【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型

【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于A、B两点，则称线段AB为抛物线的焦点弦。过抛物线分别抛物线准线l构成直角梯形ABCD(图1).些重要结论呢? 【模型示例】设直线AB的倾角为，当轴()时，称弦AB为通径。例1. 求通径长. 例2( 求焦点弦AB长. 例3. 求的面积. 例4. 连CF，DF,求证图2) 例5. 设准线l与x轴交于点E，求证:FE是CE与DE的比例中项，即 1 2 例6. 如图3，直线AO交准线于C，求证:直...

【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于A、B两点，则称线段AB为抛物线的焦点弦。过抛物线分别抛物线准线l构成直角梯形ABCD(图1).些重要结论呢? 【模型示例】设直线AB的倾角为，当轴()时，称弦AB为通径。例1. 求通径长. 例2( 求焦点弦AB长. 例3. 求的面积. 例4. 连CF，DF,求证图2) 例5. 设准线l与x轴交于点E，求证:FE是CE与DE的比例中项，即 1 2 例6. 如图3，直线AO交准线于C，求证:直线 BC//x轴. (多种课本中的题目) 例7(设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A,B两点.点C在抛物线的准线上，且BC//x轴. 证明直线AC经过原点. 例8. 证明:梯形中位线MN长为p 例9. 连AN、BN,图(5)，证明: 例10. 求证:以线段AB为直径的圆与准线相切. 例11. 连NF，证明:NF?AB，且 2 的焦点为F，AB是抛物线的焦点弦，过A、B两点例12. 已知抛物线分别作抛物线的切线，设其交点为M. (I)证明:点M在抛物线的准线上; ??3 AB为定值; (?)求证:FM? 【小结】由抛物线的焦点弦所构成的直角梯形中蕴涵着丰富多彩的上面十 )焦点弦长(通径长); (2)的面积; (3)多条结果归纳起来有: (1 梯形中位线长; (4); (5)A，O，B三点共线，F，B三点共线; )两组直角三角形:(斜边 (斜边AB上的高为NF)，(6 CD上的高FE)，以及相应的比例线段; 图7 (7)以AB为直径的圆与准线相切; (8)过抛物线上A，B两点的切线的交点G落在准线上，且 4 【模型解析】设直线AB的倾角为，当轴()时，称弦AB为通径。例1 求通径长. p解: 由于轴()，F(,0)， 2 当时，代入中，得，故例2 求焦点弦AB长. p解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2)，当时，设直线AB的方程为:y=k(x-). 2 ， ......? 由得 2) . ......? k2 ，准线方程， 2 由?知，? k2 当，由(一)知说明: 1 因此，由 ? 得特别，当时，上式为是通径长。解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2). 时，上式为时，设直线AB的方程为其中 5 由得 ? ? (由?得) ......? 例3 求的面积. 解法一:直线AB的方程为:，即原点O到它的距离解法二: 6 1p p2 =2 (由?得) p2 例4 连CF，DF,证明:图2). 证明:设则图2 故例5 设准线l与x轴交于点E，证明:FE是 CE与DE的比例中项，即容易证明，留给读者完成。例6 如图3，直线AO交准线于C，证明:直线 BC//x轴. (多种课本中的题目) 分析 :只要证C、D两点纵坐标相同。 2 7 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2)，则 2p p2px, 它与准线方程联立,得 2y1图直线AC的方程为 p2 C点纵坐标由得因此C、D两点纵坐标相同，BC//x轴. 例7 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A,B两点.点C在抛物线的准线上，且BC//x轴.证明:直线AC经过原点. 分析:只要证证法1:如图3，设A(x1,y1),B(x2,y2)，再设直线AB的方程为，，图3 三点共线. 证法2:如图4，设AC与EF相交于N，准线与x轴交于E. 轴//BC. AB, 8 图4 (即 ADBF )， AB(即 NFBC AFABAFBC ). AB 又即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线经过原点O. 【专家点评】2001年试题评价报告 (高考专家组)指出:理科(19)题(即上题)是课本习题八第8题(系指)，第13题(系指(六))的转化，揭示了抛物线的一个本质属性:“若抛物线的焦点为F，A,B是抛物线上的两点.点C在它的准线上，且BC//x轴.则A,O,C三点共线的充要条件是 A,F,B共线。【探究】上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结论(对于抛物线及图3): ?弦AB过焦点F;?点C在准线上; ?BC//x轴; ?AC过顶点O. 可组成以下四个命题: A.???? (高考题) B.???? (课本题) 图3 C.???? 是否正确, D.???? 例8 证明: 梯形中位线MN长为留给读者做。例9 连AN、BN(图5)，证明:证明较难，留作习题。例10 证明:以线段AB为直径的圆与准线相切。 p 由例9，这个性质是显然成立的。例11 连NF，证明:NF?AB，且证明:设A(x1,y1),B(x2,y2)，又设直线AB的方程为 )，，则 222 图5 2 y1+y2 -(由?得) -(-)221 此即 m 在中，NF为斜边上的高，故有中，说明:在平面几何中，有下述定理:斜边BC上的高AD是BD与CD 2 的比例中项。例12 已知抛物线的焦点为F，AB是抛物线的焦点弦，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M. (I)证明:点M在抛物线的准线上; ?? AB为定值; (?)求证:FM? 证明:(I)设A(x1,y1),B(x2,y2)， 2 x12x2 则由已知，F(0,1), 44 设直线AB的方程为:，则由得由 121 x得，所以过A,B两点的切线方程分别为: 42 2 x12x211 2424 2 x12x211 即 2424 10 【注:过点(x0,y0)的切线方程为:】由上式可得 2. 显然故因此，由于抛物线准线方程为，故点M在抛物线的准线上。 2122 因此，?FM??AB为定值，其值为0. 11

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