协方差与协方差矩阵
协方差是统计学上
表
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示两个随机变量之间的相关性，随机变量的离差与随机变量,的,
K离差的乘积的
数学
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期望叫做随机变量与,的协方差(也叫相关矩)，记作:,,,
,记为 cov(,),,KEEEEEE,,,,,[()()](),,,,,,,,,,
对于离散随机变量，我们有;KxEyEpxy,,,()()(,),,ii,,,,iiij
，,，,对于连续随机变量，我们有，随机变量的协方KxEyExydxdy,,,()()(,),,,,,,,,,,,
差用来描述随机变量之间的相关性，我们指出，独立随机变量的协方差等于零，即如果与,
在统计学与概率论中, 协方差矩阵是一个矩阵，这是从标量随机变量到高维度随机向量
K,,独立，则=0. 如果与相同，则协方差就是变量的方差。的自然推广。协方差矩,,,,
阵对于多元随机变量，一般是对于一个多维随机变量来讲的，表现的是随机变量X各个元素分量(为1维随机变量)之间的相互关系，每一项都对应着其中两个变量的协方差，组合起来就是协方差矩阵了,比如 一个n维的随机变量X,其协方差矩阵之第ij个元素即为E[(Xi-E(Xi))*(Xj-E(Xj))],Xi和Xj分别表示X的第i个和第j个元素分量。
2Q比如:随机变量x和y，为它们的协方差矩阵，为随机变量i和j的协方差，,nij
TuxynN,,(,),1,...,xd,cos,yd,sin, ，其中， ，，nnnnnnnnn
(,)d,N为扫描数据点个数。现实中，由于测量值受噪声干扰，假设它们分别服从高斯白nn
22,,噪声分布且互相独立，方差分别为和，则: d,
22，，,,,,,,uuuuxxy22TTnnnnQ()()()(),,，,,,,,nd 22dd,,,,,,nnnn,,,,xyy，，
22222，，，，2cossin22sinsin2,,,,,,,()dnnnndn,,， ,,,,2222sin22sinsin22cos,,,,,nnnn，，，，
补充知识:
Px(),,x数学期望:随机变量,的一切可能值与对应的概率的乘积的和叫做随机变量,ii
的数学期望，记作。数学期望从几何意义上来说，就是分布曲线与x轴之间的平面图形E,
的重心的横坐标，它是反映均值的问题。
离差:叫做随机变量的离差。 ,,,,,E,
方差:随机变量的离差的平方的数学期望叫做随机变量的方差，记作，也记作D,var(),,,
22DxEpx,,,,()()DEE,,,,,()，，于是，对于离散随机变量，我们有。,iii
2，,对于连续随机变量，我们有DxExdx,,,,,()()，由方差的定义可知，随机变量的,,,
方差总是一个正数，显然，当随机变量的可能值密集在数学期望的附近时，方差较小，在相反情况下，方差较大。所以，由方差的大小可以推断随机变量分布的分散程度。方差是反映了随机变量的一切可能值在数学期望周围的分散程度。
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