相似三角形的性质和判定 相似多边形 位似变换 湘教版

相似三角形的性质和判定 相似多边形 位似变换 湘教版 相似三角形的性质和判定 相似多边形 位似变换 一. 本周教学内容: 相似三角形的性质和判定 相似多边形 位似变换 ,教学目标, 知识与技能: 1. 通一些具体的情境和应用，深入对相似三角形的理解和认识;了解相似多边形的含义，并会判断两多边形是否相似;了解位似图形及有关概念。 2. 初步掌握两个三角形相似的判定条件;理解并掌握相似三角形、相似多边形的性质，并能用来解决简单的问题;能利用作位似图形等 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 将一个图形放大或缩小。 过程与方法: 1. 经历对相似三角形的定义的探索和运用过程，进一步体会 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 内容之间的内在联系。 2. 经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理意识。 3. 经历相似多边形概念的形成过程，在探索相似多边形本质特征的过程中，进一步发展学生归纳、类比、反思、交流等方面的能力，提高数学思维水平。 4. 经历对位似图形及其性质的探索过程，体验用所学的知识解决实际问题。 情感、态度与价值观: 在探索过程中，体验数学活动充满着探索性和创造性，在学习中进一步提高探究、合作与交流能力，培养学生动手操作的良好习惯。 ,教学重点, 1. 相似三角形，及相似多边形的性质和应用。 2. 相似三角形的判定方法及推理论证的思路。 3. 位似图形的概念及位似图形的画法及应用。 ,教学难点, 1. 应用相似三角形、相似多边形的定义和性质解决实际问题。 2. 正确运用相似三角形的判定条件找到相似三角形。 3. 正确理解位似图形的性质。 ,方法指导, (一)怎样选择相似三角形的判定定理: 1. 已知有一角相等时，可考虑证另一角相等或夹这个角的两边对应成比例，即选择判定定理1与判定定理2。 2. 已知有二边对应成比例时，可考虑证它们的夹角相等，或证与第三边对应成比例，即选择判定定理2与判定定理3。 3. 判定直角三角形相似时条件更简单。 (二)相似三角形的判定定理的作用 1. 可以用来判定两个三角形相似。 2. 间接证明角相等，线段成比例。 3. 间接地为计算线段长度、角的大小、三角形周长、面积创造条件。 (三)有关三角形相似的基本图形 1. 平行线型 用心 爱心 专心 122号编辑 - 1 - 2. 射影型(如图) 3. 类射影型 (四)判断两个多边形相似，既要看各个角是否对应相等。 又要看各边是否对应成比例，两个条件缺一不可。 (五)能按要求画出已知图形的位似图形 ,主要内容, (一)相似三角形的性质 1. 相似三角形对应角相等、对应边成比例。 2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 3. 相似三角形周长的比等于相似比。 4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 (二)三角形相似的判定方法 1. 定义法:对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。 2. 平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3. 判断定理1:两角对应相等的两个三角形相似。 4. 判定定理2:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 判定定理3:三边对应成比例的两个三角形相似。 6. 判定直角三角形相似的方法:…… (三)相似多边形的概念及性质 1. 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 2. 相似多边形的性质: 相似多边形的周长比等于相似比。 OP' 相似多边形的面积比等于相似比的平方。 (四)位似变换 (或它的反向延长线)上一点P'，使得线段OP'与OP的比 1. 定义:取定一点O，把图形每一个点P对应到射线OP等于常数k(k,0)，点O对应到它自身，这种变换叫作位似变换。 点叫做位似中心，常数叫做位似比，一个图形经过位似变换叫做与Ok, 原图形位似的图形。 2. 位似图形的性质: 位似图形上任一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 3. 位似图形的画法及 步骤 新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤 : (1)确定位似中心; OP (2)画经过位似中心，且分别过已知多边形各顶点的直线; (3)分别在各直线上取一点，使其到位似中心的距离与已知多边形的对应顶点到位 用心 爱心 专心 122号编辑 - 2 - OP' 似中心的距离之比为相同的一个定值;() (4)顺次连接各点。 【典型例题】 OP 例1. 如图，已知?ABC、?DEF为正三角形，D、E分别在AB、AC上，请找一个与?DBE相似的三角形，并证明。 分析:应先找到与?DBE相似的三角形，再进行证明。根据条件和图形，同学们不难发现 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 不唯一。 证明:?DBE与?ECH相似 ??ABC与?DEF为等边三角形 B,?C,60? ?? ??BDE，?BED,120? ?CEH，?BED,120? ??BDE,?CEH ??DBE??ECH 同学们可用类似的方法寻找与?DBE相似的三角形并证明。 例2. 如图AB,9，AC,6，点M在AB上，且AM,3，点N在AC上，连结MN，若要使?AMN与原三角形相似，则AN 应为多长。 分析:首先同学们应对前面我们所讲的相似三角形的基本图形熟悉。 AMAN 再根据图形，可看到?AMN与?ABC有一个公共角?A，只须夹?A的两边对应成比例，则可判断两个三角形相似。 解: ()??,?，当时1AA, ?AMN??ABC 又AB,9，AC,6，AM,3 3ABACAMAN ?×AN,,62 9 ()当时，由于?,?2,AA ??AMN??ACB AMAB?×399 9 ACAB ?AN,,, AC62 ?当或时，所得三角形?与原三角形相似ANAMN,2 例3. 如图，已知在?ABC中，DE?BC，且S:S,1:2， BCDE,26，试求的长?ADE四边形BCED 2 用心 爱心 专心 122号编辑 - 3 - 分析:略。 解:?DE?BC ??ADE,?B，?AED,?C ??ADE??ABC S?ADEDE2 ?,() SBC?ABC1S?ADE 又, 2S四边形BCED 1S?ADE ?, 3S?ABC DE21 ? , BC23 又BC,26 122 ?×DE ,,()268 ?DE,22 例4. 如图，在?ABC中，?BAC,90?，AD?BC，E为AC的中点，ED交AB延长线于F。 3 ABDF 求证:, ACAF 分析:略 证明:??BAC,90?，且AD?BC于D ??C,?BAD 又D为AC的中点 ?DE,EC,AE ??C,?CDE 又?FDB,?CDE ??FDB,?BAD 又?F,?F ??FBD??FDA 用心 爱心 专心 122号编辑 - 4 - ?BD:AD,DF:AF ? C,?BAD，?BAC,?BDA 又? ??ABC??DBA ?BD:AD,AB:AC ? ABDF ?, ACAF 例5. 如果一张矩形纸的整张与半张相似，求整张纸的长和宽。 分析:先根据题意，转换为几何图形，如下图，矩形ABCD为纸片，E、F分别为AD、BC的中点，由条件可得:AD: AB,AB:AE可求。 解:如上图，?矩形ABCD?矩形BFEA ADAB ?, ABBF ?点F为BC的中点 11 ?BFBCAD,, ADAB22 ?, 1ABAD1222 即ADAB, 2AD21 ? , AB22AB2 ?, AD1 例6. 如图?ABC的三个顶点坐标分别为A(2，2)，B(3，1)，C(1，0)，试将?ABC放大，使放大后的?DEF与? ABC对应边之比为2:1，并指出其对应边AB与DE有何位置关系,并说明理由。 分析:将图形放大、缩小是位似变换，应先确定位似中心。 根据题意可取坐标原点为位似中心，则根据位似比可得D、E、F的坐标。 解:如上图，选取坐标原点为位似中心，连OA、OB， 则OA的直线解析式为y,x ?位似比k,2 ?点D(4，4)在直线OA上 用心 爱心 专心 122号编辑 - 5 - 同理可得E(6，2)，F(2，0) 、EF、DF 连DE 则?DEF为将?ABC放大2倍后的图形 OA1OB1 对应边DE?BC 证明: 由作图知:，,, OAOB ?,OD2OE2ODOE 又?AOB,?DOE ??AOB??DOE AB ??OAB,?ODE ?DE?BC 例7. 已知:如图甲，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF?EC交AB于F，连结FC(AB,AE)。 (1)?AEF与?ECF是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由。 ()设，是否存在这样的值，使得???，若存在，请2,kkAEFBCF 证明你的结论，并求出k的值。若不存在，说明理由。 BC 分析:略。 (1)解:相似 证明:如图乙，延长FE与CD的延长线相交于点G 在Rt?AEF与Rt?DEG中 ?E为AD的中点，?AE,ED 又?AEF,?DEG，?EAF,?EDG,90? ??AFE??DGE ??AFE,?DGE，EF,EG 又CE?FG ?FC,GC ??CFE,?G ??AFE,?EFC ?Rt?AEF?Rt?ECF 用心 爱心 专心 122号编辑 - 6 - AB3 (2)存在，当?BCF,?AEF时 即当时，???k,,AEFBCF AB3DC 证明: 当时，,,3BC2 ??ECG,30? BC2DE ??ECG,?ECF,?AEF,30? ??BCF,90?,60?,30? 又?A,?B,90? ??AEF??BCF ?EF不平行于BC ??BCF??AFE ?不存在第二种相似情况。 (答题时间:60分钟) 一、选择题 1. 下列几组图形必相似的是( ) A. 各有角是40?的两个等腰三角形 B. 两边之比都是2:3的两个直角三角形 C. 各有一个角是100?的两个等腰三角形 D. 各有两条边成比例且有一个角相等的两个三角形 2. ?ABC的三边长分别为，?ABC'''的两边长分别为，若?ABC??ABC'''，则15和?ABC'''2102、、 的第三条边的长度等于( ) 2 A. B. C. 2 D. 2222 3. 如图1，由下列条件不能判定?ABC与?ADE相似的是( ) 图1 AEADAEDE A. B. ?B,?ADE C. ?C,?AED D. ,, ACBCACAB 4. 下列条件中能判定?ABC与?ABC'''相似的是( ) ??A,120?，AB,7cm，AC,14cm;?A',120?，A'B',3cm，A'C',6cm ?AB,4cm，BC,6cm，AC,8cm;A'B',12cm，B'C',18cm，A'C',24cm ??A,45?，AB,12cm，AC,15cm;?A',45?，A'B',16cm，A'C',20cm ?AB,12cm，BC,15cm，AC,24cm;A'B',20cm，B'C',25cm，A'C',40cm A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 一个五边形的边长分别为1、2、3、4、5，另一个和它相似的五边形的最大边长为7，则后一个多边形的周长是( ) A. 27 B. 25 C. 21 D. 18 3 6. 两个相似多边形的面积之比为m，周长之比为3，则,( ) m 用心 爱心 专心 122号编辑 - 7 - 11 A. 3 B. C. D. 无法确定 39 1 7. 如图2，将?ABC的三边缩小为原来的，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F得?DEF，下列2 说法中正确的个数是( ) 图2 ??ABC与?DEF是位似图形; ??ABC与?DEF是相似形; ??ABC与?DEF的周长之比为2:1; ??ABC与?DEF面积比为4:1; A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题: 8. 如图3，?ADE??ABC，若AD,3，AE,2，AB,9，则DC,__________。 图3 9. CD是Rt?ABC的斜边上的高，其中AD,9cm，BD,4cm，则CD,__________cm。 10. 如图4矩形ABCD中，AB,2，BC,1，E为CD上一点，?ADE??ABC，则EC,__________。 图4 11. 若三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则其余两边的和为__________。 BC''DC''ABCD'''' 12. 如图5，四边形ABCD?四边形，AB,18，A'B',6，,8，,7。 图5 则?A,__________，?D,__________ ?C',__________，?D',__________ BC,__________，CD,__________ 用心 爱心 专心 122号编辑 - 8 - 13. 两个相似多边形最长边分别为10cm和25cm，它们的周长之差为60cm，则这两个多边形的周长分别为__________。 ?BC，且?ADE的周长与?ABC的周长之比为3:7，则AD:DB,__________。 14. 如图6?ABC中，DE 图6 三、解答题: 1. 如图7，在平行四边形ABCD中，过点B作BE?CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点且?BFE,?C。 图7 求证:?ABF??EAD。 2. 如图8，正方形ABCD的边长等于6cm，P在AB上，且AP:PB,1:2，PQ?PC交AD于Q，求AQ的长。 图8 3. 如图9，小聪为测量一旗杆EF的高，在距F点15m的A处放了一个平面镜，小聪沿FA后退到了B点，正好在镜中看到旗杆顶E点，若AB,2m，小聪的眼睛离地面的高度为1.6m。 图9 请你帮助小聪算一算旗杆EF的高。 4. 在?ABC中，AB,8cm，BC,16cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2m/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟?PBQ与?ABC相似, 用心 爱心 专心 122号编辑 - 9 - 图10 5. 如图11，在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，其中花园的四周小路宽度都为2m，那么内、外边缘所成的矩形相似吗,请说明理由。 图11 6. 如图12，矩形ABCD与矩形是位似图形，A为位似中心，已知矩形ABCD周长为24，BB',4，DD',2，ABCD'''' 求AB、AD的长。 图12 7. 如图13，已知?ABC中，AB,AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF?AB，延长BP交AC于E，交CF于F。 图13 2BP 求证:,PE?PF 用心 爱心 专心 122号编辑 - 10 - 参考答案 一、选择题: 1. C 2. B 3. D 4. D 5. C 6. B 7. D 二、填空题: 8. DC,3 9. CD,6cm 3 10. EC, 2 11. 24cm 123?，?D,82?，?C',85?，?D',82? 12. ?A, BC,24 CD,21 120300 13. cmcm77 14. 3:4 三、解答题: 1. 证明:平行四边形ABCD中，AB?CD，AD?BC ??BAF,?AED，?C，?D,180? 又?C,?BFE，?BFE，?BFA,180? ??D,?BFA ??ABF??EAD 2. 解:?正方形ABCD中，边长为6，且AP:PB,1:2 ?AP,2，BP,4 PC 又PQ? 易证:?APQ,?BCP ?Rt?APQ?Rt?BCP AQAPAQ2 ?，即 ,,464BPBC ? AQcm,() 3 3. 解:由平面镜知识知?CAB,?EAF，且CB?BF，EF?BF 易得?ABC??AFE ABBC ? , AFEF 又AB,2，AF,15，BC,1.6 ?EF,12(m) 4. 解:由图知?BPQ与?BAC有一个公共角?B 设P、Q同时出发后，经x秒，?PBQ与?ABC相似 则AP,2x，BQ,4x，PB,8,2x PBPQ 一种情况，只要，可得?BPQ??BAC , ABBC82,xx4 即，得x,2 , 816PBBQ 二种情况:只要，则?BPQ??BCA , BCAB82,xx44x, 即，得 ,5 1684 ?综上所述，P、Q同时出发，经2秒或秒?BPQ与?ABC相似。 5 5. 提示:由矩形长为16,2×2,12cm，宽为12,2×2,8cm 用心 爱心 专心 122号编辑 - 11 - 128 ? ? 1612 ?内、外边缘所成的矩形不相似。 6. 略解:?矩形ABCD的周长,24 ?AB，AD,12，设AB,x，则AD,12,x AB',x，4，AD',14,x ?矩形ABCD与矩形是位似图形 ABCD'''' ABADx12,x ?，即，x,8 ,, AB''AD ?AB,8，AD,12,8,4 x，414,x 7. 略证:?CF?AB，?1,?F 又可证?ABC,?ACB，?PBD,?PCD ??1,?2，?2,?F 又?EPC,?CPF ??PCE??PFC PEPC ? , PCPF 2PC ?,PE?PF 2PBPE, 又PC,PB，??PF 用心 爱心 专心 122号编辑 - 12 - 用心 爱心 专心 122号编辑 13