【doc】点到直线距离公式的几种初等数学证法探讨

【doc】点到直线距离公式的几种初等数学证法探讨【doc】点到直线距离公式的几种初等数学证法探讨点到直线距离公式的几种初等数学证法探讨敏又if.2oo8. 03(中旬刊) 点到直线距离公式的几种初等数学证法探讨口李凌 (江苏无锡机电高等职业技术学校江苏?无锡214028) 中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号:1672-7894(2008)03—088—01 点到直线距离公式是平面解析几何中形式最漂亮,应用最广泛的重要公式之一.公式推导过程中蕴含着重要的数学思想和方法, 教师在讲授过程中若能从多角度进行启发,用多种方法进行推导证 ...

【doc】点到直线距离公式的几种初等数学证法探讨点到直线距离公式的几种初等数学证法探讨敏又if.2oo8. 03(中旬刊) 点到直线距离公式的几种初等数学证法探讨口李凌 (江苏无锡机电高等职业技术学校江苏?无锡214028) 中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号:1672-7894(2008)03—088—01 点到直线距离公式是平面解析几何中形式最漂亮,应用最广泛的重要公式之一.公式推导过程中蕴含着重要的数学思想和方法, 教师在讲授过程中若能从多角度进行启发,用多种方法进行推导证明,不仅能加强学生对公式的理解和记忆,而且对锻炼学生的思维, 提高学生的学习兴趣有着非常积极的作用.下面就这一公式的几种初等数学证法进行探讨: 命题:平面内点P(xo,yo)到直线I:Ax+By+C=0的距离为d= I?呈?I VA2+B2 证法一:两点问距离公式法(解题思想是化Y点线距离为两点间距离).联立直线1与其垂线lPQ:Bx—Ay—Bxo+Ayo=0方程,得Q? 一 B~,o-AByo 2 - AC 一 :一一 B_ ~-AByo-AC一?\d:IPQI』!. A+BA+BVA+B / /'" o.1 I \ 证法二:解三角形之面积相等法 (解题思想是化点线距离为直角三角形斜边上的高).过P分别作轴的平行线交于R,S,则:IPSl=lyo-yJ= I呈 VA2+B2 I呈?I VA2+B2 I?呈?C_ VA2+B2 IPRl=lxo-xRl_ Qd?IRSIIPSI'IPRI\d= 证法三:解三角形之三角函数法.设直线f与轴夹角为q,则, I 证法四:转化为两平行线间距离求解.过点P与f平行的直线为:Ax+By—Axo-Byo=0,二直线在Y轴上交点间距离为: I+吾I=II,又cISl= I= 证法五:线圆相切法(解题思想是线圆相切时圆心到切线的距离等于圆的半径). 设圆(x一+(y—yo)Z=-xa与直线相切,二者方程联立,得:(A一 x2(Byo+C)一B2)(0x+(Byo+C)'-+B(x一rb=0\D=4B一(A+B2)e2一 (+Byc)2=o\d: VA+B 证法六:函数最小值法(解题思想是点线距离是该点到直线上任一点距离的最小值).设M(x,y)为直线l上任一点,则:IPMI2= x-++yo=x2+2(Byo+c)_xox+古(Byo+c)2+ lPMIlPMI 证法七:直线参数方程法.设lPQ的标准参数方程为: nnq:TB),代入直线的方程得:A l(其中t为参数,, cq)+B(yo+q)+c=.Il:一A%而+Byo+CAxo+Byo+C 88 则-d-lPHI=ItI: VA+B 证法八:向量法(解题思想是化点线距离为向量的模).在直线l 上任取一点M,一若^z,~1]B(xo-k)一Acy=0,得.k= . B&o- A2+B2 AByo-AC 一 , 此时一.(AxA2+B2o+Byo+C).,. B(A A2+B2 xo+Byo+C). a= 证法九:复数法(解题思想是方向一致时表示距离的有向线段是直线单位法向量的倍).Utriw— Xo)-yo+dQPM=(kxo)i,取直线l的单是直线单位法向量的倍).一i,取直线的单雠向量VA+Bi, 令:(k_x0)-y0丁Ak+CA+Bid\ VA+BDVA+B. Ik_x0=dl+:~=l,al=IAw%+By~+CI一证法十:坐标变换法懈题思想是任意点P到横(纵)轴的距离为该点纵(横)坐标的绝对值).将坐标系xoy绕0点逆时针旋转角,使轴与l平行.设POxb,坐标系xoy中的点(x,Y)在坐标系'oy'中为0:志击y':sin(a-b)-B一志一.设直线f与,,轴的交点为0-一B,则y'.-=,/A+B,/A+B' —彳, 再将原点0移至01,则点P(xo,y0)经两次变换后纵坐标 ,/A+B Axo+Byo+ _ C_'目'pI_ VA+BVA+B 极点建立极坐标系.设P(ro,qo),直线 f为:Arcosq+Brsinq+C=O,直线PO交直线f于M,PQAf于Q. 则r一 ,/x20+B20 Axo+Byo IPMI=]ro-ru]=II ,/x20+B20, ,y :lj \ 设直线f倾斜角为口,则sinPMQsin(a--qo)=—? VA+B. )(0一B,Y0A%+Byo 丽一2222 以上证明都是在相应表达式有意义和作图存在的前提下进行, 若出现表达式无意义或作图不存在的特殊情况,则可用更为简捷的方法求解,且可以验证以上推导的结果对特殊情况仍然成立.

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