～求z.
1
z(设z是虚数～ω=z+是实数～且,1<ω<2～ 例6
1,z
1，z,1,求|z|的值及z的实部的取值范围,,2,设u=～求证u为 纯虚数,
,3,求ω,u2的最小值。
iz，
iz,例7(证明:,1(
解:此题考查复数的运算、模的定义～共轭复数的性质等(
.
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