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学年论文Black-Scholes期权定价公式与二叉树方法.doc

学年论文Black-Scholes期权定价公式与二叉树方法

情感的空地谁人前来打扫
2017-09-16 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《学年论文Black-Scholes期权定价公式与二叉树方法doc》,可适用于成人教育领域

学年论文BlackScholes期权定价公式与二叉树方法BlackScholes期权定价公式与二叉树方法摘要期权是一种重要的金融衍生产品随着衍生证券在金融领域的地位越来越重要,如何寻找更合理的数学模型为期权定价也成为研究的重点。本文主要讲述期权的定义通过对期权的理解给出BlackScholes期权定价公式的推导方法和二叉树期权定价方法以及这两种期权定价方法的应用。关键词期权定价BlackScholes期权定价二叉树引言期权的定义期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来允许的时间买或卖一定数量的基础商品(underlyingassets)的选择权。期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的变量它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况是期权交易的核心问题。伴随着期权市场的迅速发展期权定价是期权交易的核心问题因此本文给出两种期权定价方法即BlackScholes期权定价公式与二叉树方法。BlackScholes期权定价公式BlackScholes期权定价模型及其假设条件、股票价格服从对数正态分布SuSuSuSuSuSuSSSSdSdSdSdSdSd期权定价模型、在期权有效期内无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的、市场无摩擦即不存在税收和交易成本、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)、该期权是欧式期权即在期权到期前不可实施、金融市场不存在无风险套利机会、金融资产的交易可以是连续进行的、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。给出Black–Scholes期权定价公式C=S•N(D)L•EγT•N(D)其中:D=NSL(γσ)Tσ•TD=Dσ•TC期权初始合理价格SuSuSuSuSuSuSSSSdSdSdSdSdSdL期权交割价格S所交易金融资产现价T期权有效期r连续复利计无风险利率Hσ年度化方差N()正态分布变量的累积概率分布函数在此应当说明两点:第一该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r)一般是一年复利一次而r要求利率连续复利。r必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r=LN(r)或r=Er。例如r=则r=LN()=即以的连续复利投资第二年将获该结果与直接用r=计算的答案一致。第二期权有效期T的相对数表示即期权有效天数与一年天的比值。如果期权有效期为天则T==。BlackScholes定价模型的推导与运用(一)BlackScholes模型的推导BlackScholes模型的推导是由看涨期权入手的对于一项看涨期权其到期的期值是:EG=Emax(STLO)其中EG看涨期权到期期望值ST到期所交易金融资产的市场价值L期权交割(实施)价到期有两种可能情况:、如果ST>L则期权实施以进帐(Inthemoney)生效且mAx(STLO)=STL、如果ST<L则期权所有人放弃购买权力期权以出帐(Outofthemoney)失效且有:max(STLO)=从而:ECT=P×(EST|ST>L)(P)×O=P×(EST|ST>LL)其中:P(ST>L)的概率EST|ST>L既定(ST>L)下ST的期望值将EG按有效期无风险连续复利rT贴现得期权初始合理价格:C=P×ErT×(EST|ST>LL)(*)这样期权定价转化为确定P和EST|ST>L。首先对收益进行定义。与利率一致收益为金融资产期权交割日市场价格(ST)与现价(S)比值的对数值即收益=NSTS。由假设收益服从对数正态分布即NSTS,N(μTσT)所以EN(STS=μTSTS,EN(μTσT)可以证明相对价格期望值大于EμT为:ESTS=EμTσT=EμTσT=EγT从而μT=T(γσ)且有σT=σT其次求(ST>L)的概率P也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Prζ>χ=N(χμσ)其中:ζ正态分布随机变量χ关键值μζ的期望值σζ的标准差所以:P=PrST>=PrNSTS>NLS=NNLS)TTNC由对称性:N(D)=N(D)P=NNSL(γσ)TσTArS第三求既定ST>L下ST的期望值。因为EST|ST>L处于正态分布的L到范围所以EST|ST>=S•EγT•N(D)N(D)其中:D=LNSL(γσ)TσTD=LNSL(γσ)TσT=DσT最后将P、EST|ST>L代入(*)式整理得BlackScholes定价模型:C=S•N(D)L•EγT•N(D)BlackScholes优缺点优点:对欧式期权有精确的定价公式缺点:对美式期权无精确的定价公式不可能求出解的表达式而且数学推导和求解过程在金融界较难接受和掌握。BlackScholes模型应用实例假设市场上某股票现价S为无风险连续复利利率γ是市场方差σ为那么实施价格L是有效期T为的期权初始合理价格计算步骤如下:求D:D=(N())××=求D:D=×=查标准正态分布函数表得:N()=N()=求C:C=××E××=因此理论上该期权的合理价格是。如果该期权市场实际价格是那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下购买该看涨期权有利可图。二叉树期权定价方法二叉树期权定价模型概述BlackScholes期权定价模型虽然有许多优点,但是它的推导过程难以为人们所接受。在年,罗斯等人使用一种比较浅显的方法设计出一种期权的定价模型,称为二叉树法(Binomialtree)。二叉期权定价模型由考克斯(JCCox)、罗斯(SARoss)、鲁宾斯坦(MRubinstein)和夏普(Sharpe)等人提出的一种期权定价模型主要用于计算美式期权的价值。其优点在于比较直观简单不需要太多数学知识就可以加以应用。二叉期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向且假设在整个考察期内股价每次向上(或向下)波动的概率和幅度不变。模型将考察的存续期分为若干阶段根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。对于美式权证由于可以提前行权每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。二叉树期权定价模型的基本方法(一)二叉树模型的方法:单步二叉树模型无套利定价法:,构造投资组合包括份股票多头和份看涨期权空头SuuSdfd,,,,,当则组合为无风险组合ff,ud此时,,SuSd,,,rt因为是无风险组合可用无风险利率贴现得到:SfSufe,,,,,u将代人上式就可得到ff,,,rtudfepfpf,,,,udr,tSuSd,e,d其中p,u,d风险中性定价法在风险中性世界里:()所有可交易证劵的期望收益都是无风险利率()未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现在风险中性的条件下。参数值满足条件r,tr,tSe,pSu(,p)Sde,pu(,p)d假设证劵价格遵循几何布朗运动则S,,t,pSu(,p)Sd,Spu(,p)d,,,,t,pu(,p)d,pu(,p)d在设定(第三个条件的设定则可以有所不同。这是Cox、Roxxu,和Rubinstenin所用的条件)dr,te,d由以上三式可得当很小时,,t,,,tp,u,ed,e,tu,d,,rt从而fepfpf,,ud以上可知无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。证劵价格的树型结构SuSuSuSuSuSuSSSSdSdSdSd一般而言在时刻证劵价格有种可能它们可用符号表示i,tiSdSdji,jSud为其中j=,……t注意:由于使得许多结点是重合的从而大大简化了树图。u,d倒推定价法得到每个结点的资产价格之后就可以在二叉树模型中采用倒推定价法从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推为期权定价。如果是欧式期权可通过将时刻的期权价值的预期值在时间长度内以,tT无风险利率贴现求出每一结点上的期权价值r如果是美式期权就要在树型结构的每一个结点上比较在本时刻提前执行期权和继续再持有时间到下一个时刻再执行期权选择其中较大者作为本结点的期权价值。,t(二)二叉树方法的一般定价过程ji,jSud,t假设把该期权有效期划分成N个长度为的小区间同时用jNj,(i,j)fXSud,,max(,)表示结点处的证券价格可NjjN,,,,得:其中,,rtfepfpf,,(),t假定期权不被提前执行后则:,,ijijijf(,i,N,,j,i)ij(表示在时间时第j个结点处的美式看跌期权的价值)i,tjijrt,,,fXSudepfpf,,,max{,()}若有提前执行的可能性则:,,ijijij(三)二叉树方法的扩展有红利资产期权定价支付连续红利率资产的期权定价当标的资产支付连续收益率为q的红利时在风险中性条件下证券价格的增长率应该为因此:(r,q),trq,e,pu(,p)d(r,q),t其中:e,d,,,t,,tp,d,eu,eu,d注:对于股价期权来说为股票组合的红利收益率对于外汇期来说为q国外无风险利率因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。q支付已知红利率资产的期权定价可通过调整在各个结点上的证券价格算出期权价格如果时刻在除权日之前则结点处证券价格仍为:ji,ji,tSud,j,,,??,i如果时刻在除权日之后则结点处证券价格相应调整为:ji,ji,tS(,,)udj=,……t若在期权有效期内有多个已知红利率则时刻结点的相应的证券价格为:i,t(为时刻到时刻之间所有除权日的总红利支付率)ji,j,S(,,)udii,ti已知红利额将证券价格分为两个部分:一部分是不确定的另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一次红利除息日在到之间则在时刻不确定部分的价值为:当时**(),,,rit,it,,,SitSit()(),,,SitSitDe()(),,,,当时(表示红利)在时刻:it,,,it,,,当时这个树上每个结点对应的证券价格为:*()jijrit,,,,,,,,itSudDej=,……t*jij,当时这个树上每个结点对应的证券价格为:Sudi,t,,j=,……t(为零时刻的值)**SS利率是时间依赖的情形假设即在时刻的结点上其应用的利率等于到时间rft,ttt,t内的远期利率则:ftt,ftt,ue,ed,,,pp,这一假设并不会改变二叉树图的几何形状改变的是上升和下降的概率所以ud,ud,我们仍然可以象以前一样构造出二叉树图。结束语通过对BlackScholes定价模型和二叉树期权定价方法的总结我们可以以此为基础推导出更实用的期权定价公式同时也可以借助对以上两种期权定价公式的理解加强它们的应用。参考文献姜礼尚。期权定价的数学模型和方法M北京高等教育出版社JohnCHull期权期货和其它衍生产品M北京华夏出版社张铁。一个新型的期权定价二叉树参数模型。系统工程理论与实践。BLACKFSCHOLE~Ms(ThePricingofOptionsendCorporateLiabJJtiesJ(JournalofPoliticalEeom~mics(:MERTONRcTheoryofRationalOptionPriclngJBellJournalofEconomicsandManagementScience:【l】一(

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